Цирельсон привязан

Теоретический верхний предел нелокальных корреляций в квантовой механике

Граница Цирельсона — это верхний предел квантово-механических корреляций между удаленными событиями. Учитывая, что квантовая механика нарушает неравенства Белла (т. е. ее нельзя описать локальной теорией скрытых переменных ), возникает естественный вопрос: насколько большим может быть нарушение? Ответ — это как раз граница Цирельсона для конкретного рассматриваемого неравенства Белла. В общем, эта граница ниже границы, которая была бы получена, если бы рассматривались более общие теории, ограниченные только «отсутствием сигнализации» (т. е. тем, что они не допускают коммуникации быстрее света), и много исследований было посвящено вопросу, почему это так.

Границы Цирельсона названы в честь Бориса Сергеевича Цирельсона (или Цирельсона, в другой транслитерации ), автора статьи ^[1] , в которой была выведена первая из них.

Граница для неравенства CHSH

Первая граница Цирельсона была получена как верхняя граница корреляций, измеренных в неравенстве CHSH . Она утверждает, что если у нас есть четыре ( эрмитовых ) дихотомических наблюдаемых , , , (т.е. два наблюдаемых для Алисы и два для Боба ) с результатами такими, что для всех , то ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle +1,-1}$ ${\displaystyle [A_{i},B_{j}]=0}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}.}$

Для сравнения, в классическом случае (или локальном реалистичном случае) верхняя граница равна 2, тогда как если допускается любое произвольное назначение , то она равна 4. Граница Цирельсона достигается уже в том случае, если Алиса и Боб каждый проводит измерения на кубите , простейшей нетривиальной квантовой системе. ${\displaystyle +1,-1}$

Существует несколько доказательств этой границы, но, возможно, наиболее проясняющее основано на тождестве Халфина–Цирельсона–Ландау. Если мы определим наблюдаемую

${\displaystyle {\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1},}$

и , т.е. если результаты наблюдаемых величин , то ${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} }$ ${\displaystyle +1,-1}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].}$

Если или , что можно рассматривать как классический случай, то уже следует, что . В квантовом случае нам нужно только заметить, что , и отсюда следует граница Цирельсона . ${\displaystyle [A_{0},A_{1}]=0}$ ${\displaystyle [B_{0},B_{1}]=0}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2}$ ${\displaystyle {\big \|}[A_{0},A_{1}]{\big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$

Другие неравенства Белла

Цирельсон также показал, что для любого двудольного полнокорреляционного неравенства Белла с m входами для Алисы и n входами для Боба отношение между границей Цирельсона и локальной границей не превышает , где и является константой Гротендика порядка d . ^[2] Обратите внимание, что поскольку , эта граница подразумевает приведенный выше результат о неравенстве CHSH. ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(\lfloor r\rfloor ),}$ ${\displaystyle r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},}$ ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(d)}$ ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}}$

В общем, получение границы Цирельсона для заданного неравенства Белла — сложная задача, которую нужно решать в каждом конкретном случае. Даже неизвестно, разрешима ли она. Самый известный вычислительный метод для ее верхней границы — это сходящаяся иерархия полуопределенных программ , иерархия NPA, которая в общем случае не останавливается. ^{[3] [4]} Точные значения известны еще для нескольких неравенств Белла:

Для неравенств Браунштейна–Кейвса имеем, что

${\displaystyle \langle {\text{BC}}_{n}\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).}$

Для неравенств WWŻB граница Цирельсона равна

${\displaystyle \langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.}$

Для неравенства ^[5] граница Цирельсона точно не известна, но конкретные реализации дают нижнюю границу ${\displaystyle I_{3322}}$0,250 875 384 514 , ^[6] а иерархия NPA дает верхнюю границу0,250 875 384 513 9766 . ^[7] Предполагается, что только бесконечномерные квантовые состояния могут достичь границы Цирельсона.

