Группа Кремона

В алгебраической геометрии группа Кремоны , введенная Кремоной (1863, 1865), — это группа бирациональных автоморфизмов -мерного проективного пространства над полем . Она обозначается или или . $n$ $к$ $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Бир(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Cr_{n}(k)$

Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов поля рациональных функций от неопределенностей над , или, другими словами, с чистым трансцендентным расширением , со степенью трансцендентности . $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ $n$ $k$ $k$ $n$

Проективная общая линейная группа порядка , проективных преобразований , содержится в группе Кремоны порядка . Они равны только тогда, когда или , в этом случае и числитель, и знаменатель преобразования должны быть линейными. $n+1$ $n$ $n=0$ $n=1$

Группа Кремона в 2 измерениях

В двух измерениях Макс Нётер и Гвидо Кастельнуово показали, что комплексная группа Кремоны генерируется стандартным квадратичным преобразованием, вместе с , хотя были некоторые разногласия относительно того, были ли их доказательства верны, и Гизатуллин (1983) дал полный набор соотношений для этих генераторов. Структура этой группы до сих пор не очень хорошо изучена, хотя было проведено много работы по поиску ее элементов или подгрупп. $\mathrm {PGL} (3,k)$

Кантат и Лами (2010) показали, что группа Кремоны не является простой как абстрактная группа;
Блан показал, что она не имеет нетривиальных нормальных подгрупп, которые также замкнуты в естественной топологии.
О конечных подгруппах группы Кремоны см. Dolgachev & Iskovskikh (2009).

Группа Кремона в более высоких измерениях

О структуре группы Кремоны в трех измерениях и выше известно немного, хотя многие ее элементы были описаны. Бланк (2010) показал, что она (линейно) связна, отвечая на вопрос Серра (2010). Не существует простого аналога теоремы Нётер–Кастельново, поскольку Хадсон (1927) показал, что группа Кремоны в размерности по крайней мере 3 не порождается ее элементами степени, ограниченной каким-либо фиксированным целым числом.

Группы De Jonquières

Группа Де Жонкьера является подгруппой группы Кремоны следующего вида ^{[ требуется ссылка ]} . Выберите базис трансцендентности для расширения поля . Тогда группа Де Жонкьера является подгруппой автоморфизмов отображения подполя в себя для некоторого . Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов над полем , а факторгруппа является группой Кремоны над полем . Ее также можно рассматривать как группу бирациональных автоморфизмов расслоения . $x_{1},...,x_{n}$ $k$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $r\leq n$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k$ $\mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}$

Когда и группа Де Жонкьера является группой преобразований Кремоны, фиксирующих пучок прямых, проходящих через заданную точку, и является полупрямым произведением и . $n=2$ $r=1$ $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$

Ссылки

Альберих-Карраминьяна, Мария (2002), Геометрия плоских кремонских карт , Lecture Notes in Mathematics, т. 1769, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/b82933, ISBN 978-3-540-42816-9, г-н 1874328
Блан, Жереми (2010), «Группы Кремоны, связи и простота», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Серия 4, 43 (2): 357–364, arXiv : 0903.2489 , doi : 10.24033/asens.2123 , ISSN 0012-9593, MR 2662668
Канта, Серж; Лами, Стефан (2010). «Нормальные подгруппы в группе Кремоны». Acta Mathematica . 210 (2013): 31–94. arXiv : 1007.0895 . Bibcode : 2010arXiv1007.0895C. doi : 10.1007/s11511-013-0090-1. S2CID 55261367.
Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1931), Трактат об алгебраических плоских кривых, Oxford University Press , ISBN 978-0-486-49576-7, МР 0120551
Кремона, Л. (1863), «Sulle trasformazioni геометрические фигуры фортепьяно (примечание 1)», Giornale di Matematiche di Battaglini , 1 : 305–311
Кремона, Л. (1865), «Sulle trasformazioni Geometryhe delle Piane (нота 2)», Giornale di Matematiche di Battaglini , 3 : 269–280, 363–376
Демазюр, Мишель (1970), «Алгебрические группы максимального ранга группы Кремоны», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 3 (4): 507–588, doi : 10.24033/asens.1201 , ISSN 0012-9593, МР 0284446
Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8, заархивировано из оригинала (PDF) 2012-03-11 , извлечено 2012-04-18
Долгачев, Игорь В.; Исковских, Василий А. (2009), "Конечные подгруппы группы плоскости Кремоны", Алгебра, арифметика и геометрия: в честь Ю. И. Манина. Т. I , Progr. Math., т. 269, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 443–548, arXiv : math/0610595 , doi :10.1007/978-0-8176-4745-2_11, ISBN 978-0-8176-4744-5, MR 2641179, S2CID 2188718
Гизатуллин, М. Х. (1983), "Определяющие соотношения для группы Кремоны плоскости", Математика СССР-Известия , 21 (2): 211–268, Bibcode :1983IzMat..21..211G, doi :10.1070/IM1983v021n02ABEH001789, ISSN 0373-2436, MR 0675525
Годо, Люсьен (1927), Les Transformations birationelles du plan , Mémorial des Sciences Mathématiques, vol. 22, Готье-Виллар и Сье, JFM 53.0595.02
«Группа Кремоны», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Преобразование Кремоны», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Хадсон, Хильда Фиби (1927), Кремонские преобразования на плоскости и в пространстве, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35882-8, Переиздано в 2012 г.
Семпл, Дж. Г.; Рот, Л. (1985), Введение в алгебраическую геометрию , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4, МР 0814690
Серр, Жан-Пьер (2009), «Оценка в стиле Минковского для порядков конечных подгрупп группы Кремоны ранга 2 над произвольным полем», Московский математический журнал , 9 (1): 193–208, doi :10.17323/1609-4514-2009-9-1-183-198, ISSN 1609-3321, MR 2567402, S2CID 13589478
Серр, Жан-Пьер (2010), «Le groupe de Cremona et ses sous-groupes Finis» (PDF) , Asterisque , Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4, ISSN 0303-1179, MR 2648675