Преобразование географических координат

Обзор формул преобразования GPS

В геодезии преобразование между различными географическими системами координат становится необходимым из-за того, что различные географические системы координат используются во всем мире и с течением времени. Преобразование координат состоит из нескольких различных типов преобразования: изменение формата географических координат, преобразование систем координат или преобразование в различные геодезические данные . Преобразование географических координат находит применение в картографии , геодезии , навигации и географических информационных системах .

В геодезии преобразование географических координат определяется как перевод между различными форматами координат или картографическими проекциями, которые все привязаны к одной и той же геодезической базе данных. ^[1] Преобразование географических координат — это преобразование различных геодезических данных. В этой статье будут рассмотрены как преобразование, так и преобразование географических координат.

В этой статье предполагается, что читатели уже знакомы с содержанием статей « Географическая система координат и геодезические данные» .

Изменение единиц измерения и формата

Неофициально указание географического местоположения обычно означает указание его широты и долготы . Числовые значения широты и долготы могут иметь различные единицы измерения или форматы: ^[2]

• шестидесятеричный градус : градусы , минуты и секунды  : 40° 26′ 46″ северной широты, 79° 58′ 56″ з.д.
• градусы и десятичные минуты: 40° 26,767′ с.ш., 79° 58,933′ з.д.
• десятичные градусы: +40,446 -79,982

В градусе 60 минут, в минуте 60 секунд. Следовательно, для преобразования формата градусов, минут, секунд в формат десятичных градусов, можно использовать формулу

${\displaystyle {\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}}$.

Чтобы преобразовать формат десятичных градусов в градусы, минуты, секунды,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {absDegrees}}&=|{\rm {{decimal\ degrees}|}}\\{\rm {floorAbsDegrees}}&=\lfloor {\rm {{absDegrees}\rfloor }}\\{\rm {degrees}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{decimal\ degrees})\times {\rm {floorAbsDegrees}}}}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}}$

где и — это просто временные переменные для правильной обработки как положительных, так и отрицательных значений. ${\displaystyle {\rm {absDegrees}}}$ ${\displaystyle {\rm {floorAbsDegrees}}}$

Преобразование системы координат

Преобразование системы координат — это преобразование из одной системы координат в другую, при этом обе системы координат основаны на одной и той же геодезической базе данных. Общие задачи преобразования включают преобразование между геодезическими и геоцентрическими координатами ( ECEF ) и преобразование из одного типа картографической проекции в другой.

От геодезических координат к координатам ECEF

Длина PQ, называемая простым вертикальным радиусом , равна . Длина IQ равна . . ${\displaystyle N(\phi )}$ ${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$ ${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$

Геодезические координаты (широта , долгота , высота ) можно преобразовать в координаты ECEF, используя следующее уравнение: ^[3] ${\displaystyle \ \phi }$ ${\displaystyle \ \lambda }$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {e^{2}}{1+\cot ^{2}\phi }}}}},}$

и и — экваториальный радиус ( большая полуось ) и полярный радиус ( малая полуось ) соответственно. - квадрат первого числового эксцентриситета эллипсоида. это уплощение эллипсоида. Главный вертикальный радиус кривизны — это расстояние от поверхности до оси Z вдоль нормали эллипсоида. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ ${\displaystyle f=1-{\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \,N(\phi )}$

Характеристики

Для долготы так же, как и в геоцентрической системе координат, выполняется следующее условие:

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}$

Для широты справедливо следующее:

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}$

где , поскольку параметр исключается вычитанием ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}$

и

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}$

Кроме того, справедливо следующее, полученное в результате деления приведенных выше уравнений:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}.}$

Ортогональность

Ортогональность координат подтверждается дифференцированием:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}=N(\phi ){\frac {1-e^{2}}{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}$

(см. также « Дуга меридиана на эллипсоиде »).

От ECEF к геодезическим координатам

Преобразование долготы

Преобразование координат ECEF в долготу:

${\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)}$.

где atan2 — арктангенсальная функция, разрешающая квадранты. Геоцентрическая долгота и геодезическая долгота имеют одинаковое значение; это верно для Земли и других планет подобной формы, потому что они имеют большую вращательную симметрию вокруг своей оси вращения ( для обобщения см. Трехосную эллипсоидную долготу ).

Простой метод преобразования широты и высоты.

Преобразование широты и высоты включает в себя круговое соотношение, включающее N , которое является функцией широты:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}}$,

${\displaystyle h={\frac {p}{\cos \phi }}-N}$.

