Треугольная призма

Призма с 3-сторонним основанием

В геометрии треугольная призма или тригональная призма ^[1] — это призма с 2 треугольными основаниями. Если ребра парные с вершинами каждого треугольника и если они перпендикулярны основанию, это правильная треугольная призма . Правая треугольная призма может быть как полуправильной , так и однородной .

Треугольная призма может быть использована для построения другого многогранника. Примерами являются некоторые тела Джонсона , усеченная прямоугольная призма и многогранник Шёнхардта .

Характеристики

Треугольная призма имеет 6 вершин, 9 ребер и 5 граней. Каждая призма имеет 2 конгруэнтные грани, известные как ее основания , а основания треугольной призмы являются треугольниками . Треугольник имеет 3 вершины, каждая из которых соединяется с вершиной другого треугольника, составляя еще 3 ребра. Эти ребра образуют 3 параллелограмма как другие грани. ^[2] Если ребра призмы перпендикулярны основанию, боковые грани являются прямоугольниками , и призма называется прямой треугольной призмой . ^[3] Эту призму также можно считать частным случаем клина . [ ^4]

3D модель (однородной) треугольной призмы

Если основание равностороннее , а боковые грани квадратные , то правильная треугольная призма является полуправильной . Полуправильная призма означает, что число ребер ее многоугольного основания равно числу ее квадратных граней. ^[5] В более общем смысле, треугольная призма является однородной . Это означает, что треугольная призма имеет правильные грани и имеет изогональную симметрию на вершинах. ^[6] Трехмерная группа симметрии прямой треугольной призмы является диэдральной группой D _{3 h} порядка 12: внешний вид не изменится, если треугольную призму повернуть на одну и две трети полного угла вокруг ее оси симметрии, проходящей через центральное основание, и отразить относительно горизонтальной плоскости. Двойственный многогранник треугольной призмы является треугольной бипирамидой . Треугольная бипирамида имеет ту же симметрию, что и треугольная призма. ^[1] Двугранный угол между двумя соседними квадратными гранями является внутренним углом равностороннего треугольника π /3 = 60° , а между квадратом и треугольником — π /2 = 90° . ^[7]

Объем любой призмы равен произведению площади основания на расстояние между двумя основаниями. ^[8] В случае треугольной призмы ее основанием является треугольник, поэтому ее объем можно вычислить, умножив площадь треугольника на длину призмы: где b — длина одной стороны треугольника, h — длина высоты , проведенной к этой стороне, а l — расстояние между треугольными гранями. ^[9] В случае прямой треугольной призмы, где все ее ребра имеют одинаковую длину l , ее объем можно вычислить как произведение площади равностороннего треугольника на длину l : ^[10] $${\displaystyle {\frac {bhl}{2}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}l^{2}\cdot l\approx 0.433l^{3}}$$

Треугольную призму можно представить как граф призмы Π ₃ . В более общем случае граф призмы Π _n представляет собой n - стороннюю призму. ^[11]

Связанный многогранник

В построении многогранника

Помимо треугольной бипирамиды как ее двойственного многогранника, с треугольной призмой связано множество других многогранников. Тело Джонсона — это выпуклый многогранник с правильными гранями, и это определение иногда опускается для однородных многогранников, таких как архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . ^[12] Существует 6 тел Джонсона, в конструкции которых задействована треугольная призма: удлиненная треугольная пирамида , удлиненная треугольная бипирамида , гиробифастигиум , увеличенная треугольная призма , двукратно увеличенная треугольная призма и трикратно увеличенная треугольная призма . Удлиненная треугольная пирамида и гироудлиненная треугольная пирамида построены путем присоединения тетраэдра к основанию треугольной призмы. Увеличенная треугольная призма, двукратно увеличенная треугольная призма и трикратно увеличенная треугольная призма построены путем присоединения равносторонних квадратных пирамид к квадратной грани призмы. Гиробифастигиум построен путем присоединения двух треугольных призм вдоль одной из его квадратных граней. ^[13]

Усеченная правильная треугольная призма

Усеченная треугольная призма — это треугольная призма, образованная усечением ее части под косым углом. В результате два основания не параллельны, и каждая высота имеет различную длину ребра. Если ребра, соединяющие основания, перпендикулярны одному из ее оснований, призма называется усеченной прямой треугольной призмой . Учитывая, что A — площадь основания треугольной призмы, а три высоты h ₁ , h ₂ и h ₃ , ее объем можно определить по следующей формуле: ^[14] $${\displaystyle {\frac {A(h_{1}+h_{2}+h_{3})}{3}}.}$$

многогранник Шёнхардта

Многогранник Шёнхардта — это еще один многогранник, построенный из треугольной призмы с равносторонними треугольными основаниями. Таким образом, одно из его оснований вращается вокруг центральной линии призмы и разбивает квадратные грани на косые многоугольники . Каждая квадратная грань может быть повторно триангулирована двумя треугольниками, чтобы сформировать невыпуклый двугранный угол. ^[15] В результате многогранник Шёнхардта не может быть триангулирован путем разбиения на тетраэдры. Также многогранник Шёнхардта не имеет внутренних диагоналей. ^[16] Он назван в честь немецкого математика Эриха Шёнхардта , который описал его в 1928 году, хотя связанная структура была выставлена ​​художником Карлисом Йохансонсом в 1921 году. ^[17]

Скрещенная треугольная антипризма имеет общее расположение вершин с треугольной призмой в качестве огранки , с боковыми равнобедренными треугольниками .

