Задача Кадисона–Зингера

Уникальное расширение чистых состояний в гильбертовых пространствах

В математике проблема Кадисона –Зингера , поставленная в 1959 году, была проблемой функционального анализа о том, являются ли определенные расширения определенных линейных функционалов на определенных C*-алгебрах уникальными. Единственность была доказана в 2013 году.

Утверждение возникло из работы над основами квантовой механики, проделанной Полем Дираком в 1940-х годах, и было формализовано в 1959 году Ричардом Кадисоном и Айседорой Сингер . ^[1] Впоследствии было показано, что эта проблема эквивалентна многочисленным открытым проблемам в чистой математике, прикладной математике, инженерии и информатике. ^{[2] [3]} Кадисон, Сингер и большинство более поздних авторов считали это утверждение ложным, ^{[2] [3]} но в 2013 году его истинность была доказана Адамом Маркусом , Дэниелом Шпильманом и Нихилом Шриваставой , ^[4] которые получили премию Полиа 2014 года за это достижение.

Решение стало возможным благодаря переформулировке, предложенной Джоэлом Андерсоном, который в 1979 году показал, что его «гипотеза мощения», которая включает только операторы в конечномерных гильбертовых пространствах, эквивалентна проблеме Кадисона–Зингера. Ник Уивер предложил другую переформулировку в конечномерной постановке, и эта версия была доказана с использованием случайных многочленов. ^[5]

Оригинальная формулировка

Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство ℓ 2 и две связанные с ним C*-алгебры: алгебру всех непрерывных линейных операторов из ℓ ² в ℓ ² и алгебру всех диагональных непрерывных линейных операторов из ℓ ² в ℓ ² . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$

Состояние на C*-алгебре — это непрерывный линейный функционал такой, что (где обозначает мультипликативное тождество алгебры ) и для любого . Такое состояние называется чистым , если оно является экстремальной точкой во множестве всех состояний на (т.е. если его нельзя записать в виде выпуклой комбинации других состояний на ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi (I)=1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varphi (T)\geq 0}$ ${\displaystyle T\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

По теореме Хана–Банаха любой функционал на может быть расширен до . Кадисон и Зингер предположили, что для случая чистых состояний это расширение является единственным. То есть, проблема Кадисона–Зингера состояла в доказательстве или опровержении следующего утверждения: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$

для каждого чистого состояния на существует уникальное состояние на , которое расширяется . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi }$

Это утверждение на самом деле верно.

Переформулировка гипотезы о мощении

Проблема Кадисона–Зингера имеет положительное решение тогда и только тогда, когда верна следующая «гипотеза о мощении»: ^[6]

Для каждого существует натуральное число такое, что выполняется следующее: для каждого линейного оператора в -мерном гильбертовом пространстве с нулями на диагонали существует разбиение на множества такое , что ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$

${\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|{\text{ for }}j=1,\ldots ,k.}$

Здесь обозначает ортогональную проекцию на пространство, натянутое на стандартные единичные векторы, соответствующие элементам , так что матрица получается из матрицы заменой всех строк и столбцов, не соответствующих индексам в , на 0. Норма матрицы является спектральной нормой , т.е. операторной нормой относительно евклидовой нормы на . ${\displaystyle P_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Обратите внимание, что в этом утверждении может зависеть только от , а не от . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n}$

Эквивалентное заявление о расхождении

Следующее утверждение о « расхождении », снова эквивалентное проблеме Кадисона–Зингера из-за предыдущей работы Ника Уивера, ^[7] было доказано Маркусом/Шпильманом/Шриваставой с использованием техники случайных полиномов:

Предположим, что заданы векторы с ( единичной матрицей) и для всех . Тогда существует разбиение на два множества и такое, что ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}{\text{ for }}j=1,2.}$

Это утверждение подразумевает следующее:

Предположим, что векторы заданы для всех и ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha }$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

Тогда существует разбиение на два множества и такое, что для : ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle j=1,2}$

${\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

Здесь «несоответствие» становится заметным, когда α достаточно мало: квадратичную форму на единичной сфере можно разделить на две примерно равные части, т. е. части, значения которых не сильно отличаются от 1/2 на единичной сфере. В этой форме теорему можно использовать для вывода утверждений об определенных разбиениях графов. ^[5]

Ссылки

1. Кадисон, Р.; Сингер , И. (1959). «Расширения чистых состояний». American Journal of Mathematics . 81 (2): 383–400. doi :10.2307/2372748. JSTOR  2372748. MR  0123922.
2. Casazza, PG; Fickus, M.; Tremain, JC; Weber, E. (2006). "Проблема Кадисона–Зингера в математике и инженерии: подробный отчет". Теория операторов, операторные алгебры и приложения . Contemporary Mathematics. Том 414. Providence, RI: American Mathematical Society. С. 299–355. arXiv : math/0510024 . doi :10.1090/conm/414/07820. ISBN 9780821839232. МР  2277219.
3. Casazza, Peter G. (2015). «Последствия решения Маркуса/Шпильмана/Стиваставы для проблемы Кадисона–Зингера». arXiv : 1407.4768 [math.FA].
4. Маркус, Адам ; Шпильман, Дэниел А.; Шривастава , Нихил (2013). «Переплетение семейств II: смешанные характеристические многочлены и проблема Кадисона–Зингера». arXiv : 1306.3969 [math.CO].
5. Шривастава, Нихил (11 июля 2013 г.). «Расхождение, графики и проблема Кадисона–Зингера». Windows on Theory .
6. Андерсон, Джоэл (1979). «Ограничения и представления состояний на C∗-алгебрах». Труды Американского математического общества . 249 (2): 303–329. doi :10.2307/1998793. JSTOR  1998793. MR  0525675.
7. Уивер, Ник (2004). «Проблема Кадисона-Зингера в теории расхождений». Дискретная математика . 278 (1–3): 227–239. arXiv : math/0209078 . doi :10.1016/S0012-365X(03)00253-X. S2CID  5304663.

Внешние ссылки

• Николас Дж. А. Харви (11 июля 2013 г.). «Введение в задачу Кадисона–Зингера и гипотезу о мощении» (PDF) .