Ее можно решить итеративно, например , ^{[4] [5] , начиная с первого предположения} h ≈0, а затем обновляя N . Более сложные методы показаны ниже. Однако эта процедура чувствительна к небольшой точности из-за разницы между ними, возможно, 10 ⁶ . ^{[6] [7]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$

Метод Ньютона – Рафсона

Следующее иррациональное уравнение геодезической широты Боуринга ^[8] , полученное просто из приведенных выше свойств, эффективно решать итерационным методом Ньютона – Рафсона : ^{[9] [10]}

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}$

где и как раньше. Высота рассчитывается как: ${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi }$ ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&\triangleq \left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}$

Итерацию можно преобразовать в следующий расчет:

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}$

где ${\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}$

Константа является хорошим начальным значением для итерации, когда . Боуринг показал, что единственная итерация дает достаточно точное решение. В своей первоначальной формулировке он использовал дополнительные тригонометрические функции. ${\displaystyle \,\kappa _{0}}$ ${\displaystyle h\approx 0}$

Решение Феррари

Уравнение четвертой степени , полученное из вышеизложенного, можно решить с помощью решения Феррари ^{[11] [12]} и получить: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}$

Применение решения Феррари

Доступен ряд методов и алгоритмов, но наиболее точной, по мнению Чжу, ^[13] является следующая процедура, установленная Хейккиненом, ^[14] , цитируемая Чжу. Это пересекается с вышеизложенным. Предполагается, что геодезические параметры известны. ${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. Earth Equatorial Radius}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m. Earth Polar Radius}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}$

Примечание: arctan2 [Y, X] — это четырехквадрантная функция обратного тангенса.

Силовая серия

Для малых e ² степенной ряд

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}$

начинается с

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Геодезические в/из координат ЕНУ

Преобразование геодезических координат в координаты местной касательной плоскости ( ENU ) представляет собой двухэтапный процесс:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF
2. Преобразование координат ECEF в локальные координаты ENU

От ECEF до ЕНУ

Для преобразования координат ECEF в локальные координаты нам нужна локальная контрольная точка. Обычно это может быть местоположение радара. Если радар расположен в , а самолет в , то вектор, указывающий от радара к самолету в кадре ENU, равен ${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Примечание: – геодезическая широта ; геоцентрическая широта не подходит для представления вертикального направления местной касательной плоскости и при необходимости должна быть преобразована . ${\displaystyle \ \phi }$

От ЕНУ до ECEF

Это просто инверсия преобразования ECEF в ENU, поэтому

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Преобразование между картографическими проекциями

Преобразование координат и положений карты между различными картографическими проекциями, привязанными к одной и той же базе данных, может быть выполнено либо с помощью формул прямого перевода из одной проекции в другую, либо путем предварительного преобразования проекции в промежуточную систему координат, например ECEF, а затем преобразования из ECEF. к проекции . Используемые формулы могут быть сложными, и в некоторых случаях, например, в приведенном выше преобразовании ECEF в геодезические, преобразование не имеет решения в замкнутой форме, и необходимо использовать приближенные методы. Такие ссылки, как Техническое руководство DMA 8358.1 ^[15] и документ Геологической службы США « Картографические проекции: рабочее руководство» ^[16] содержат формулы для преобразования картографических проекций. Для выполнения задач преобразования координат обычно используются компьютерные программы, например, с помощью программы GEOTRANS, поддерживаемой Министерством обороны и NGA. ^[17] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Преобразования датума

Различные возможные пути преобразования географических координат из одной точки в другую. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Преобразования между данными могут быть выполнены несколькими способами. Существуют преобразования, которые напрямую преобразуют геодезические координаты из одной системы отсчета в другую. Существуют и другие косвенные преобразования, которые преобразуют геодезические координаты в координаты ECEF, преобразуют координаты ECEF из одной базы данных в другую, а затем преобразуют координаты ECEF новой базы данных обратно в геодезические координаты. Существуют также преобразования на основе сетки, которые напрямую преобразуют одну пару (база данных, картографическая проекция) в другую пару (база данных, картографическая проекция).

