где каждый член является действительным или комплексным числом , а n не равно нулю, когда n велико . Тест был впервые опубликован Жаном Ле Роном Д'Аламбером и иногда известен как тест отношения Д'Аламбера или тест отношения Коши . [1]
если r > 1, ряд расходится; или, что эквивалентно, если для всех больших n (независимо от значения r ), ряд также расходится; это происходит потому, что не равно нулю и возрастает, и, следовательно, n не стремится к нулю;
В противном случае тест не является окончательным.
Если предел L в ( 1 ) существует, мы должны иметь L = R = r . Таким образом, исходный тест отношения является более слабой версией уточненного.
Примеры
Конвергентный, потому чтоЛ< 1
Рассмотрим серию
Применяя тест отношения, вычисляется предел
Поскольку этот предел меньше 1, ряд сходится.
Расходящийся, потому чтоЛ> 1
Рассмотрим серию
Подставим это в тест соотношения:
Таким образом, ряд расходится.
Неубедительно, потому чтоЛ= 1
Рассмотрим три серии
Первый ряд ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) расходится, второй (центральный для проблемы Базеля ) сходится абсолютно, а третий ( переменный гармонический ряд ) сходится условно. Однако почленные отношения величин трех рядов равны и . Таким образом, во всех трех рядах предел равен 1. Это показывает, что при L = 1 ряд может сходиться или расходиться: тест отношения неубедителен. В таких случаях требуются более тонкие тесты для определения сходимости или расходимости.
Доказательство
Ниже приведено доказательство валидности теста обобщенного отношения.
Предположим, что . Мы также предполагаем, что имеет бесконечные ненулевые члены, в противном случае ряд является просто конечной суммой, следовательно, он сходится. Тогда существует такой , что существует натуральное число, удовлетворяющее и для всех , потому что если такого не существует, то существует произвольно большое удовлетворяющее для каждого , тогда мы можем найти подпоследовательность, удовлетворяющую , но это противоречит тому факту, что является пределом, нижним для как , что подразумевает существование . Затем мы замечаем, что для , . Обратите внимание, что так как и , это подразумевает расходится, поэтому ряд расходится по тесту на n-й член .
Теперь предположим . Аналогично приведенному выше случаю, мы можем найти натуральное число и , такие, что для . Тогда
Ряд является геометрической прогрессией с знаменателем , следовательно, который конечен. Сумма является конечной суммой, следовательно, она ограничена, это означает, что ряд сходится по теореме о монотонной сходимости , а ряд сходится по тесту на абсолютную сходимость.
Когда предел существует и равен , то это дает исходный тест на отношение.
Расширения дляЛ= 1
Как видно из предыдущего примера, тест отношения может быть неопределенным, когда предел отношения равен 1. Однако расширения теста отношения иногда позволяют справиться с этим случаем. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]
Во всех тестах ниже предполагается, что Σ a n является суммой с положительным a n . Эти тесты также могут быть применены к любому ряду с конечным числом отрицательных членов. Любой такой ряд может быть записан как:
где N — отрицательный член с наивысшим индексом. Первое выражение справа — это частичная сумма, которая будет конечной, и поэтому сходимость всего ряда будет определяться свойствами сходимости второго выражения справа, которое может быть переиндексировано для формирования ряда всех положительных членов, начинающихся с n = 1.
Каждый тест определяет параметр теста (ρ n ), который определяет поведение этого параметра, необходимое для установления сходимости или расходимости. Для каждого теста существует более слабая форма теста, которая вместо этого накладывает ограничения на lim n->∞ ρ n .
Все тесты имеют области, в которых они не могут описать свойства сходимости Σa n . Фактически, ни один тест сходимости не может полностью описать свойства сходимости ряда. [4] [10] Это происходит потому, что если Σa n сходится, можно найти второй сходящийся ряд Σb n , который сходится медленнее: т. е. он обладает свойством lim n->∞ (b n /a n ) = ∞. Более того, если Σa n расходится, можно найти второй расходящийся ряд Σb n , который расходится медленнее: т. е. он обладает свойством lim n->∞ (b n /a n ) = 0. Тесты сходимости по сути используют сравнительный тест на некотором конкретном семействе a n и терпят неудачу для последовательностей, которые сходятся или расходятся медленнее.
