Проблема сходимости

В аналитической теории цепных дробей проблема сходимости заключается в определении условий на частичные числители a _i и частичные знаменатели b _i , достаточных для того, чтобы гарантировать сходимость бесконечной цепной дроби.

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots }}}}}}}}.\,}$

Эта проблема сходимости по своей сути сложнее, чем соответствующая проблема для бесконечных рядов .

Элементарные результаты

Когда элементы бесконечной цепной дроби полностью состоят из положительных действительных чисел , формулу определителя можно легко применить для демонстрации того, когда цепная дробь сходится. Поскольку знаменатели B _n не могут быть равны нулю в этом простом случае, задача сводится к тому, чтобы показать, что произведение последовательных знаменателей B _n B _{n +1} растет быстрее, чем произведение частичных числителей a ₁ a ₂ a ₃ ... a _{n +1} . Задача сходимости становится намного сложнее, когда элементы цепной дроби являются комплексными числами .

Периодические непрерывные дроби

Бесконечная периодическая цепная дробь — это цепная дробь вида

${\displaystyle x={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad b_{k-1}+{\cfrac {a_{k}}{b_{k}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\ddots }}}}}}}}}}}}\,}$

где k ≥ 1, последовательность частичных числителей { a ₁ , a ₂ , a ₃ , ..., a _k } не содержит значений, равных нулю, а частичные числители { a ₁ , a ₂ , a ₃ , ..., a _k } и частичные знаменатели { b ₁ , b ₂ , b ₃ , ..., b _k } повторяются снова и снова, до бесконечности .

Применяя теорию дробно-линейных преобразований к

${\displaystyle s(w)={\frac {A_{k-1}w+A_{k}}{B_{k-1}w+B_{k}}}\,}$

где A _{k -1} , B _{k -1} , A _k и B _k являются числителями и знаменателями k -1-го и k -го подходящих дробей бесконечной периодической непрерывной дроби x , можно показать, что x сходится к одной из неподвижных точек s ( w ), если сходится вообще. В частности, пусть r ₁ и r ₂ являются корнями квадратного уравнения

${\displaystyle B_{k-1}w^{2}+(B_{k}-A_{k-1})w-A_{k}=0.\,}$

Эти корни являются неподвижными точками s ( w ). Если r ₁ и r ₂ конечны, то бесконечная периодическая непрерывная дробь x сходится тогда и только тогда, когда

1. два корня равны; или
2. k - 1-я подходящая дробь ближе к r _{1 ,} чем к r ₂ , и ни одна из первых k подходящих дробей не равна r ₂ .

Если знаменатель B _{k -1} равен нулю, то бесконечное число знаменателей B _{nk -1} также обращается в нуль, и непрерывная дробь не сходится к конечному значению. И когда два корня r ₁ и r ₂ равноудалены от k -1-й сходящейся дроби – или когда r ₁ ближе к k -1-й сходящейся дроби, чем r ₂ , но одна из первых k сходящихся дробей равна r ₂ – непрерывная дробь x расходится по осцилляции. ^{[1] [2] [3]}

Особый случай, когда периодк= 1

Если период цепной дроби равен 1, то есть, если

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a}{b}},\,}$

где b ≠ 0, мы можем получить очень сильный результат. Во-первых, применяя преобразование эквивалентности, мы видим, что x сходится тогда и только тогда, когда

${\displaystyle y=1+{\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {z}{1}}\qquad \left(z={\frac {a}{b^{2}}}\right)\,}$

сходится. Тогда, применяя более общий результат, полученный выше, можно показать, что

${\displaystyle y=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}\,}$

сходится для каждого комплексного числа z, за исключением случая, когда z — отрицательное действительное число и z < − ⁠1/4⁠ . Более того, эта непрерывная дробь y сходится к частному значению

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {4z+1}}\right)\,}$

который имеет большее абсолютное значение (за исключением случаев, когда z является действительным и z < − ⁠1/4⁠ , в этом случае две фиксированные точки LFT , генерирующие y, имеют равные модули, а y расходится по колебаниям).

