Применение функции

Понятие в математике

В математике применение функции — это действие по применению функции к аргументу из ее области определения с целью получения соответствующего значения из ее диапазона . ^[1] В этом смысле применение функции можно рассматривать как противоположность абстракции функции .

Представление

Применение функции обычно изображается путем сопоставления переменной, представляющей функцию, с ее аргументом, заключенным в скобки . Например, следующее выражение представляет собой применение функции ƒ к ее аргументу x .

${\displaystyle f(x)}$

В некоторых случаях используется другая нотация, где скобки не требуются, и применение функции может быть выражено просто сопоставлением . Например, следующее выражение можно считать тем же, что и предыдущее:

${\displaystyle f\;x}$

Последняя нотация особенно полезна в сочетании с изоморфизмом каррирования . Если задана функция , ее применение представляется как первая нотация и (или с аргументом, записанным с менее распространенными угловыми скобками) как вторая. Однако функции в каррированной форме могут быть представлены путем сопоставления их аргументов: , а не . Это основано на применении функции, являющемся левоассоциативным . ${\displaystyle f:(X\times Y)\to Z}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f\;(x,y)}$ ${\displaystyle f\;\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to (Y\to Z)}$ ${\displaystyle f\;x\;y}$ ${\displaystyle f(x)(y)}$

Как оператор

Функцию применения можно тривиально определить как оператор , называемый apply или , с помощью следующего определения: ${\displaystyle \$}$

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} x=f(x)}$

Оператор также может быть обозначен обратным апострофом (`).

Если оператор понимается как имеющий низкий приоритет и правоассоциативный , оператор применения может быть использован для сокращения количества скобок, необходимых в выражении. Например;

${\displaystyle f(g(h(j(x))))}$

можно переписать как:

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} g\mathop {\,\$\,} h\mathop {\,\$\,} j\mathop {\,\$\,} x}$

Однако, возможно, это более наглядно выражается при использовании композиции функций :

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j)(x)}$

или даже:

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j\circ x)()}$

если рассматривать как константную функцию, возвращающую . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Другие случаи

Применение функции в лямбда-исчислении выражается β-редукцией .

Соответствие Карри–Ховарда связывает применение функции с логическим правилом modus ponens .

Смотрите также

• Польская нотация

Ссылки

1. Алама, Джесси; Корбмахер, Йоханнес (2023), «Лямбда-исчисление», в Zalta, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2023 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 29.02.2024