Бирациональная геометрия

Область алгебраической геометрии

Окружность бирационально эквивалентна прямой . Одно бирациональное отображение между ними — стереографическая проекция , изображенная здесь .

В математике бирациональная геометрия — это область алгебраической геометрии , в которой целью является определение того, когда два алгебраических многообразия изоморфны вне подмножеств меньшей размерности. Это равносильно изучению отображений , которые задаются рациональными функциями, а не полиномами ; отображение может не быть определено там, где рациональные функции имеют полюса.

Бирациональные карты

Рациональные карты

Рациональное отображение из одного многообразия (понимаемого как неприводимое ) в другое многообразие , записанное как пунктирная стрелка X ⇢ Y , определяется как морфизм из непустого открытого подмножества в . По определению топологии Зарисского, используемой в алгебраической геометрии, непустое открытое подмножество всегда плотно в , фактически являясь дополнением подмножества меньшей размерности. Конкретно, рациональное отображение можно записать в координатах с использованием рациональных функций. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Бирациональные карты

Бирациональное отображение из X в Y — это рациональное отображение f  : X ⇢ Y такое, что существует рациональное отображение Y ⇢ X, обратное к f . Бирациональное отображение индуцирует изоморфизм из непустого открытого подмножества X в непустое открытое подмножество Y , и наоборот: изоморфизм между непустыми открытыми подмножествами X , Y по определению дает бирациональное отображение f  : X ⇢ Y . В этом случае X и Y называются бирациональными или бирационально эквивалентными . В алгебраических терминах два многообразия над полем k являются бирациональными тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны как поля расширения k .

Частным случаем является бирациональный морфизм f  : X → Y , то есть морфизм, который является бирациональным. То есть f определен везде, но его обратный может быть не определен. Обычно это происходит потому, что бирациональный морфизм стягивает некоторые подмногообразия X в точки в Y .

Бирациональная эквивалентность и рациональность

Говорят, что многообразие X рационально , если оно бирационально аффинному пространству (или, что эквивалентно, проективному пространству ) некоторой размерности. Рациональность — очень естественное свойство: оно означает, что X минус некоторое подмножество меньшей размерности можно отождествить с аффинным пространством минус некоторое подмножество меньшей размерности.

Бирациональная эквивалентность плоской коники

Например, окружность с уравнением в аффинной плоскости является рациональной кривой, поскольку существует рациональное отображение f  : ⇢ X, заданное формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),}$

который имеет рациональный обратный g : X ⇢, заданный формулой ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}$

Применение отображения f с рациональным числом t дает систематическое построение пифагоровых троек .

Рациональное отображение не определено на локусе , где . Таким образом, на комплексной аффинной прямой , является морфизмом на открытом подмножестве , . Аналогично, рациональное отображение g  : X ⇢ не определено в точке (0,−1) в . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1+t^{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}}$ ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и P^н

В более общем случае гладкая квадратичная (степени 2) гиперповерхность X любой размерности n является рациональной, согласно стереографической проекции . (Для X, квадрики над полем k , следует предположить, что X имеет k -рациональную точку ; это происходит автоматически, если k алгебраически замкнуто.) Чтобы определить стереографическую проекцию, пусть p будет точкой в ​​X. Тогда бирациональное отображение из X в проективное пространство прямых, проходящих через p, задается путем отправки точки q из X на прямую, проходящую через p и q . Это бирациональная эквивалентность, но не изоморфизм многообразий, поскольку она не может быть определена, когда q = p (и обратное отображение не может быть определено на тех прямых, проходящих через p , которые содержатся в X ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Бирациональная эквивалентность квадратичной поверхности

Вложение Сегре дает вложение, заданное формулой ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}$

Изображение представляет собой квадратичную поверхность в . Это дает еще одно доказательство того, что эта квадратичная поверхность рациональна, поскольку является очевидно рациональной, имея открытое подмножество, изоморфное . ${\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

Минимальные модели и разрешение сингулярностей

Каждое алгебраическое многообразие бирационально проективному многообразию ( лемма Чжоу ). Таким образом, для целей бирациональной классификации достаточно работать только с проективными многообразиями, и это обычно наиболее удобная настройка.

