Квинкунциальная проекция Пирса

Квинкунциальная проекция Пирса — это конформная проекция карты из сферы на развернутый квадратный двугранник , разработанная Чарльзом Сандерсом Пирсом в 1879 году. ^[1] Каждый октант проецируется на равнобедренный прямоугольный треугольник , и они располагаются в квадрат. Название квинкунциальная относится к такому расположению: северный полюс в центре и четверти южного полюса в углах образуют узор квинкункс, подобный точкам на пяти гранях традиционной игральной кости . Проекция имеет отличительное свойство, заключающееся в том, что она образует бесшовную квадратную мозаику плоскости, конформную, за исключением четырех особых точек вдоль экватора.

Обычно проекция квадратная и ориентирована таким образом, что северный полюс находится в центре, однако в 1887 году Эмиль Гюйю предложил косую проекцию в прямоугольнике , а в 1925 году Оскар С. Адамс предложил поперечную проекцию .

Проекция нашла применение в цифровой фотографии для создания сферических панорам .

История

Развитие комплексного анализа привело к появлению общих методов конформного картирования , где точки плоской поверхности обрабатываются как числа на комплексной плоскости . Работая в Береговой и геодезической службе США , американский философ Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою проекцию в 1879 году ^[2], вдохновленный конформным преобразованием круга в многоугольник с n сторонами , выполненным Х. А. Шварцем в 1869 году (известным как отображение Шварца–Кристоффеля). В нормальном аспекте проекция Пирса представляет Северное полушарие в квадрате; Южное полушарие разделено на четыре равнобедренных треугольника, симметрично окружающих первый, подобно звездообразным проекциям. По сути, вся карта представляет собой квадрат, что вдохновило Пирса назвать свою проекцию квинкунциальной , по расположению пяти элементов в квинкунксе .

После того, как Пирс представил свою проекцию, два других картографа разработали похожие проекции полушария (или всей сферы после соответствующей перестройки) на квадрат: Гую в 1887 году и Адамс в 1925 году. ^[3] Эти три проекции являются трансверсальными версиями друг друга (см. соответствующие проекции ниже).

Формальное описание

Квинкунциальная проекция Пирса «образуется путем преобразования стереографической проекции с полюсом на бесконечности посредством эллиптической функции». ^[4] Квинкунциальная проекция Пирса на самом деле является проекцией полушария, но ее свойства тесселяции (см. ниже) позволяют использовать ее для всей сферы. Проекция отображает внутреннюю часть круга на внутреннюю часть квадрата посредством отображения Шварца–Кристоффеля следующим образом: ^[3]

$\operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\,r$

где

$sd$ — отношение двух эллиптических функций Якоби : ⁠ ⁠ ${\tfrac {\rm {sn}}{\rm {dn}}};$
$w$ — отображенная точка на плоскости как комплексное число $(w = x + iy)$ ;
$r$ — стереографическая проекция с масштабом 1/2 в центре.

Эллиптический интеграл первого рода можно использовать для решения для $w$ . Запятая, используемая для $sd(u, k),$ означает, что ⁠ ⁠ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ — это модуль для отношения эллиптической функции, в отличие от параметра [который можно было бы записать как $sd(u | m)$ ] или амплитуды [которая могла бы быть записана как $sd( u \ α )$ ]. Отображение имеет масштабный коэффициент 1/2 в центре, как и порождающая стереографическая проекция.

Обратите внимание, что: — лемнискатная синусоидальная функция (см. Лемнискатные эллиптические функции ). $\operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\operatorname {sl} \left(w\right)$

Характеристики

По мнению Пирса, его проекция обладает следующими свойствами (Пирс, 1879):

Сфера представлена в квадрате.
Часть, где преувеличение масштаба достигает двукратного значения по сравнению с центром, составляет всего 9% площади сферы против 13% для проекции Меркатора и 50% для стереографической проекции.
Кривизна линий, изображающих большие окружности, в каждом случае очень незначительна на большей части их длины.
Она конформна везде, за исключением четырех углов внутренней полусферы (то есть середин краев проекции), где экватор и четыре меридиана резко меняют направление (экватор представлен квадратом). Это сингулярности , где дифференцируемость терпит неудачу.
Его можно разбить на мозаику во всех направлениях.

Плиточные квинкунциальные карты Пирса

Проекция мозаично разбивает плоскость; т. е. повторяющиеся копии могут полностью покрывать (замостить) произвольную область, причем характеристики каждой копии точно соответствуют характеристикам ее соседей. (См. пример справа). Более того, четыре треугольника второго полушария квинкунциальной проекции Пирса можно перестроить в другой квадрат, который поместят рядом с квадратом, соответствующим первому полушарию, в результате чего получится прямоугольник с соотношением сторон 2:1; такое расположение эквивалентно поперечному аспекту проекции полушария-в-квадрате Гуйю . ^[5]

Известные применения

Использование квинкунциальной проекции Пирса для представления сферической панорамы.

