Прогиб (инженерия)

Степень, до которой часть элемента конструкции смещается под заданной нагрузкой.

Прогиб (ф) в технике

В строительной технике прогиб — это степень, в которой часть длинного элемента конструкции (например, балки ) деформируется вбок (в направлении, поперечном его продольной оси) под нагрузкой . Его можно выразить количественно в терминах угла ( угловое смещение ) или расстояния (линейное смещение ). Продольная деформация (в направлении оси) называется удлинением .

Расстояние отклонения элемента под нагрузкой можно рассчитать путем интегрирования функции, которая математически описывает наклон изогнутой формы элемента под этой нагрузкой. Существуют стандартные формулы для отклонения обычных конфигураций балок и случаев нагрузки в отдельных местах. В противном случае используются такие методы, как виртуальная работа , прямое интегрирование , метод Кастильяно , метод Маколея или метод прямой жесткости . Прогиб элементов балки обычно рассчитывается на основе уравнения балки Эйлера – Бернулли, а прогиб пластинчатого или оболочечного элемента рассчитывается с использованием теории пластины или оболочки .

Примером использования прогиба в этом контексте является строительство зданий. Архитекторы и инженеры выбирают материалы для различных применений.

Прогиб балки под различные нагрузки и опоры

Балки могут сильно различаться по своей геометрии и составу. Например, балка может быть прямой или изогнутой. Он может иметь постоянное поперечное сечение или сужаться. Он может быть полностью изготовлен из одного и того же материала (гомогенный) или состоять из разных материалов (композитный). Некоторые из этих вещей затрудняют анализ, но многие инженерные приложения включают в себя не такие сложные случаи. Анализ упрощается, если:

• Балка изначально прямая, любое сужение незначительно.
• Балка испытывает только линейную упругую деформацию .
• Балка тонкая (отношение ее длины к высоте больше 10)
• Учитываются только небольшие прогибы (максимальный прогиб менее 1/10 пролета ) .

В этом случае уравнение, определяющее прогиб балки ( ), можно аппроксимировать следующим образом: ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$$

модуль Юнгамомент инерцииизгибающий момент ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

Если, кроме того, балка не имеет конической формы, является однородной и на нее действует распределенная нагрузка , приведенное выше выражение можно записать как : ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle EI~{\frac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

Это уравнение можно решить для различных нагрузок и граничных условий. Ниже приведен ряд простых примеров. Выраженные формулы представляют собой приближения, разработанные для длинных, тонких, однородных призматических балок с небольшими отклонениями и линейными упругими свойствами. При этих ограничениях аппроксимации должны давать результаты в пределах 5% от фактического отклонения.

Консольные балки

Консольные балки имеют один конец фиксированным, поэтому наклон и прогиб на этом конце должны быть равны нулю.

Схема прогиба консольной балки.

Консольные балки с торцевой нагрузкой

Консольная балка с силой на свободном конце

Упругий прогиб и угол отклонения (в радианах ) на свободном конце на изображении в качестве примера: Консольная балка (невесомая) с концевой нагрузкой может быть рассчитана (на свободном конце B) по формуле: [ ^1] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {FL^{3}}{3EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {FL^{2}}{2EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle F}$= сила , действующая на кончик балки
• ${\displaystyle L}$= длина балки (пролет)
• ${\displaystyle E}$= модуль упругости
• ${\displaystyle I}$= момент инерции площади поперечного сечения балки

Обратите внимание, что если пролет увеличивается вдвое, прогиб увеличивается в восемь раз. Прогиб в любой точке вдоль пролета консольной балки, нагруженной на конце, можно рассчитать по формуле: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)\end{aligned}}}$$

Примечание. В точке (конец балки) уравнения и идентичны уравнениям и , приведенным выше. ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

Консольные балки с равномерной нагрузкой

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Прогиб свободного конца B консольной балки под действием равномерной нагрузки определяется по формуле: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {qL^{4}}{8EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {qL^{3}}{6EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle q}$= равномерная нагрузка на балку (сила на единицу длины)
• ${\displaystyle L}$= длина балки
• ${\displaystyle E}$= модуль упругости
• ${\displaystyle I}$= момент инерции площади поперечного сечения

Прогиб в любой точке вдоль пролета равномерно нагруженной консольной балки можно рассчитать по формуле: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {qx^{2}}{24EI}}\left(6L^{2}-4Lx+x^{2}\right)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {qx}{6EI}}\left(3L^{2}-3Lx+x^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Просто опертые балки

Просто опертые балки имеют под концами опоры, допускающие вращение, но не прогибание.

Схема прогиба свободно опертой балки.