Гораздо глубже теорема Хиронаки 1964 года о разрешении особенностей : над полем характеристики 0 (например, комплексных чисел) каждое многообразие бирационально гладкому проективному многообразию. Учитывая это, достаточно классифицировать гладкие проективные многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности.

В размерности 1, если две гладкие проективные кривые бирациональны, то они изоморфны. Но это не выполняется в размерности по крайней мере 2, из-за конструкции раздутия . При раздутии каждое гладкое проективное многообразие размерности по крайней мере 2 бирационально бесконечно многим "большим" многообразиям, например, с большими числами Бетти .

Это приводит к идее минимальных моделей : существует ли уникальное простейшее многообразие в каждом классе бирациональной эквивалентности? Современное определение состоит в том, что проективное многообразие X является минимальным, если каноническое линейное расслоение K _X имеет неотрицательную степень на каждой кривой в X ; другими словами, K _X является nef . Легко проверить, что раздутые многообразия никогда не являются минимальными.

Это понятие прекрасно работает для алгебраических поверхностей (многообразий размерности 2). В современных терминах один из центральных результатов итальянской школы алгебраической геометрии 1890–1910 годов, часть классификации поверхностей , заключается в том, что каждая поверхность X бирациональна либо произведению некоторой кривой C , либо минимальной поверхности Y . ^{[1] Эти два случая} являются взаимоисключающими, и Y уникален, если он существует. Когда Y существует, он называется минимальной моделью X  . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C}$

Бирациональные инварианты

Сначала неясно, как показать, что существуют алгебраические многообразия, которые не являются рациональными. Чтобы доказать это, нужны некоторые бирациональные инварианты алгебраических многообразий. Бирациональный инвариант — это любое число, кольцо и т. д., которое одинаково или изоморфно для всех многообразий, которые бирационально эквивалентны.

Plurigenera

Одним из полезных наборов бирациональных инвариантов являются плюригенеры . Каноническое расслоение гладкого многообразия X размерности n означает линейное расслоение n -форм K _X = Ω ⁿ , которое является n- й внешней степенью кокасательного расслоения X . Для целого числа d d -я тензорная степень K X снова является линейным расслоением. Для d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H 0 ⁽ X , K X _d ⁾ обладает замечательным свойством , что бирациональное отображение f  : X ⇢ _Y между гладкими проективными многообразиями индуцирует изоморфизм H ⁰ ( X , K _X ^d ) ≅ H ⁰ ( Y , K _Y ^d ) . ^[2]

Для d ≥ 0 определим d- й плюригенус P _d как размерность векторного пространства H ⁰ ( X , K _X ^d ) ; тогда плюригенусы являются бирациональными инвариантами для гладких проективных многообразий. В частности, если любой плюригенус P _d с d > 0 не равен нулю, то X не является рациональным.

измерение Кодаира

Фундаментальным бирациональным инвариантом является размерность Кодаиры , которая измеряет рост плюриродов P _d при стремлении d к бесконечности. Размерность Кодаиры делит все многообразия размерности n на n + 2 типа с размерностью Кодаиры −∞, 0, 1, ... или n . Это мера сложности многообразия, при этом проективное пространство имеет размерность Кодаиры −∞. Наиболее сложными многообразиями являются те, у которых размерность Кодаиры равна их размерности n , называемые многообразиями общего типа .

Слагаемые ⊗кΩ1и некоторые числа Ходжа

В более общем смысле, для любого натурального слагаемого

${\displaystyle E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}}$

r - й тензорной степени кокасательного расслоения Ω ¹ при r ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H ⁰ ( X , E (Ω ¹ )) является бирациональным инвариантом для гладких проективных многообразий. В частности, числа Ходжа

${\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})}$

являются бирациональными инвариантами X. (Большинство других чисел Ходжа h ^{p , q} не являются бирациональными инвариантами, как показано с помощью взрыва.)

