Приближение Дерягина

Приближение Дерягина связывает силу между двумя сферами (вверху) и энергию взаимодействия между двумя пластинами (внизу).

Приближение Дерягина (иногда также называемое приближением близости ), названное в честь русского ученого Бориса Дерягина , выражает профиль силы , действующей между телами конечного размера, через профиль силы между двумя плоскими полубесконечными стенками. ^[1] Это приближение широко используется для оценки сил между коллоидными частицами , поскольку силы между двумя плоскими телами часто гораздо проще вычислить. Приближение Дерягина выражает силу F ( h ) между двумя телами как функцию разделения поверхностей как ^[2]

${\displaystyle F(h)=2\pi R_{\rm {eff}}W(h),}$

где W ( h ) - энергия взаимодействия на единицу площади между двумя плоскими стенками, а R _eff - эффективный радиус. Когда два тела представляют собой две сферы с радиусами R ₁ и R ₂ соответственно, эффективный радиус определяется как

${\displaystyle R_{\rm {eff}}^{-1}=R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}.}$

Экспериментальные профили сил между макроскопическими телами, измеренные с помощью аппарата поверхностных сил (SFA) ^[3] или метода коллоидного зонда ^[4], часто представляются как отношение F ( h )/ R _eff .

Вовлеченные количества и действительность

Сила F ( h ) между двумя телами связана со свободной энергией взаимодействия U ( h ) следующим образом:

${\displaystyle F(h)=-{dU \over dh},}$

где h — расстояние между поверхностями. Наоборот, когда профиль силы известен, можно оценить энергию взаимодействия как

${\displaystyle U(h)=\int _{h}^{\infty }F(h')\,dh'.}$

Когда рассматриваются две плоские стены, соответствующие величины выражаются на единицу площади. Расклинивающее давление — это сила на единицу площади, и его можно выразить производной

${\displaystyle \Pi (h)=-{dW \over dh},}$

где W ( h ) — свободная энергия поверхности на единицу площади. Наоборот, есть

${\displaystyle W(h)=\int _{h}^{\infty }\Pi (h')\,dh'.}$

Главное ограничение приближения Дерягина заключается в том, что оно справедливо только на расстояниях, намного меньших, чем размер вовлеченных объектов, а именно h ≪ R ₁ и h ≪ R ₂ . Более того, это континуальное приближение и, таким образом, справедливо на расстояниях, больших, чем молекулярная шкала длины. Даже когда задействованы шероховатые поверхности, это приближение, как было показано, справедливо во многих ситуациях. ^[5] Его область применимости ограничена расстояниями, большими, чем характерный размер особенностей шероховатости поверхности (например, среднеквадратичной шероховатости).

Особые случаи

Часто используемые геометрии для приближения Дерягина. Две одинаковые сферы, плоская стенка и сфера, и два перпендикулярно пересекающихся цилиндра (слева направо).

Часто рассматриваемые геометрии включают взаимодействие между двумя идентичными сферами радиуса R , где эффективный радиус становится

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R/2.}$

В случае взаимодействия сферы радиуса R с плоской поверхностью имеем

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R.}$

Вышеуказанные два соотношения могут быть получены как частные случаи выражения для R _{eff ,} приведенного выше. Для ситуации перпендикулярно пересекающихся цилиндров, как это используется в аппарате поверхностных сил, есть

${\displaystyle R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},}$

где R ₁ и R ₂ — радиусы кривизны двух рассматриваемых цилиндров.

Упрощенный вывод

Пояснения к выводу приближения Дерягина для двух одинаковых сфер.

Рассмотрим силу F ( h ) между двумя идентичными сферами радиуса R в качестве иллюстрации. Поверхности двух соответствующих сфер считаются нарезанными на бесконечно малые диски шириной dr и радиусом r , как показано на рисунке. Сила определяется суммой соответствующих давлений набухания между двумя дисками

${\displaystyle F=\int \Pi (x)\,dA,}$

где x — расстояние между дисками, а dA — площадь одного из этих дисков. Это расстояние можно выразить как x = h +2 y . Рассматривая теорему Пифагора для серого треугольника, показанного на рисунке, имеем

${\displaystyle R^{2}=(R-y)^{2}+r^{2}.}$

Расширяя это выражение и понимая, что y ≪ R, находим, что площадь диска можно выразить как

${\displaystyle dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.}$

Силу теперь можно записать как

${\displaystyle F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x)\,dx=\pi RW(h),}$

где W ( h ) — поверхностная свободная энергия на единицу площади, введенная выше. При введении уравнения выше верхний предел интегрирования был заменен бесконечностью, что приблизительно верно, пока h ≪ R .