Преобразование Гельмерта

Использование преобразования Гельмерта при преобразовании геодезических координат датума в геодезические координаты датума происходит в рамках трехэтапного процесса: ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF для исходной точки. ${\displaystyle A}$
2. Примените преобразование Гельмерта с соответствующими параметрами преобразования для преобразования базовых координат ECEF в базовые координаты ECEF. ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Преобразование координат ECEF в геодезические координаты для исходной точки. ${\displaystyle B}$

В терминах векторов ECEF XYZ преобразование Гельмерта имеет вид (соглашение о преобразовании вектора положения и упрощение очень малых углов поворота) ^[18]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}$

Преобразование Гельмерта представляет собой семипараметрическое преобразование с тремя параметрами перемещения (сдвига) , тремя параметрами вращения и одним параметром масштабирования (расширения) . Преобразование Гельмерта — это приближенный метод, который точен, когда параметры преобразования малы по сравнению с величинами векторов ECEF. В этих условиях преобразование считается обратимым. ^[19] ${\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}$ ${\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}$ ${\displaystyle s}$

Преобразование Гельмерта с четырнадцатью параметрами, с линейной зависимостью каждого параметра от времени, ^{[19] : 131-133,} может использоваться для фиксации временной эволюции географических координат из-за геоморфических процессов, таких как дрейф континентов ^[20] и землетрясения. ^[21] Это было включено в программное обеспечение, такое как инструмент горизонтального позиционирования в зависимости от времени (HTDP) от US NGS. ^[22]

Преобразование Молоденского-Бадекаса

Чтобы устранить связь между вращениями и перемещениями преобразования Гельмерта, можно ввести три дополнительных параметра, чтобы задать новый центр вращения XYZ ближе к преобразуемым координатам. Эта десятипараметрическая модель называется преобразованием Молоденского-Бадекаса , и ее не следует путать с более простым преобразованием Молоденского. ^{[19] : 133-134}

Как и преобразование Гельмерта, использование преобразования Молоденского-Бадекаса представляет собой трехэтапный процесс:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF для исходной точки. ${\displaystyle A}$
2. Примените преобразование Молоденского-Бадекаса с соответствующими параметрами преобразования для преобразования базовых координат ECEF в базовые координаты ECEF. ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Преобразование координат ECEF в геодезические координаты для исходной точки. ${\displaystyle B}$

Преобразование имеет вид ^[23]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.}$

где – начало преобразований вращения и масштабирования, а – масштабный коэффициент. ${\displaystyle \left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)}$ ${\displaystyle \Delta S}$

Преобразование Молоденского-Бадекаса используется для преобразования локальных геодезических данных в глобальные геодезические данные, такие как WGS 84. В отличие от преобразования Гельмерта, преобразование Молоденского-Бадекаса не является обратимым, поскольку начало вращения связано с исходным датумом. ^{[19] : 134}

Молоденское преобразование

Преобразование Молоденского осуществляет прямое преобразование между геодезическими системами координат различных баз без промежуточного этапа преобразования в геоцентрические координаты (ECEF). ^[24] Для этого необходимы три смещения между базовыми центрами и различия между большими полуосями опорного эллипсоида и параметрами уплощения.

Преобразование Молоденского используется Национальным агентством геопространственной разведки (NGA) в их стандарте TR8350.2 и в программе GEOTRANS, поддерживаемой NGA. ^[25] Метод Молоденского был популярен до появления современных компьютеров и является частью многих геодезических программ.

Сеточный метод

Величина смещения положения между датумами NAD27 и NAD83 в зависимости от местоположения.

Преобразования на основе сетки напрямую преобразуют координаты карты из одной пары (карта-проекция, геодезические данные) в координаты карты другой пары (карта-проекция, геодезические данные). Примером может служить метод NADCON для преобразования данных из североамериканского датума (NAD) 1927 года в датум NAD 1983 года. ^[26] Эталонная сеть высокой точности (HARN), высокоточная версия преобразований NADCON, имеет точность около 5 сантиметров. Национальная версия преобразования 2 ( NTv2 ) — это канадская версия NADCON для преобразования между NAD 1927 и NAD 1983. HARN также известны как NAD 83/91 и High Precision Grid Networks (HPGN). ^[27] Впоследствии Австралия и Новая Зеландия приняли формат NTv2 для создания методов на основе сетки для преобразования своих собственных локальных датумов.