Как и многие другие проекции, основанные на комплексных числах, квинкунциал Пирса редко использовался в географических целях. Один из немногих зарегистрированных случаев произошел в 1946 году, когда он использовался Береговой и геодезической службой США для карты воздушных маршрутов мира. ^[5] Недавно он использовался для представления сферических панорам в практических и эстетических целях, где он может представить всю сферу, при этом большинство областей будут узнаваемы. ^[6]

Связанные прогнозы

В поперечном аспекте одно полушарие становится проекцией Адамса-полусферы-в-квадрате (полюс расположен в углу квадрата). Его четыре сингулярности находятся на Северном полюсе, Южном полюсе, на экваторе на 25° з. д . и на экваторе на 155° в. д., в Северном Ледовитом, Атлантическом и Тихом океанах, а также в Антарктиде. ^[7] Этот большой круг разделяет традиционные Западное и Восточное полушария.

В косом аспекте (45 градусов) одно полушарие становится проекцией полушария Гуйю в квадрате (полюс расположен в середине края квадрата). Его четыре сингулярности находятся на 45 градусах северной и южной широты на большом круге, состоящем из меридиана 20°W и меридиана 160°E, в Атлантическом и Тихом океанах. ^[7] Этот большой круг разделяет традиционные западное и восточное полушария.

Смотрите также

Ссылки

^ Квинкунциальная проекция сферы Чарльза Сандерса Пирса . 1890.
I. Frischauf. Bemerkungen zu CS Peirce Quincuncial Projection. (Tr., Comments on CS Peirce Quincuncial Projection.)
Трактат о проекциях Томаса Крейга . Издательство правительства США, 1882. стр. 132
Science, том 11. Moses King, 1900. стр. 186
↑ (Ли, 1976) указывает 1877 год как год, когда была задумана проекция, ссылаясь на «Отчет береговой съемки США за год, заканчивающийся июнем 1877 года», 191–192.
^ ab Lee, LP (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Cartographica Monographs . Том 16. Торонто: BV Gutsell, Йоркский университет. С. 67–101. ISBN 0-919870-16-3.Приложение № 1 к журналу The Canadian Cartographer 13.
^ Пирс, CS (1879). «Квинкунциальная проекция сферы». American Journal of Mathematics . 2 (4): 394–396. doi :10.2307/2369491. JSTOR 2369491.
^ ab Снайдер, Джон П. (1989). Альбом картографических проекций, профессиональная статья 1453 (PDF) . Геологическая служба США. стр. 190, 236.
^ Герман, Даниэль; д'Анджело, Пабло; Гросс, Михаэль; Постл, Бруно (июнь 2007 г.). «Новые методы проектирования панорам для практических и эстетических целей». Труды Computational Aesthetics 2007 г. Банф: Eurographics. стр. 15–22.
^ Карлос А. Фурути. Картографические проекции: конформные проекции.

Дальнейшее чтение

Эйзеле, Кэролин (1963), «Чарльз С. Пирс и проблема картографической проекции», Труды Американского философского общества , 107 (4): 299–307, JSTOR 985673
Peirce, CS (1877/1879), "Приложение № 15. Квинкунциальная проекция сферы", Отчет суперинтенданта береговой службы США, показывающий ход обследования за финансовый год, заканчивающийся июнем 1877 г. , стр. 191–194, за которым следуют 25 набросков хода обследования, включая (25-ю) иллюстрацию (саму карту). Полный отчет представлен в Сенат 26 декабря 1877 г. и опубликован в 1880 г. (см. далее ниже).
- Статья впервые опубликована в декабре 1879 г., American Journal of Mathematics 2 (4): 394–397 (без набросков, за исключением окончательной карты), Google Books Eprint (версия карты Google частично испорчена), JSTOR Eprint, doi :10.2307/2369491. Версия AJM перепечатана в Writings of Charles S. Peirce 4 :68–71.
- Статья перепечатана в 1880 году, включая публикацию всех набросков в полном отчете , издательством правительства США, Вашингтон, округ Колумбия NOAA PDF Eprint, ссылка ведет на статью Пирса на стр. 191 отчета , стр. 215 PDF. В PDF NOAA отсутствуют наброски и карта, а также имеется неработающая ссылка ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} на их запланированное онлайн-место размещения, Историческую карту и коллекцию диаграмм NOAA, где их, по-видимому, нет по состоянию на 19.07.2010. Google Books Eprint (Google испортил наброски и частично испортил иллюстрацию (саму карту)). Примечание: в другом издании Google отчета о береговой съемке 1877 года полностью отсутствуют страницы набросков, включая иллюстрацию (карту).

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Квинкунциальная проекция Пирса» .

Интерактивный Java-апплет для изучения метрических деформаций проекции Пирса.
Еще примеры панорам Пирса в квинкунциальном проекции
Снайдер, Джон П. (1989). Альбом картографических проекций, профессиональная статья 1453 (PDF) . Геологическая служба США. стр. 190, 236.Содержит историю, описание и формулировку, более подходящую для вычислений.