Общий случай

В общем случае двух выпуклых тел эффективный радиус можно выразить следующим образом ^[6]

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}}+{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_{2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,}$

где R' _i и R" _i — главные радиусы кривизны поверхностей i = 1 и 2, оцененные в точках наибольшего сближения, а φ — угол между плоскостями, образованными окружностями с меньшими радиусами кривизны. Когда тела имеют несферическую форму вокруг положения наибольшего сближения, между двумя телами возникает крутящий момент , который определяется выражением ^[6]

${\displaystyle T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,}$

где

${\displaystyle V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.}$

Приведенные выше выражения для двух сфер восстанавливаются путем подстановки R' _i = R" _i = R _i . В этом случае крутящий момент равен нулю.

Выражение для двух перпендикулярно пересекающихся цилиндров получается из R' _i = R _i и R" _i → ∞. В этом случае крутящий момент будет стремиться ориентировать цилиндры перпендикулярно для сил отталкивания. Для сил притяжения крутящий момент будет стремиться выровнять их.

Эти общие формулы использовались для приблизительной оценки сил взаимодействия между эллипсоидами. ^[7]

За пределами приближения Дерягина

Приближение Дерягина уникально, учитывая его простоту и общность. Для улучшения этого приближения были предложены метод интеграции элементов поверхности, а также подход интеграции поверхности для получения более точных выражений сил между двумя телами. Эти процедуры также учитывают относительную ориентацию сближающихся поверхностей. ^{[8] [9]}

Смотрите также

• Атомно-силовая микроскопия
• Электрические силы двойного слоя
• Теория ДЛФО
• Сила Ван-дер-Ваальса

Ссылки

1. Дерягин, Б.В. (1934). «Untersuchungen über die Reibung und Adhäsion, IV. Theorie des Anhaftens kleiner Teilchen» [Анализ трения и адгезии, IV. Теория адгезии малых частиц. Коллоид З. (на немецком языке). 69 (2): 155–164. дои : 10.1007/BF01433225. S2CID  101526931.
2. Рассел, У. Б.; Сэвилл, Д. А.; Шоуолтер, У. Р. (1989). Коллоидные дисперсии . Cambridge University Press. ISBN 978-0521426008.
3. Дж. Израэлашвили, Межмолекулярные и поверхностные силы , Academic Press, Лондон, 1992.
4. Дакер, WA; Сенден, TJ; Пашли, RM (1991). «Прямое измерение коллоидных сил с использованием атомно-силового микроскопа». Nature . 353 (6341): 239. Bibcode :1991Natur.353..239D. doi :10.1038/353239a0. S2CID  4311419.
   Butt, HJR (1991). «Измерение электростатических, ван-дер-ваальсовых и гидратационных сил в растворах электролитов с помощью атомно-силового микроскопа». Biophysical Journal . 60 (6): 1438–1444. Bibcode :1991BpJ....60.1438B. doi :10.1016/S0006-3495(91)82180-4. PMC  1260203 . PMID  19431815.
5. Rentsch, S.; Pericet-Camara, R.; Papastavrou, G.; Borkovec, M. (2006). "Probing the validity of the Derjaguin approximation for heterogeneous colloidalarticulates" (PDF) . Physical Chemistry Chemical Physics . 8 (21): 2531–2538. Bibcode :2006PCCP....8.2531R. doi :10.1039/B602145J. PMID  16721438.
6. White, LR (1983). «О приближении Дерягина для взаимодействия макротел». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 95 (1): 286–288. Bibcode :1983JCIS...95..286W. doi :10.1016/0021-9797(83)90103-0.
7. Адамчик, З.; Веронский, П. (1999). «Применение теории DLVO для задач осаждения частиц». Advances in Colloid and Interface Science . 83 (1–3): 137–226. doi :10.1016/S0001-8686(99)00009-3.
8. Бхаттачарджи, С.; Элимелех, М. (1997). «Интеграция поверхностных элементов: новый метод оценки взаимодействия DLVO между частицей и плоской пластиной». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 193 (2): 273–285. Bibcode : 1997JCIS..193..273B. doi : 10.1006/jcis.1997.5076. PMID  9344528.
9. Данчев, Д.; Валчев, Г. (2012). «Подход к интеграции поверхностей: новый метод оценки сил, зависящих от геометрии, между объектами различной геометрии и пластиной». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 372 (1): 148–163. Bibcode : 2012JCIS..372..148D. doi : 10.1016/j.jcis.2011.12.040. PMID  22261271.

Дальнейшее чтение

• Zypman, FR (2006). «Точные выражения для сил и энергий взаимодействия коллоидной плоскости с частицей с приложениями к атомно-силовой микроскопии». J. Phys.: Condens. Matter . 8 (10): 2795–2803. Bibcode :2006JPCM...18.2795Z. doi :10.1088/0953-8984/18/10/005.