Фундаментальная группа гладких проективных многообразий

Фундаментальная группа π ₁ ( X ) является бирациональным инвариантом для гладких комплексных проективных многообразий.

"Теорема о слабой факторизации", доказанная Абрамовичем, Кару, Мацуки и Влодарчиком (2002), гласит, что любое бирациональное отображение между двумя гладкими комплексными проективными многообразиями может быть разложено на конечное число раздутий или раздутий гладких подмногообразий. Это важно знать, но все равно может быть очень сложно определить, являются ли два гладких проективных многообразия бирациональными.

Минимальные модели в более высоких измерениях

Проективное многообразие X называется минимальным, если каноническое расслоение K _X является nef . Для X размерности 2 достаточно рассматривать гладкие многообразия в этом определении. В размерностях по крайней мере 3 минимальные многообразия должны иметь определенные мягкие особенности, для которых K _X все еще ведет себя хорошо; они называются терминальными особенностями .

При этом гипотеза минимальной модели подразумевает, что каждое многообразие X либо покрыто рациональными кривыми , либо бирационально минимальному многообразию Y. Когда оно существует, Y называется минимальной моделью X.

Минимальные модели не являются уникальными в размерностях не менее 3, но любые два минимальных многообразия, которые являются бирациональными, очень близки. Например, они изоморфны вне подмножеств коразмерности не менее 2, и, точнее, они связаны последовательностью флопов . Таким образом, гипотеза о минимальной модели дала бы сильную информацию о бирациональной классификации алгебраических многообразий.

Гипотеза была доказана в размерности 3 Мори. ^[3] Был достигнут большой прогресс в более высоких размерностях, хотя общая проблема остается открытой. В частности, Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан (2010) ^[4] доказали, что каждое многообразие общего типа над полем нулевой характеристики имеет минимальную модель.

Нелинейчатые сорта

Многообразие называется унилинейчатым , если оно покрыто рациональными кривыми. У унилинейчатого многообразия нет минимальной модели, но есть хорошая замена: Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан показали, что каждое унилинейчатое многообразие над полем нулевой характеристики бирационально расслоенному пространству Фано . ^[a] Это приводит к проблеме бирациональной классификации расслоенных пространств Фано и (как наиболее интересный частный случай) многообразий Фано . По определению, проективное многообразие X является многообразием Фано , если антиканоническое расслоение является обильным . Многообразия Фано можно считать алгебраическими многообразиями, которые наиболее похожи на проективное пространство. ${\displaystyle K_{X}^{*}}$

В размерности 2 каждое многообразие Фано (известное как поверхность Дель Пеццо ) над алгебраически замкнутым полем рационально. Главным открытием 1970-х годов было то, что, начиная с размерности 3, существует много многообразий Фано, которые не являются рациональными . В частности, гладкие кубические 3-мерные многообразия не являются рациональными по Клеменсу–Гриффитсу (1972), а гладкие квартические 3-мерные многообразия не являются рациональными по Исковских–Манину (1971). Тем не менее, проблема точного определения того, какие многообразия Фано являются рациональными, далека от решения. Например, неизвестно, существует ли какая-либо гладкая кубическая гиперповерхность в с n ≥ 4 , которая не является рациональной. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$

Бирациональные группы автоморфизмов

Алгебраические многообразия сильно различаются по количеству бирациональных автоморфизмов, которые они имеют. Каждое многообразие общего типа чрезвычайно жестко, в том смысле, что его группа бирациональных автоморфизмов конечна. С другой стороны, группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства над полем k , известная как группа Кремоны Cr _n ( k ), является большой (в некотором смысле бесконечномерной) для n ≥ 2 . Для n = 2 комплексная группа Кремоны порождается «квадратичным преобразованием» ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}$

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

вместе с группой автоморфизмов Макса Нётера и Кастельнуово . Напротив, группа Кремоны в размерностях n ≥ 3 является большой загадкой: явный набор генераторов неизвестен. ${\displaystyle PGL(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}$

