Число Серпинского

В теории чисел число Серпинского — это нечётное натуральное число k, такое что является составным для всех натуральных чисел n . В 1960 году Вацлав Серпинский доказал, что существует бесконечно много нечётных целых чисел k , обладающих этим свойством. ${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$

Другими словами, когда k — число Серпинского, все члены следующего множества являются составными:

${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

Если вместо этого используется форма , то k — число Ризеля . ${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

Известные числа Серпинского

Последовательность известных в настоящее время чисел Серпинского начинается с:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ... (последовательность A076336 в OEIS ).

Число 78557 было доказано Джоном Селфриджем в 1962 году как число Серпинского , который показал, что все числа вида 78557⋅2 ⁿ + 1 имеют множитель в покрывающем множестве {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Для другого известного числа Серпинского, 271129, покрывающее множество равно {3, 5, 7, 13, 17, 241 }. Большинство известных в настоящее время чисел Серпинского обладают подобными покрывающими множествами. ^[1]

Однако в 1995 году А.С. Изотов показал, что некоторые четвертые степени могут быть доказаны как числа Серпинского без установления покрывающего множества для всех значений n . Его доказательство основано на аурифейлевской факторизации t ⁴ ⋅2 ^{4 m +2} + 1 = ( t ² ⋅2 ^{2 m +1} + t ⋅2 ^{m +1} + 1)⋅( t ² ⋅2 ^{2 m +1} − t ⋅2 ^{m +1} + 1) . Это устанавливает, что все n ≡ 2 (mod 4) порождают композит, и поэтому остается исключить только n ≡ 0, 1, 3 (mod 4) с помощью покрывающего множества. ^[2]

проблема Серпинского

Нерешенная задача по математике :

Является ли 78 557 наименьшим числом Серпинского?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Задача Серпинского требует определения наименьшего числа Серпинского. В личной переписке с Полом Эрдёшем Селфридж предположил , что наименьшим числом Серпинского является 78 557. ^[3] Меньших чисел Серпинского обнаружено не было, и теперь считается, что наименьшим числом является 78 557. ^[4]

Чтобы показать, что 78 557 действительно является наименьшим числом Серпинского, нужно показать, что все нечетные числа, меньшие 78 557, не являются числами Серпинского. То есть, для каждого нечетного числа k, меньшего 78 557, должно существовать положительное целое число n, такое, что k 2 ⁿ + 1 является простым. ^[1]

к = 21181, 22699, 24737, 55459 и 67607.

Проект распределенных добровольных вычислений PrimeGrid пытается исключить все оставшиеся значения k . ^[5]

Основная проблема Серпинского

Нерешенная задача по математике :

Является ли 271 129 наименьшим простым числом Серпинского?

(еще нерешенные проблемы по математике)

В 1976 году Натан Мендельсон определил, что второе доказуемое число Серпинского — это простое число k = 271129. Задача о простом числе Серпинского требует найти значение наименьшего простого числа Серпинского, и в настоящее время ведется «поиск простого числа Серпинского», который пытается доказать, что 271129 — это первое число Серпинского, которое также является простым числом. ^[6]

Расширенная задача Серпинского

Нерешенная задача по математике :

Является ли 271 129 вторым числом Серпинского?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Предположим, что обе предыдущие проблемы Серпинского были наконец решены, показав, что 78557 является наименьшим числом Серпинского, а 271129 является наименьшим простым числом Серпинского. Это все еще оставляет нерешенным вопрос о втором числе Серпинского; может существовать составное число Серпинского k такое, что . Продолжающийся поиск пытается доказать, что 271129 является вторым числом Серпинского, путем проверки всех значений k между 78557 и 271129, простыми или нет. ^[7] ${\displaystyle 78557<k<271129}$

Одновременно Серпинский и Ризель

Число может быть одновременно числом Серпинского и числом Ризеля . Они называются числами Бриера. Наименьшие пять известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... (A076335). ^[8]

Смотрите также

• Математический портал

• Число Каллена
• Число Прота
• Число Ризеля
• Семнадцать или перебор
• Число Вудалла

Ссылки

1. Число Серпинского в The Prime Glossary
2. Анатолий С. Изотов (1995). «Заметка о числах Серпинского» (PDF) . Fibonacci Quarterly . 33 (3): 206.
3. Эрдёш, Пол ; Одлыжко, Эндрю Майкл (1 мая 1979 г.). «О плотности нечетных целых чисел вида (p − 1)2−n и связанных с этим вопросах». Журнал теории чисел . 11 (2). Elsevier : 258. doi : 10.1016/0022-314X(79)90043-X . ISSN  0022-314X.
4. Гай, Ричард Кеннет (2005). Нерешенные проблемы теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. B21:119–121, F13:383–385. ISBN 978-0-387-20860-2. OCLC  634701581.
5. "Статистика Seventeen or Bust". PrimeGrid . Получено 21 ноября 2019 г.
6. Гетц, Майкл (10 июля 2008 г.). «О простой проблеме Серпинского». PrimeGrid . Получено 12 сентября 2019 г.
7. Гетц, Майкл (6 апреля 2018 г.). «Добро пожаловать в расширенную задачу Серпинского». PrimeGrid . Получено 21 августа 2019 г.
8. Задача 29.- Числа Брайера

Дальнейшее чтение

• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 120, ISBN 0-387-20860-7

Внешние ссылки

• Проблема Серпинского: определение и статус
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Серпинского о составных числах". MathWorld .
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Грайм, д-р Джеймс. "78557 и Proth Primes" (видео) . YouTube . Брэди Харан . Получено 13 ноября 2017 г.