Вывод из физических принципов

Значительные исследования были посвящены поиску физического принципа, который объясняет, почему квантовые корреляции доходят только до границы Цирельсона и ничего больше. Было обнаружено три таких принципа: отсутствие преимуществ для нелокальных вычислений, ^[8] информационная причинность ^[9] и макроскопическая локальность. ^[10] То есть, если бы можно было достичь корреляции CHSH, превышающей границу Цирельсона, все такие принципы были бы нарушены. Граница Цирельсона также следует, если эксперимент Белла допускает строго положительную квантовую меру. ^[11]

Задача Цирельсона

Существует два различных способа определения границы Цирельсона выражения Белла. Один из них требует, чтобы измерения находились в структуре тензорного произведения, а другой требует только, чтобы они коммутировали. Проблема Цирельсона заключается в вопросе эквивалентности этих двух определений. Более формально, пусть

${\displaystyle B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)}$

быть выражением Белла, где - вероятность получения результатов с настройками . Тогда граница тензорного произведения Цирельсона является супремумом значения, достигнутого в этом выражении Белла путем проведения измерений и на квантовом состоянии : ${\displaystyle p(ab|xy)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\to {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

Коммутирующая граница Цирельсона представляет собой супремум значения, полученного в этом выражении Белла путем проведения измерений , причем на квантовом состоянии : ${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

Так как алгебры тензорных произведений, в частности, коммутируют, . В конечных размерностях коммутирующие алгебры всегда изоморфны (прямым суммам) алгебр тензорных произведений, ^[12] поэтому только для бесконечных размерностей возможно, что . Проблема Цирельсона — это вопрос о том, для всех ли выражений Белла . ${\displaystyle T_{t}\leq T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$

Этот вопрос впервые рассматривал Борис Цирельсон в 1993 году, где он утверждал без доказательства, что . ^{[13] Когда в 2006 году} Антонио Асин попросил его предоставить доказательство , он понял, что то, что он имел в виду, не работает, и выдвинул вопрос как открытую задачу. ^[14] Вместе с Мигелем Наваскуэсом и Стефано Пиронио Антонио Асин разработал иерархию полуопределенных программ, иерархию NPA, которая сходилась к коммутирующей границе Цирельсона сверху, ^[4] и хотел узнать, сходится ли она также к границе Цирельсона тензорного произведения , наиболее физически релевантной. ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}}$

Так как можно получить сходящуюся последовательность приближений к снизу, рассматривая конечномерные состояния и наблюдаемые, если , то эту процедуру можно объединить с иерархией NPA для получения алгоритма остановки для вычисления границы Цирельсона, что делает ее вычислимым числом (обратите внимание, что в изоляции ни одна из процедур не останавливается в общем случае). И наоборот, если не вычислимо, то . В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэнь заявили, что доказали, что не вычислимо , тем самым решив проблему Цирельсона отрицательно; ^[15] Было показано, что проблема Цирельсона эквивалентна проблеме вложения Конна ^[16], поэтому то же доказательство также подразумевает, что проблема вложения Конна ложна. ^[17] ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}}$

Смотрите также

• Квантовая нелокальность
• Теорема Белла
• ЭПР-парадокс
• неравенство CHSH
• Квантовая псевдотелепатия