Исковских–Манин (1971) показали, что группа бирациональных автоморфизмов гладкого квартического 3-мерного многообразия равна его группе автоморфизмов, которая конечна. В этом смысле квартические 3-мерные многообразия далеки от рациональности, поскольку группа бирациональных автоморфизмов рационального многообразия огромна. Это явление «бирациональной жесткости» с тех пор было обнаружено во многих других расслоенных пространствах Фано. ^{[ необходима цитата ]}

Приложения

Бирациональная геометрия нашла применение в других областях геометрии, но особенно в традиционных задачах алгебраической геометрии.

Известно, что программа минимальной модели использовалась для построения пространств модулей многообразий общего типа Яношем Колларом и Николасом Шепардом-Барроном , теперь известных как пространства модулей KSB. ^[5]

Бирациональная геометрия недавно нашла важные приложения в изучении K-устойчивости многообразий Фано через общие результаты существования для метрик Кэлера–Эйнштейна , в разработке явных инвариантов многообразий Фано для проверки K-устойчивости путем вычислений на бирациональных моделях и в построении пространств модулей многообразий Фано. ^[6] Важные результаты в бирациональной геометрии, такие как доказательство Биркара ограниченности многообразий Фано, были использованы для доказательства результатов существования для пространств модулей.

Смотрите также

• Гипотеза об изобилии

Цитаты

1. Коллар и Мори 1998, Теорема 1.29..
2. Хартшорн 1977, Упражнение II.8.8..
3. Мори 1988.
4. Биркар и др. 2010.
5. Коллар 2013.
6. Сюй 2021.

Примечания

1. Биркар и др. (2010, Следствие 1.3.3) подразумевает, что каждое унилинейчатое многообразие в нулевой характеристике бирационально расслоенному пространству Фано, используя более простой результат, что унилинейчатое многообразие X покрывается семейством кривых, на которых K _X имеет отрицательную степень. Ссылкой на последний факт является Дебарр (2001, Следствие 4.11) и Пример 4.7(1).

Ссылки

• Абрамович, Дэн; Кару, Калле; Мацуки, Кендзи; Влодарчик, Ярослав (2002), «Торификация и факторизация бирациональных карт», Журнал Американского математического общества , 15 (3): 531–572, arXiv : math/9904135 , doi : 10.1090/S0894-0347-02-00396- Х, МР  1896232, S2CID  18211120
• Биркар, Кошер ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер Д .; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для многообразий логарифмически общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS...23..405B, doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3, MR  2601039, S2CID  3342362
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), «Промежуточный якобиан кубического трехмерного многообразия», Annals of Mathematics , вторая серия, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi :10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, MR  0302652
• Дебарр, Оливье (2001). Высокомерная алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95227-7. МР  1841091.
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1978). Принципы алгебраической геометрии . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-32792-9. МР  0507725.
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157.
• Коллар, Янош (2013). «Модули разновидностей общего типа». Справочник модулей . Том. 2. С. 131–157. arXiv : 1008.0621 . ISBN 9781571462589. Збл  1322.14006.
• Исковских, ВА; Манин, Ю. И. (1971), "Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота", Математический сборник , Новая серия, 86 (1): 140–166, Bibcode :1971SbMat..15..141I, doi :10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR  0291172
• Коллар, Янош ; Мори, Шигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, г-н  1658959
• Мори, Шигефуми (1988), «Теорема переворота и существование минимальных моделей для 3-фолдов», Журнал Американского математического общества , 1 (1): 117–253, doi :10.2307/1990969, ISSN  0894-0347, JSTOR  1990969, MR  0924704
• Xu, Chenyang (2021). «K-устойчивость многообразий Фано: алгебро-геометрический подход». Обзоры EMS по математическим наукам . 8 : 265–354. arXiv : 2011.10477 . doi : 10.4171/EMSS/51 . S2CID  204829174.