Проблема Эрмита

Проблема Эрмита — открытая проблема в математике, поставленная Шарлем Эрмитом в 1848 году. Он искал способ выражения действительных чисел в виде последовательностей натуральных чисел , такой, чтобы последовательность в конечном итоге была периодической именно тогда, когда исходное число является кубическим иррациональным .

Мотивация

Стандартный способ записи действительных чисел — их десятичное представление , например:

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }$

где a ₀ — целое число , целая часть числа x , а a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... — целые числа от 0 до 9. При таком представлении число x равно

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

Действительное число x является рациональным числом только в том случае, если его десятичное разложение в конечном счете является периодическим, то есть если существуют натуральные числа N и p такие, что для любого n  ≥  N выполняется соотношение a _{n + p}  =  a _n .

Другой способ выражения чисел — записать их в виде цепных дробей , например:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }$

где a ₀ — целое число, а a ₁ , a ₂ , a ₃ ... — натуральные числа. Из этого представления мы можем восстановить x, поскольку

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}$

Если x — рациональное число, то последовательность ( a _n ) заканчивается после конечного числа членов. С другой стороны, Эйлер доказал, что иррациональные числа требуют бесконечной последовательности, чтобы выразить их в виде непрерывных дробей. ^[1] Более того, эта последовательность в конечном счете является периодической (опять же, так что существуют натуральные числа N и p, такие, что для любого n  ≥  N мы имеем a _{n + p}  =  a _n ), тогда и только тогда, когда x — квадратичное иррациональное число .

Вопрос Эрмита

Рациональные числа — это алгебраические числа , которые удовлетворяют многочлену степени 1, в то время как квадратичные иррациональные числа — это алгебраические числа, которые удовлетворяют многочлену степени 2. Для обоих этих множеств чисел у нас есть способ построить последовательность натуральных чисел ( a _n ) со свойством, что каждая последовательность дает уникальное действительное число, и такое, что это действительное число принадлежит соответствующему множеству тогда и только тогда, когда последовательность в конечном счете является периодической.

В 1848 году Шарль Эрмит написал письмо Карлу Густаву Якобу Якоби, в котором спрашивал, можно ли обобщить эту ситуацию, то есть можно ли сопоставить последовательность натуральных чисел каждому действительному числу x так, чтобы последовательность в конечном итоге была периодической именно тогда, когда x является кубической иррациональностью, то есть алгебраическим числом степени 3? ^{[2] [3]} Или, в более общем смысле, существует ли способ для каждого натурального числа d сопоставить последовательность натуральных чисел каждому действительному числу x , который может определить, когда x является алгебраическим числом степени d ?

Подходы

Последовательности, которые пытаются решить проблему Эрмита, часто называют многомерными непрерывными дробями . Сам Якоби придумал ранний пример, найдя последовательность, соответствующую каждой паре действительных чисел ( x ,  y ), которая действовала как многомерный аналог непрерывных дробей. ^[4] Он надеялся показать, что последовательность, присоединенная к ( x ,  y ), в конечном итоге является периодической тогда и только тогда, когда и x, и y принадлежат кубическому числовому полю , но не смог этого сделать, и вопрос, так ли это, остается нерешенным.

В 2015 году впервые было получено периодическое представление для любого кубического иррационального числа с помощью тернарных цепных дробей, т. е. была решена проблема записи кубических иррациональных чисел в виде периодической последовательности рациональных или целых чисел. Однако периодическое представление не выводится из алгоритма, определенного по всем действительным числам, а выводится только исходя из знания минимального многочлена кубического иррационального числа. ^[5]

Вместо обобщения непрерывных дробей, другой подход к проблеме заключается в обобщении функции вопросительного знака Минковского . Эта функция ? : [0, 1] → [0, 1] также выбирает квадратичные иррациональные числа, поскольку ?( x ) является рациональным тогда и только тогда, когда x является либо рациональным, либо квадратичным иррациональным числом, и, более того, x является рациональным тогда и только тогда, когда ?( x ) является двоично-рациональным числом , таким образом, x является квадратичным иррациональным числом именно тогда, когда ?( x ) является недвоично-рациональным числом. Были сделаны различные обобщения этой функции либо на единичный квадрат [0, 1] × [0, 1], либо на двумерный симплекс , хотя ни одно из них пока не решило проблему Эрмита. ^{[6] [7]}

Два вычитающих алгоритма для поиска периодического представителя кубических векторов были предложены Олегом Карпенковым. ^[8] Первый ( алгоритм) работает только для полностью вещественного случая. Входными данными для алгоритма являются тройки кубических векторов. Кубический вектор — это любой вектор, генерирующий расширение степени 3 . В этом случае кубические векторы сопряжены тогда и только тогда, когда выход алгоритма является периодическим. Второй ( алгоритм HAPD ) предположительно работает для всех случаев (включая комплексные кубические векторы) и всех измерений . ${\displaystyle \sin ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d\geq 3}$

Ссылки

1. Эйлер, Леонард (1748), Introductio in analysin infinitorum, Vol. Я, Лозанна: Маркум-Мишель Буске - через Архив Эйлера
2. Эмиль Пикард, L'œuvre scientifique de Charles Hermite , Ann. наук. Эколь Норм. Как дела. 3 18 (1901), стр. 9–34.
3. Extraits de lettres de M. Ch. Эрмит М. Якоби о различных объектах теории чисел. (Продолжение). , Journal für die reine und angewandte Mathematik 40 (1850), стр. 279–315, doi : 10.1515/crll.1850.40.279
4. CGJ Якоби, Allgemeine Theorie der kettenbruchänlichen Algorithmen, in welche jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird (английский: Общая теория алгоритмов, подобных цепным дробям, в которых каждое число формируется из трех предыдущих ) , Journal für die reine und angewandte Mathematik 69 (1868), стр. 29–64.
5. Надир Мурру, О периодической записи кубических иррациональностей и обобщении функций Редеи , Int. J. Number Theory 11 (2015), № 3, стр. 779-799, doi: 10.1142/S1793042115500438
6. Л. Коллрос, «Алгоритм одновременного приближения двух великих» , инаугурационная диссертация, Университет Цюриха, 1905.
7. Бивер, Ольга Р.; Гаррити , Томас (2004), «Двумерная функция Минковского ?( x ) », Журнал теории чисел , 107 (1): 105–134, arXiv : math/0210480 , doi : 10.1016/j.jnt.2004.01.008, MR  2059953
8. Карпенков, Олег (2022), «О проблеме Эрмита, алгоритмах типа Якоби–Перрона и группах Дирихле», Acta Arithmetica , 203 (1): 27–48, arXiv : 2101.12707 , doi : 10.4064/aa210614-5-1, MR  4415995; см. также статью Карпенкова «О периодическом алгоритме типа Якоби-Перрона», arXiv :2101.12627, объединенную с опубликованной журнальной версией этой статьи.