Ссылки

1. Cirel'son, BS (1980). "Квантовые обобщения неравенства Белла". Письма в математическую физику . 4 (2): 93–100. Bibcode :1980LMaPh...4...93C. doi :10.1007/bf00417500. ISSN  0377-9017. S2CID  120680226.
2. Борис Цирельсон (1987). «Квантовые аналоги неравенств Белла. Случай двух пространственно разделенных областей» (PDF) . Журнал советской математики . 36 (4): 557–570. doi :10.1007/BF01663472. S2CID  119363229.
3. Наваскуэс, Мигель; Пиронио, Стефано; Асин, Антонио (2007-01-04). «Ограничение множества квантовых корреляций». Physical Review Letters . 98 (1): 010401. arXiv : quant-ph/0607119 . Bibcode : 2007PhRvL..98a0401N. doi : 10.1103/physrevlett.98.010401. ISSN  0031-9007. PMID  17358458. S2CID  41742170.
4. M. Navascués; S. Pironio; A. Acín (2008). "Сходящаяся иерархия полуопределенных программ, характеризующих множество квантовых корреляций". New Journal of Physics . 10 (7): 073013. arXiv : 0803.4290 . Bibcode :2008NJPh...10g3013N. doi :10.1088/1367-2630/10/7/073013. S2CID  1906335.
5. Коллинз, Дэниел; Гизин, Николас (2003-06-01). «Соответствующее неравенство Белла для двух кубитов, неэквивалентное неравенству CHSH». Журнал физики A: Mathematical and General . 37 (5): 1775–1787. arXiv : quant-ph/0306129 . doi : 10.1088/0305-4470/37/5/021. S2CID  55647659.
6. KF Pál; T. Vértesi (2010). «Максимальное нарушение неравенства I3322 с использованием бесконечномерных квантовых систем». Physical Review A. 82 : 022116. arXiv : 1006.3032 . doi : 10.1103/PhysRevA.82.022116.
7. Россет, Денис (2018). «SymDPoly: адаптированные к симметрии релаксации моментов для некоммутативной полиномиальной оптимизации». arXiv : 1808.09598 [quant-ph].
8. Линден, Ноа; Попеску, Санду; Шорт, Энтони Дж.; Винтер, Андреас (30.10.2007). «Квантовая нелокальность и дальше: пределы нелокальных вычислений». Physical Review Letters . 99 (18): 180502. arXiv : quant-ph/0610097 . Bibcode : 2007PhRvL..99r0502L. doi : 10.1103/physrevlett.99.180502. ISSN  0031-9007. PMID  17995388.
9. Павловский, Марцин; Патерек, Томаш; Кашликовский, Дагомир; Скарани, Валерио; Зима, Андреас ; Жуковский, Марек (2009). «Информационная причинность как физический принцип». Природа . 461 (7267): 1101–1104. arXiv : 0905.2292 . Бибкод : 2009Natur.461.1101P. дои : 10.1038/nature08400. ISSN  0028-0836. PMID  19847260. S2CID  4428663.
10. Наваскуэс, Мигель; Вундерлих, Харальд (11.11.2009). «Взгляд за пределы квантовой модели». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 466 (2115): 881–890. arXiv : 0907.0372 . doi : 10.1098/rspa.2009.0453 . ISSN  1364-5021.
11. Крейг, Дэвид; Доукер, Фэй ; Хенсон, Джо; Мейджор, Сет; Райдаут, Дэвид; Соркин, Рафаэль Д. (2007). «Аналог неравенства Белла в квантовой теории меры». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 40 (3): 501–523. arXiv : quant-ph/0605008 . Bibcode : 2007JPhA...40..501C. doi : 10.1088/1751-8113/40/3/010. ISSN  1751-8113. S2CID  8706909.
12. Шольц, В.Б.; Вернер, РФ (22 декабря 2008 г.). «Проблема Цирельсона». arXiv : 0812.4305 [math-ph].
13. Цирельсон, Б.С. (1993). «Некоторые результаты и проблемы квантовых неравенств типа Белла» (PDF) . Приложение к Hadronic Journal . 8 : 329–345.
14. Цирельсон, Б. "Неравенства Белла и операторные алгебры" . Получено 20 января 2020 г.
15. Z. Ji; A. Natarajan; T. Vidick; J. Wright; H. Yuen (2020). "MIP* = RE". arXiv : 2001.04383 [quant-ph].
16. М. Юнге; М. Наваскес; К. Паласуэлос; Д. Перес-Гарсия; В.Б. Шольц; РФ Вернер (2011). «Проблема вложения Конна и проблема Цирельсона». Журнал математической физики . 52 (1): 012102. arXiv : 1008.1142 . Бибкод : 2011JMP....52a2102J. дои : 10.1063/1.3514538. S2CID  12321570.
17. Хартнетт, Кевин (4 марта 2020 г.). «Знаменитое доказательство компьютерной науки каскадами проникает через физику и математику». Журнал Quanta .