Иерархия Де Моргана
Август Де Морган предложил иерархию тестов пропорциональных типов [4] [9]
Параметры теста отношения ( ) ниже обычно включают термины формы . Этот термин может быть умножен на , чтобы получить . Этот термин может заменить предыдущий термин в определении параметров теста, и полученные выводы останутся прежними. Соответственно, не будет проводиться различие между ссылками, которые используют одну или другую форму параметра теста.
1. Тест на отношение Даламбера
Первый тест в иерархии Де Моргана — это тест отношения, описанный выше.
(и некоторые дополнительные термины, см. Али, Блэкберн, Фелд, Дюрис (нет), Дюрис2) [ требуется разъяснение ]
Сериал будет: [7] [10] [9]
Сходятся, когда существует c> 1 такое, что для всех n>N .
Расходятся, когда для всех n>N .
В противном случае тест не будет окончательным.
Для предельной версии [12] серия будет:
Сходятся, если (включая случай ρ = ∞)
Расходятся, если .
Если ρ = 1, тест неубедителен.
Если вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхние и нижние пределы. [4] Серия будет:
Сходятся, если
Расходятся, если
В противном случае тест не будет окончательным.
Доказательство теста Раабе
Определяя , нам не нужно предполагать, что предел существует; если , то расходится, а если сумма сходится.
Доказательство проводится по существу путем сравнения с . Предположим сначала, что . Конечно, если то для больших , то сумма расходится; предположим затем, что . Существует такое, что для всех , то есть . Таким образом , откуда следует, что для ; поскольку это показывает, что расходится.
Доказательство другой половины полностью аналогично, большинство неравенств просто перевернуты. Нам нужно предварительное неравенство, чтобы использовать вместо простого , которое было использовано выше: Исправим и . Обратите внимание, что . Так что ; следовательно .
Предположим теперь, что . Рассуждая, как в первом абзаце, используя неравенство, установленное в предыдущем абзаце, видим, что существует такое, что для ; поскольку это показывает, что сходится.
Сходятся, когда существует c>1 такое, что для всех n>N .
Расходятся, когда для всех n>N .
В противном случае тест не будет окончательным.
В лимитированной версии серия будет:
Сходятся, если (включая случай ρ = ∞)
Расходятся, если .
Если ρ = 1, тест неубедителен.
Если вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхние и нижние пределы. [4] [9] [13] Серия будет:
Сходятся, если
Расходятся, если
В противном случае тест не будет окончательным.
4. Расширенный тест Бертрана
Это расширение, вероятно, впервые появилось у Маргарет Мартин в 1941 году. [14] Краткое доказательство, основанное на тесте Куммера и без технических предположений (таких как существование пределов, например), было предоставлено Вячеславом Абрамовым в 2019 году. [15]
Пусть ζ n — вспомогательная последовательность положительных констант. Определим
Тест Куммера утверждает, что ряд будет: [5] [6] [10] [11]
Сходятся, если существует такое , что для всех n>N. (Обратите внимание, это не то же самое, что сказать )
Расходится, если для всех n>N и расходится.
Для лимитной версии серия будет: [16] [7] [9]
Сходятся, если (включая случай ρ = ∞)
Расходится, если и расходится.
В противном случае тест не является окончательным.
Когда вышеуказанный предел не существует, может быть возможным использование пределов выше и ниже. [4] Серия будет
Сходятся, если
Расходится, если и расходится.
Особые случаи
Все тесты в иерархии Де Моргана, за исключением теста Гаусса, можно легко рассматривать как частные случаи теста Куммера: [4]
Для теста отношения пусть ζ n = 1. Тогда:
Для теста Раабе пусть ζ n =n. Тогда:
Для теста Бертрана пусть ζ n =n ln(n). Тогда:
Используя и аппроксимируя для больших n , что пренебрежимо мало по сравнению с другими членами, можно записать:
Для расширенного теста Бертрана пусть Из разложения в ряд Тейлора для больших приходим к приближению
где пустое произведение предполагается равным 1. Тогда,
Следовательно,
Обратите внимание, что для этих четырех тестов, чем выше они находятся в иерархии Де Моргана, тем медленнее расходится ряд.