Подобно преобразованию уравнения множественной регрессии, методы на основе сетки используют метод интерполяции низкого порядка для преобразования координат карты, но в двух измерениях вместо трех. NOAA предоставляет программный инструмент (как часть набора геодезических инструментов NGS) для выполнения преобразований NADCON. ^{[28] [29]}

Уравнения множественной регрессии

Преобразования данных с использованием эмпирических методов множественной регрессии были созданы для достижения более точных результатов в небольших географических регионах, чем стандартные преобразования Молоденского. Преобразования MRE используются для преобразования локальных датумов по регионам размером с континент или меньше в глобальные датумы, такие как WGS 84. ^[30] В стандарте NIMA TM 8350.2, Приложение D, ^[31] перечислены преобразования MRE из нескольких локальных датумов в WGS 84, с точностью около 2 метров. ^[32]

MRE представляют собой прямое преобразование геодезических координат без промежуточного этапа ECEF. Геодезические координаты в новом датуме моделируются как полиномы до девятой степени от геодезических координат исходного датума . Например, изменение можно параметризовать как (с указанием только квадратичных членов) ^{[30] : 9} ${\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

${\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }$

где

${\displaystyle a_{i},}$параметры, подобранные с помощью множественной регрессии

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K,}$масштаб

${\displaystyle \phi _{m},\,\lambda _{m},}$происхождение данных, ${\displaystyle A.}$

с аналогичными уравнениями для и . При наличии достаточного количества пар координат для ориентиров в обеих базах данных для получения хорошей статистики используются методы множественной регрессии для подбора параметров этих полиномов. Полиномы вместе с подобранными коэффициентами образуют уравнения множественной регрессии. ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle \Delta h}$ ${\displaystyle (A,\,B)}$

Смотрите также

• Система координат Гаусса – Крюгера
• Список картографических проекций
• Пространственная система отсчета
• Топоцентрическая система координат
• Универсальная полярная стереографическая система координат.
• Универсальная поперечная система координат Меркатора
• Географическое расстояние