Применяя другое преобразование эквивалентности, условие, гарантирующее сходимость

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}={\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+\ddots }}}}}}\,}$

также может быть определено. Поскольку простое преобразование эквивалентности показывает, что

${\displaystyle x={\cfrac {z^{-1}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+\ddots }}}}}}\,}$

всякий раз, когда z ≠ 0, предыдущий результат для цепной дроби y можно переформулировать для x . Бесконечная периодическая цепная дробь

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}}$

сходится тогда и только тогда, когда z ² не является действительным числом, лежащим в интервале −4 < z ² ≤ 0, или, что эквивалентно, x сходится тогда и только тогда, когда z ≠ 0 и z не является чисто мнимым числом с мнимой частью между -2 и 2. (Не включая ни одну из конечных точек)

Теорема Ворпицки

Применяя основные неравенства к цепной дроби

${\displaystyle x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+{\cfrac {a_{4}}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

можно показать, что следующие утверждения верны, если | a _i | ≤ ⁠1/4⁠ для частичных числителей a _i , i = 2, 3, 4, ...

• Непрерывная дробь x сходится к конечному значению, и сходится равномерно, если частичные числители a _i являются комплексными переменными. ^[4]
• Значение x и каждой из его подходящих дробей x _i лежит в круговой области радиуса 2/3 с центром в точке z = 4/3; то есть в области, определяемой соотношением

${\displaystyle \Omega =\lbrace z:|z-4/3|\leq 2/3\rbrace .\,}$^[5]

• Радиус ⁠1/4⁠ — наибольший радиус, на котором x может быть показана сходимость без исключений, а область Ω — наименьшее пространство изображений, которое содержит все возможные значения непрерывной дроби x . ^[5]

Поскольку доказательство теоремы Ворпицки использует формулу непрерывной дроби Эйлера для построения бесконечного ряда, эквивалентного непрерывной дроби x , и построенный таким образом ряд абсолютно сходится, M-тест Вейерштрасса можно применить к модифицированной версии x . Если

${\displaystyle f(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {c_{2}z}{1+{\cfrac {c_{3}z}{1+{\cfrac {c_{4}z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

и существует положительное действительное число M такое, что | c _i | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...), то последовательность сходящихся дробей { f _i ( z )} сходится равномерно, когда

${\displaystyle |z|<{\frac {1}{4M}}\,}$

и f ( z ) является аналитической на этом открытом диске.

Критерий Слешинского – Прингсгейма

В конце 19 века Слешинский , а позднее и Прингсгейм показали, что цепная дробь, в которой a s и b s могут быть комплексными числами, будет сходиться к конечному значению, если для ^[6] ${\displaystyle |b_{n}|\geq |a_{n}|+1}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

Теорема Ван Флека

Джонс и Трон приписывают следующий результат Ван Флеку . Предположим, что все a _i равны 1, а все b _i имеют аргументы с:

${\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(b_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1,}$

где эпсилон — это любое положительное число, меньшее . Другими словами, все b _i находятся внутри клина, вершина которого находится в начале координат, угол раскрытия равен , и который симметричен относительно положительной действительной оси. Тогда f _i , i-я подходящая дробь к непрерывной дроби, конечна и имеет аргумент: ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi -2\epsilon }$

${\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(f_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1.}$

Также, последовательность четных сходящихся дробей будет сходиться, как и последовательность нечетных сходящихся дробей. Сама непрерывная дробь будет сходиться тогда и только тогда, когда сумма всех | b _i | расходится. ^[7]

Примечания

1. 1886 Отто Штольц , Verlesungen über allgemeine Arithmetik , стр. 299-304
2. 1900 Альфред Прингсхайм , Sb. Мюнхен , том. 30, «Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche»
3. 1905 Оскар Перрон , Sb. Мюнхен , том. 35, «Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche»
4. 1865 Юлиус Ворпицкий, Jahresbericht Friedrichs-Gymnasium und Realschule , "Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche"
5. 1942 JF Paydon и HS Wall, Duke Math. Journal , т. 9, "Цепная дробь как последовательность линейных преобразований"
6. См., например, теорему 4.35 на стр. 92 книги Джонса и Трона (1980).
7. См. теорему 4.29 на стр. 88 в работе Джонса и Трона (1980).

Ссылки

• Джонс, Уильям Б.; Трон, У. Дж. (1980), Цепные дроби: аналитическая теория и приложения. Энциклопедия математики и ее приложений. , т. 11, Рединг. Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-13510-8
• Оскар Перрон , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Chelsea Publishing Company , Нью-Йорк, 1950 год.
• HS Wall, Аналитическая теория непрерывных дробей , D. Van Nostrand Company, Inc. , 1948 ISBN 0-8284-0207-8