Значение ожидания (квантовая механика)

Ожидаемая ценность квантового измерения

В квантовой механике математическое ожидание — это вероятностное ожидаемое значение результата (измерения) эксперимента. Его можно рассматривать как среднее всех возможных результатов измерения, взвешенное по их вероятности, и как таковое это не наиболее вероятное значение измерения; действительно, математическое ожидание может иметь нулевую вероятность появления (например, измерения, которые могут давать только целочисленные значения, могут иметь нецелое среднее значение). Это фундаментальная концепция во всех областях квантовой физики .

Рабочее определение

Рассмотрим оператор . Тогда математическое ожидание выражается в нотации Дирака с нормализованным вектором состояния . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Формализм в квантовой механике

В квантовой теории экспериментальная установка описывается измеряемой наблюдаемой и состоянием системы. Ожидаемое значение в состоянии обозначается как . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$

Математически — самосопряженный оператор в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве . В наиболее часто используемом случае в квантовой механике — это чистое состояние , описываемое нормализованным вектором ^[a] в гильбертовом пространстве. Ожидаемое значение в состоянии определяется как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$

Если рассматривается динамика , то либо вектор , либо оператор считаются зависящими от времени, в зависимости от того, используется ли картина Шредингера или картина Гейзенберга . Однако эволюция математического ожидания не зависит от этого выбора. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Если имеет полный набор собственных векторов с собственными значениями , то ( 1 ) можно выразить как ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{j}}$ ${\displaystyle a_{j}}$

Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения — это возможные результаты эксперимента, ^[b] и соответствующий им коэффициент — это вероятность того, что этот результат произойдет; ее часто называют вероятностью перехода . ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}$

Особенно простой случай возникает, когда является проекцией и, следовательно, имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует типу эксперимента «да-нет». В этом случае математическое ожидание — это вероятность того, что результат эксперимента будет равен «1», и его можно вычислить как ${\displaystyle A}$

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, как, например, оператор положения в квантовой механике. Этот оператор имеет вполне непрерывный спектр с собственными значениями и собственными векторами, зависящими от непрерывного параметра . В частности, оператор действует на пространственный вектор как . ^[2] В этом случае вектор можно записать как комплексную функцию по спектру (обычно вещественной линии). Формально это достигается путем проектирования вектора состояния на собственные значения оператора, как и в дискретном случае . Бывает, что собственные векторы оператора положения образуют полную основу векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются соотношению полноты в квантовой механике: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$

$${\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }$$

Вышеупомянутое можно использовать для получения общего интегрального выражения ожидаемого значения ( 4 ) путем вставки идентификаторов в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширения в базисе позиций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}}$

Где соотношение ортонормированности базисных векторов положения сводит двойной интеграл к одинарному. В последней строке модуль комплексной функции заменяется на , что является обычной заменой в квантово-механических интегралах. ${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Затем математическое ожидание может быть указано, где x не ограничено, как формула

Аналогичная формула справедлива для оператора импульса в системах, где он имеет непрерывный спектр.

Все приведенные выше формулы справедливы только для чистых состояний. В термодинамике и квантовой оптике важное значение также имеют смешанные состояния ; они описываются положительным оператором трассового класса , статистическим оператором или матрицей плотности . Тогда математическое ожидание можно получить как ${\displaystyle \sigma }$ ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

Общая формулировка

В общем, квантовые состояния описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, которое математически часто принимается за C*-алгебру . Тогда математическое ожидание наблюдаемой величины определяется выражением ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в гильбертовом пространстве и является нормальным функционалом , то есть непрерывным в сверхслабой топологии , то ее можно записать как ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )}$$

ядерным5состоянияпроекция1 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }$

${\displaystyle A}$предполагается самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни вполне дискретным, ни вполне непрерывным. Тем не менее, можно записать в спектральном разложении : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=\int a\,dP(a)}$$

проекционной мерой ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }$

$${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}$$

24

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (квантовой механике в строгом смысле) рассматриваемые состояния обычно являются нормальными ^{[ нужны разъяснения ]} . Однако в других областях квантовой теории используются и ненормальные состояния: они возникают, например. в виде КМС-состояний в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред ^[3] и как заряженные состояния в квантовой теории поля . ^[4] В этих случаях математическое ожидание определяется только по более общей формуле ( 6 ).

Пример в пространстве конфигурации

В качестве примера рассмотрим квантовомеханическую частицу в одном пространственном измерении, в представлении конфигурационного пространства . Здесь гильбертово пространство — это пространство интегрируемых с квадратом функций на действительной прямой. Векторы представлены функциями , называемыми волновыми функциями . Скалярное произведение определяется выражением . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей: ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$

${\displaystyle \rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}$

дает вероятность найти частицу в бесконечно малом интервале длины около некоторой точки . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle x}$

В качестве наблюдаемой рассмотрим оператор положения , который действует на волновые функции следующим образом: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}$$

Ожидаемое значение или среднее значение измерений, выполненных на очень большом количестве идентичных независимых систем, будет определяться выражением ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}$$

Ожидаемое значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не относится ко всем векторам . Это связано с тем, что оператор позиции не ограничен и должен выбираться из области определения . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

В общем, математическое ожидание любой наблюдаемой величины можно вычислить, заменив ее соответствующим оператором. Например, для расчета среднего импульса используется оператор импульса в конфигурационном пространстве , . Явно его математическое ожидание равно ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}$

Не все операторы в целом обеспечивают измеримую ценность. Оператор, имеющий чистое реальное математическое ожидание, называется наблюдаемой, и его значение можно непосредственно измерить в эксперименте.

Смотрите также

• коэффициент Рэлея
• Принцип неопределенности
• Теорема Вириала

Примечания

1. Эта статья всегда имеет норму 1. Для ненормализованных векторов ее необходимо заменить на во всех формулах. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi /\|\psi \|}$
2. Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

Рекомендации

1. Вероятность, ожидание и неопределенность
2. Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2. Диу, Бернар, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островский, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0. ОСЛК  1159410161.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
3. Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Спрингер. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.
4. Хааг, Рудольф (1996). Локальная квантовая физика . Спрингер. стр. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6.

дальнейшее чтение

Ожидаемое значение, в частности представленное в разделе «Формализм в квантовой механике», рассматривается в большинстве элементарных учебников по квантовой механике.

Для обсуждения концептуальных аспектов см.:

• Ишам, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Издательство Имперского колледжа. ISBN 978-1-86094-001-9.