Рекомендации

1. Роджер Фостер; Дэн Маллани. «Основная геодезическая статья 018: Преобразования и преобразования» (PDF) . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано (PDF) из оригинала 27 ноября 2020 г. Проверено 4 марта 2014 г.
2. «Трансформатор координат». Артиллерийское обследование Великобритании. Архивировано из оригинала 12 августа 2013 года . Проверено 4 марта 2014 г.
3. Б. Хофманн-Велленхоф; Х. Лихтенеггер; Дж. Коллинз (1997). GPS – теория и практика . Раздел 10.2.1. п. 282. ИСБН 3-211-82839-7.
4. Руководство по системам координат в Великобритании. Он доступен в формате PDF на сайте ordnancesurvey.co.uk. Архивировано из оригинала 11 февраля 2012 г. Проверено 11 января 2012 г.Приложения Б1, Б2
5. Осборн, П. (2008). Прогнозы Меркатора. Архивировано 18 января 2012 г. в разделе 5.4 Wayback Machine .
6. Р. Берч, Сравнение методов, используемых при преобразованиях прямоугольных и геодезических координат.
7. Фезерстоун, МЫ; Классенс, SJ (2008). «Преобразование в замкнутой форме между геодезическими и эллипсоидальными координатами». Стад. Геофиз. Геод . 52 (1): 1–18. Бибкод : 2008StGG...52....1F. дои : 10.1007/s11200-008-0002-6. hdl : 20.500.11937/11589 . S2CID  59401014.
8. Боуринг, BR (1976). «Преобразование пространственных координат в географические». Выж. Преподобный . 23 (181): 323–327. дои : 10.1179/003962676791280626.
9. Фукусима, Т. (1999). «Быстрое преобразование геоцентрических координат в геодезические». Дж. Геод . 73 (11): 603–610. Бибкод : 1999JGeod..73..603F. дои : 10.1007/s001900050271. S2CID  121816294.(Приложение Б)
10. Судано, Джей-Джей (1997). «Точное преобразование геоцентрической системы координат в широту, долготу и высоту». Материалы Национальной конференции по аэрокосмической и электронике IEEE 1997 года. НАЭКОН 1997 . Том. 2. С. 646–650. дои : 10.1109/NAECON.1997.622711. ISBN 0-7803-3725-5. S2CID  111028929.
11. Вермей, Х., Х. (2002). «Прямое преобразование геоцентрических координат в геодезические». Дж. Геод . 76 (8): 451–454. дои : 10.1007/s00190-002-0273-6. S2CID  120075409.
12. Гонсалес-Вега, Лауреано; ПолоБланко, Ирен (2009). «Символический анализ полиномов Вермейля и Борковского для преобразования трехмерных декартовых координат в геодезические координаты». Дж. Геод . 83 (11): 1071–1081. Бибкод : 2009JGeod..83.1071G. дои : 10.1007/s00190-009-0325-2. S2CID  120864969.
13. Чжу, Дж. (1994). «Преобразование геоцентрических наземных координат в геодезические координаты». Транзакции IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 30 (3): 957–961. Бибкод : 1994ITAES..30..957Z. дои : 10.1109/7.303772.
14. Хейккинен, М. (1982). «Geschlossene formeln zur berechnung räumlicher geodätischer koordinaten aus rechtwinkligen koordinaten». З. Вермесс. (на немецком). 107 : 207–211.
15. «TM8358.2: Универсальные сетки: Универсальная поперечная Меркатора (UTM) и Универсальная полярная стереографическая (UPS)» (PDF) . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано (PDF) из оригинала 3 марта 2020 г. Проверено 4 марта 2014 г.
16. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции: Рабочее руководство. Профессиональный документ USGS: 1395. Архивировано из оригинала 17 мая 2011 г. Проверено 28 августа 2017 г.
17. "MSP GEOTRANS 3.3 (Географический переводчик)" . NGA: Отдел анализа систем координат. Архивировано из оригинала 15 марта 2014 года . Проверено 4 марта 2014 г.
18. «Уравнения, используемые для преобразования данных». Информация о земле Новой Зеландии (LINZ). Архивировано из оригинала 6 марта 2014 года . Проверено 5 марта 2014 г.
19. «Руководство по геоматике, номер 7, часть 2. Преобразования и преобразования координат, включая формулы» (PDF) . Международная ассоциация производителей нефти и газа (OGP). Архивировано из оригинала (PDF) 6 марта 2014 года . Проверено 5 марта 2014 г.
20. Болстад, Пол (2012). Основы ГИС, 4-е издание (PDF) . Книги Атлас. п. 93. ИСБН 978-0-9717647-3-6. Архивировано из оригинала (PDF) 2 февраля 2016 г.
21. «Дополнение к NIMA TR 8350.2: Внедрение Всемирной геодезической системы 1984 года (WGS 84), опорная система G1150» (PDF) . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано (PDF) из оригинала 11 мая 2012 года . Проверено 6 марта 2014 г.
22. «HTDP — горизонтальное позиционирование, зависящее от времени» . Национальная геодезическая служба США (NGS). Архивировано из оригинала 25 ноября 2019 года . Проверено 5 марта 2014 г.
23. "Преобразования Молоденского-Бадекаса (7+3)" . Национальное агентство геопространственной разведки (NGA). Архивировано из оригинала 19 июля 2013 года . Проверено 5 марта 2014 г.
24. «Справка ArcGIS 10.1: Методы на основе уравнений» . ЭСРИ. Архивировано из оригинала 4 декабря 2019 года . Проверено 5 марта 2014 г.
25. «Преобразования данных». Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано из оригинала 9 октября 2014 года . Проверено 5 марта 2014 г.
26. «Справка ArcGIS 10.1: Методы на основе сетки» . ЭСРИ. Архивировано из оригинала 4 декабря 2019 года . Проверено 5 марта 2014 г.
27. "Метод сдвига данных NADCON/HARN" . bluemarblegeo.com. Архивировано из оригинала 6 марта 2014 года . Проверено 5 марта 2014 г.
28. «NADCON - Версия 4.2» . НОАА. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 5 марта 2014 г.
29. Малкаре, Дональд М. «Набор инструментов NGS, Часть 8: Инструмент Национальной геодезической службы NADCON». Журнал «Профессиональный геодезист». Архивировано из оригинала 6 марта 2014 года . Проверено 5 марта 2014 г.
30. Справочник пользователя по преобразованиям датумов с использованием WGS 84 (PDF) (Отчет). Специальное издание № 60 (3-е изд.). Монако: Международное гидрографическое бюро. Август 2008 г. Архивировано (PDF) из оригинала 12 апреля 2016 г. Проверено 10 января 2017 г.
31. «МИРОВАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МИРОВОЙ ОБОРОНЫ 1984 г., ее определение и связь с местными геодезическими системами» (PDF) . Национальное агентство изображений и картографии (NIMA). Архивировано (PDF) из оригинала 11 апреля 2014 г. Проверено 5 марта 2014 г.
32. Тейлор, Чак. «Высокоточные преобразования данных». Архивировано из оригинала 4 января 2013 года . Проверено 5 марта 2014 г.