В математике для последовательности комплексных чисел a 1 , a 2 , a 3 ... бесконечное произведение
определяется как предел частичных произведений a 1 a 2 ... a n при неограниченном увеличении n . Говорят, что произведение сходится , когда предел существует и не равен нулю. В противном случае говорят, что произведение расходится . Нулевой предел рассматривается специально для того, чтобы получить результаты, аналогичные результатам для бесконечных сумм . Некоторые источники допускают сходимость к 0, если имеется только конечное число нулевых множителей и произведение ненулевых множителей не равно нулю, но для простоты мы не допустим этого здесь. Если произведение сходится , то предел последовательности an при неограниченном увеличении n должен быть равен 1, а обратное, вообще говоря, неверно.
Наиболее известными примерами бесконечных произведений, вероятно, являются некоторые формулы для π , такие как следующие два произведения соответственно Виета ( формула Вьета , первое опубликованное бесконечное произведение в математике) и Джона Уоллиса ( произведение Уоллиса ):
Произведение положительных действительных чисел
сходится к ненулевому действительному числу тогда и только тогда, когда сумма
сходится. Это позволяет перевести критерии сходимости бесконечных сумм в критерии сходимости бесконечных произведений. Тот же критерий применим к произведениям произвольных комплексных чисел (включая отрицательные действительные числа), если под логарифмом понимается фиксированная ветвь логарифма , удовлетворяющая условию ln(1) = 0, с оговоркой, что бесконечное произведение расходится, когда бесконечно много n выходят за пределы область определения ln, тогда как конечное число таких n можно не учитывать в сумме.
Для произведений действительных чисел, в которых каждый , записанный, например, как , где [ необходимы пояснения ] , границы
покажите, что бесконечное произведение сходится , если сходится бесконечная сумма pn . Это основано на теореме о монотонной сходимости . Мы можем показать обратное, заметив, что если , то
и из теста сравнения пределов следует, что две серии
эквивалентны, что означает, что они либо сходятся, либо расходятся.
Если ряд расходится к , то последовательность частичных произведений ап сходится к нулю. Говорят, что бесконечное произведение стремится к нулю . [1]
Для случая, когда имеют произвольные знаки, сходимость суммы не гарантирует сходимость произведения . Например, если , то сходится, но расходится к нулю. Однако если сходится, то произведение сходится абсолютно , то есть множители можно переставлять в любом порядке, не изменяя ни сходимости, ни предельного значения бесконечного произведения. [2] Кроме того, если сходится, то сумма и произведение либо сходятся, либо оба расходятся. [3]
Одним из важных результатов, касающихся бесконечных произведений, является то, что каждую целую функцию f ( z ) (то есть любую функцию, голоморфную на всей комплексной плоскости ) можно разложить на бесконечное произведение целых функций, каждая из которых имеет не более одного корня. В общем, если f имеет корень порядка m в начале координат и имеет другие комплексные корни в точках u 1 , u 2 , u 3 , ... (перечислены с кратностями, равными их порядкам), то
где λ n — целые неотрицательные числа, которые можно выбрать так, чтобы произведение сходилось, и — некоторая целая функция (что означает, что член перед произведением не будет иметь корней в комплексной плоскости). Приведенная выше факторизация не является единственной, поскольку она зависит от выбора значений λ n . Однако для большинства функций будет некоторое минимальное неотрицательное целое число p такое, что λ n = p дает сходящийся продукт, называемый каноническим представлением продукта . Это p называется рангом канонического произведения. В случае p = 0 это принимает вид
Это можно рассматривать как обобщение основной теоремы алгебры , поскольку для многочленов произведение становится конечным и постоянным.
Помимо этих примеров, следует особо отметить следующие представления:
Последнее из них не является представлением произведения того же типа, который обсуждался выше, поскольку ζ не является целым. Скорее, приведенное выше представление произведения ζ ( z ) сходится точно для Re ( z ) > 1, где это аналитическая функция. С помощью техники аналитического продолжения эту функцию можно однозначно расширить до аналитической функции (все еще обозначаемой ζ ( z )) на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 1, где она имеет простой полюс .