Доказательство теста Куммера
Если тогда зафиксировать положительное число . Существует натуральное число такое, что для каждого
Так как для каждого
В частности, для всех , что означает, что начиная с индекса
последовательность монотонно убывает и положительна, что, в частности, означает, что она ограничена снизу 0. Следовательно, предел
С другой стороны, если , то существует N такое, что возрастает при . В частности, существует для , которое для всех , и поэтому расходится по сравнению с .
Модификация Тонга теста Куммера
Новая версия теста Куммера была установлена Тонгом. [6] См. также [8] [11] [17]
для дальнейших обсуждений и новых доказательств. Представленная модификация теоремы Куммера характеризует все положительные ряды, а сходимость или расходимость можно сформулировать в виде двух необходимых и достаточных условий, одного для сходимости и другого для расходимости.
Ряд сходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что
Ряд расходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что и
Первое из этих утверждений можно упростить следующим образом: [18]
Ряд сходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что
Второе утверждение можно упростить аналогичным образом:
Ряд расходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что и
Однако это становится бесполезным, поскольку условие в этом случае сводится к исходному утверждению
Тест на отношение Фринка
Другой тест отношения, который можно установить в рамках теоремы Куммера, был представлен Оррином Фринком [19] в 1948 году.
Предположим, что есть последовательность в ,
Если , то ряд сходится абсолютно.
Если существует такое, что для всех , то расходится.
Этот результат сводится к сравнению со степенным рядом и может быть связан с тестом Раабе. [20]
Второй тест Али на соотношение
Более точным тестом отношения является второй тест отношения: [7] [9]
Для определения:
По результатам второго теста на соотношение ряд будет:
Сходятся, если
Расходятся, если
Если да, то тест не дает окончательных результатов.
Если вышеуказанные пределы не существуют, можно использовать верхние и нижние пределы. Определить:
Затем серия:
Сходятся, если
Расходятся, если
Если да, то тест не дает окончательных результатов.
Алимтест отношения th
Этот тест является прямым расширением второго теста отношения. [7] [9] Для и положительно определим:
По тесту на отношение th ряд будет:
Сходятся, если
Расходятся, если
Если да, то тест не дает окончательных результатов.
Если вышеуказанные пределы не существуют, можно использовать верхние и нижние пределы. Для определения:
Затем серия:
Сходятся, если
Расходятся, если
Если , то тест неубедителен.
Критерий φ-отношения Али--Дойче Коэна
Этот тест является расширением теста отношения th. [21]
Предположим, что последовательность является положительной убывающей.
Пусть такое, что существует. Обозначим , и предположим .
^ abcdefgh Бромвич, Т. Дж. И'А (1908). Введение в теорию бесконечных рядов . Merchant Books.
^ abc Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов. Лондон: Blackie & Son Ltd.
^ abc Tong, Jingcheng (май 1994). «Тест Куммера дает характеристики сходимости или расходимости всех положительных рядов». The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450–452. doi :10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
^ abcdef Ali, Sayel A. (2008). «Тест отношения mth: новый тест сходимости рядов». The American Mathematical Monthly . 115 (6): 514–524. doi :10.1080/00029890.2008.11920558. S2CID 16336333. Получено 4 сентября 2024 г.
^ ab Самельсон, Ганс (ноябрь 1995 г.). «Еще о тесте Куммера». The American Mathematical Monthly . 102 (9): 817–818. doi :10.2307/2974510. JSTOR 2974510.
^ abcdefgh Блэкберн, Кайл (4 мая 2012 г.). "Тест сходимости m-го отношения и другие нетрадиционные тесты сходимости" (PDF) . Колледж искусств и наук Вашингтонского университета . Получено 27 ноября 2018 г. .
^ abcdef Дуриш, Франтишек (2009). Бесконечная серия: Критерии сходимости (бакалаврская работа). Кафедра информатики, Факультет математики, Физика и информатика, Коменский университет, Братислава . Проверено 28 ноября 2018 г.
^ abc Дюриш, Франтишек (2 февраля 2018 г.). «О тесте сходимости Куммера и его связи с базовыми сравнительными тестами». arXiv : 1612.05167 [math.HO].
^ Мартин, Маргарет (1941). "Последовательность предельных тестов для сходимости рядов" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 47 (6): 452–457. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07477-X .
^ Абрамов, Вячеслав М. (май 2020 г.). «Расширение теста Бертрана–Де Моргана и его применение». The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444–448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551. S2CID 199552015.