Простые балки с центральной нагрузкой

Просто опертая балка с силой в центре

Прогиб в любой точке вдоль пролета свободно опертой балки с центральной нагрузкой можно рассчитать по формуле: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}\left(3L^{2}-4x^{2}\right)}$$

$${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}$$

Особый случай упругого прогиба в средней точке C балки, нагруженной в ее центре и поддерживаемой двумя простыми опорами, определяется следующим образом: ^[1]

$${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= сила, действующая на центр балки
• ${\displaystyle L}$= длина балки между опорами
• ${\displaystyle E}$= модуль упругости
• ${\displaystyle I}$= момент инерции площади поперечного сечения

Простые балки со смещенной от центра нагрузкой

Просто опертая балка со смещением силы от центра

Максимальный упругий прогиб балки, опирающейся на две простые опоры, нагруженные на расстоянии от ближайшей опоры, определяется по формуле: ^[1] ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \delta _{\text{max}}={\frac {Fa\left(L^{2}-a^{2}\right)^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= сила, действующая на балку
• ${\displaystyle L}$= длина балки между опорами
• ${\displaystyle E}$= модуль упругости
• ${\displaystyle I}$= момент инерции площади поперечного сечения
• ${\displaystyle a}$= расстояние от груза до ближайшей опоры

Это максимальное отклонение происходит на расстоянии от ближайшей опоры и определяется по формуле: ^[1] ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}$$

Равномерно нагруженные простые балки

Просто опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой

Упругий прогиб (в средней точке C) балки, поддерживаемой двумя простыми опорами, под действием равномерной нагрузки (как показано на рисунке) определяется по формуле: ^[1]

$${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}$$

• ${\displaystyle q}$= равномерная нагрузка на балку (сила на единицу длины)
• ${\displaystyle L}$= длина балки
• ${\displaystyle E}$= модуль упругости
• ${\displaystyle I}$= момент инерции площади поперечного сечения

Прогиб в любой точке вдоль пролета равномерно нагруженной свободно опертой балки можно рассчитать по формуле: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3}\right)}$$

Комбинированные нагрузки

Прогиб балок при сочетании простых нагрузок можно рассчитать по принципу суперпозиции .

Изменение длины

Изменение длины балки в конструкциях обычно незначительно, но может быть рассчитано путем интегрирования функции наклона , если для всех известна функция отклонения . ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \theta _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$

Где:

• ${\displaystyle \Delta L}$= изменение длины (всегда отрицательное)
• ${\displaystyle \theta _{x}}$= функция наклона (первая производная от ) ${\displaystyle \delta _{x}}$
• ${\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}$^[2]

Если балка однородна и известен прогиб в любой точке, его можно рассчитать, не зная других свойств балки.

Единицы

Приведенные выше формулы требуют использования согласованного набора единиц. Большинство расчетов будет производиться в Международной системе единиц (СИ) или обычных единицах измерения США, хотя существует множество других систем единиц.

Международная система (СИ)

• Сила: ньютоны ( ) ${\displaystyle \mathrm {N} }$
• Длина: метры ( ) ${\displaystyle \mathrm {m} }$
• Модуль упругости: ${\displaystyle \mathrm {\frac {N}{m^{2}}} =\mathrm {Pa} }$
• Момент инерции: ${\displaystyle \mathrm {m^{4}} }$

Обычные единицы США (США)

• Сила: сила в фунтах ( ) ${\displaystyle \mathrm {lbf} }$
• Длина: дюймы ( ) ${\displaystyle \mathrm {in} }$
• Модуль упругости: ${\displaystyle \mathrm {\frac {lbf}{in^{2}}} }$
• Момент инерции: ${\displaystyle \mathrm {in^{4}} }$

Другие

Могут использоваться и другие единицы, если они непротиворечивы. Например, иногда для измерения нагрузок используется единица килограмм-сила ( ). В таком случае модуль упругости необходимо преобразовать в . ${\displaystyle \mathrm {kgf} }$ ${\displaystyle \mathrm {\frac {kgf}{m^{2}}} }$

Структурный прогиб

Строительные нормы и правила определяют максимальный прогиб, обычно как долю пролета, например 1/400 или 1/600. Минимальные требуемые размеры элемента могут определяться либо предельным состоянием прочности (допустимое напряжение), либо предельным состоянием эксплуатационной пригодности (среди прочего, соображениями прогиба).

Прогиб необходимо учитывать с точки зрения конструкции. При проектировании стальной рамы для удержания застекленной панели допускается лишь минимальное отклонение, чтобы предотвратить разрушение стекла.

Отклоненную форму балки можно представить интегрированной диаграммой моментов (дважды повернутой и перенесенной для обеспечения условий опоры).

Смотрите также

• Метод отклонения уклона

Рекомендации

1. Гир, Джеймс М.; Гудно, Барри Дж. (январь 2012 г.). Механика материалов (Восьмое изд.). стр. 1083–1087. ISBN 978-1-111-57773-5.
2. Формулы Рорка для стресса и деформации, 8-е издание, уравнения 8.1-14.

Внешние ссылки

• Прогиб балок
• Отклонения балки
• Инструменты расчета прогиба и наклона балок