Существует 4 однородных соединения треугольных призм. Это соединение четырех треугольных призм , соединение восьми треугольных призм , соединение десяти треугольных призм , соединение двадцати треугольных призм . ^[18]

Соты

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки треугольной призмы:

Скрученные удлиненные чередующиеся кубические соты , удлиненные чередующиеся кубические соты , спиральные треугольные призматические соты , плосконосые квадратные призматические соты , треугольные призматические соты , треугольно-шестиугольные призматические соты , усеченные шестиугольные призматические соты , ромбо -треугольно-шестиугольные призматические соты , плосконосые треугольно-шестиугольные призматические соты , удлиненные треугольные призматические соты

Связанные многогранники

Треугольная призма является первой в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из вершинной фигуры предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все грани правильного многогранника , содержащие все симплексы и ортоплексы ( равносторонние треугольники и квадраты в случае треугольной призмы). В нотации Коксетера треугольной призме присваивается символ −1 ₂₁ .

Четырехмерное пространство

Треугольная призма существует в виде ячеек ряда четырехмерных однородных 4-многогранников , включая:

Ссылки

Цитаты

1. King (1994), стр. 113.
2. • Кинг (1994), стр. 113
   • Берман (1971)
3. Керн и Бланд (1938), стр. 25.
4. Хаул (1893), стр. 45.
5. О'Киф и Хайд (2020), стр. 139.
6. • Берман и Уильямс (2009), стр. 100
   • Мессер (2002)
7. Джонсон (1966).
8. Керн и Бланд (1938), стр. 26.
9. • Кинси, Мур и Прасидис (2011), стр. 389
   • Хаул (1893), стр. 45
10. Берман (1971).
11. Пизански и Серватиус (2013), с. 21.
12. • Тодеско (2020), стр. 282
    • Уильямс и Монтелеоне (2021), с. 23
13. • Раджваде (2001)
    • Берман (1971)
14. Керн и Бланд (1938), стр. 81.
15. • Шёнхардт (1928)
    • Бездек и Кэрриган (2016)
16. Багемиль (1948).
17. • Шёнхардт (1928)
    • Бансод, Нанданвар и Бурша (2014)
18. Скиллинг (1976).

Библиография

• Багемиль, Ф. (1948). «О неразложимых многогранниках». American Mathematical Monthly . 55 (7): 411–413. doi :10.2307/2306130. JSTOR  2306130.
• Бансод, Йогеш Дипак; Нанданвар, Дипеш; Бурша, Йиржи (2014). «Обзор тенсегрити – I: Базовые структуры» (PDF) . Инженерная механика . 21 (5): 355–367.
• Берман, Лия Ренн; Уильямс, Гордон (2009). «Исследование многогранников и открытие формулы Эйлера». В Хопкин, Брайан (ред.). Ресурсы для преподавания дискретной математики: проекты для занятий в классе, модули по истории и статьи . Математическая ассоциация Америки .
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
• Бездек, Андрас; Кэрриган, Брэкстон (2016). «О нетреугольных многогранниках». Beiträge zur Algebra und Geometry . 57 (1): 51–66. дои : 10.1007/s13366-015-0248-4. MR  3457762. S2CID  118484882.
• Хоул, Вм. С. (1893). Измерение. Джинн и компания.
• Керн, Уильям Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1938). Твердое измерение с доказательствами . OCLC  1035479.
• King, Robert B. (1994). "Polyhedral Dynamics". В Bonchev, Danail D.; Mekenyan, OG (ред.). Графовые теоретические подходы к химической реактивности . Springer. doi :10.1007/978-94-011-1202-4. ISBN 978-94-011-1202-4.
• Кинси, Л. Кристин ; Мур, Тереза ​​Э.; Прасидис, Эфстратиос (2011). Геометрия и симметрия. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-49949-8.
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
• Мессер, Питер В. (2002). «Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойственных». Дискретная вычислительная геометрия . 27 : 353–375. doi :10.1007/s00454-001-0078-2.
• О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Dover Publications . ISBN 978-0-486-83654-6.
• Писански, Томаж; Серватиус, Бригитте (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Springer. doi :10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
• Rajwade, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
• Шенхардт, Э. (1928). «Über die Zerlegung von Dreieckspolyedern в Tetraeder». Математические Анналы : 309–312. дои : 10.1007/BF01451597.
• Скиллинг, Джон (1976), «Однородные соединения однородных многогранников», Математические труды Кембриджского философского общества , 79 : 447–457, doi :10.1017/S0305004100052440, MR  0397554
• Todesco, Gian Marco (2020). «Гиперболические соты». В Emmer, Michele; Abate, Marco (ред.). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics . Springer. doi : 10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN 978-3-030-42653-8.
• Уильямс, Ким; Монтелеоне, Косино (2021). Перспектива Даниэле Барбаро 1568 года . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-76687-0. ISBN 978-3-030-76687-0.