В математике элемент (или член ) множества — это любой из отдельных объектов , принадлежащих этому множеству. Например, если задано множество A, содержащее первые четыре положительных целых числа ( ), можно сказать , что «3 — элемент A » , что можно выразить в виде .
Запись означает , что элементами множества A являются числа 1, 2, 3 и 4. Множества элементов A , например , являются подмножествами A.
Множества сами по себе могут быть элементами. Например, рассмотрим множество . Элементами B являются не 1, 2, 3 и 4. Вместо этого существует только три элемента B , а именно числа 1 и 2, и множество .
Элементами множества могут быть любые цвета. Например, это множество, элементами которого являются красный , зеленый и синий цвета .
В логических терминах, ( x ∈ y ) ↔ (∀ x [P x = y ] : x ∈ 𝔇 y ) . [ необходимо разъяснение ]
Отношение «является элементом », также называемое принадлежностью к множеству , обозначается символом «∈».
означает, что « x является элементом A ». [1] Эквивалентными выражениями являются « x является членом A », « x принадлежит A », « x находится в A » и « x лежит в A ». Выражения « A включает x » и « A содержит x » также используются для обозначения принадлежности к множеству, хотя некоторые авторы используют их для обозначения « x является подмножеством A ». [2] Логик Джордж Булос настоятельно рекомендовал использовать «contains» только для обозначения принадлежности, а «includes» — только для отношения подмножества. [3]
Для отношения ∈ обратное отношение ∈ T можно записать
означает « А содержит или включает в себя x ».
Отрицание принадлежности множеству обозначается символом «∉».
означает, что « x не является элементом A ».
Символ ∈ впервые был использован Джузеппе Пеано в его работе 1889 года Arithmetices principia, nova methodo exposita . [4] Здесь на странице X он написал:
Signum ∈ означает est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …
что означает
Символ ∈ означает . Таким образом, a ∈ b читается как a — это некое b; …
Сам символ представляет собой стилизованную строчную греческую букву эпсилон («ϵ»), первую букву слова ἐστί , что означает «есть». [4]
Используя определенные выше множества, а именно A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} и C = {красный, зеленый, синий}, верны следующие утверждения:
Число элементов в определенном наборе — это свойство, известное как мощность ; неформально это размер набора. [5] В приведенных выше примерах мощность набора A равна 4, тогда как мощность наборов B и C равна 3. Бесконечное множество — это множество с бесконечным числом элементов, тогда как конечное множество — это множество с конечным числом элементов. Приведенные выше примеры являются примерами конечных множеств. Примером бесконечного множества является множество положительных целых чисел {1, 2, 3, 4, ...} .
Как отношение , членство в множестве должно иметь домен и диапазон. Обычно домен называется универсумом, обозначаемым U. Диапазон — это множество подмножеств U , называемое множеством мощности U и обозначаемое P( U ). Таким образом, отношение является подмножеством U × P( U ) . Обратное отношение является подмножеством P( U ) × U .
