Фитильное изделие

В теории вероятностей произведение Вика — это особый способ определения скорректированного произведения набора случайных величин . В произведении низшего порядка корректировка соответствует вычитанию среднего значения, чтобы оставить результат, среднее значение которого равно нулю. Для произведений более высокого порядка корректировка включает вычитание произведений низшего порядка (обычных) случайных величин симметричным образом, снова оставляя результат, среднее значение которого равно нулю. Произведение Вика — это полиномиальная функция случайных величин, их ожидаемых значений и ожидаемых значений их произведений.

Определение произведения Вика немедленно приводит к степени Вика одной случайной величины, и это позволяет определять аналоги других функций случайных величин на основе замены обычных степеней в разложениях степеней Вика. Степени Вика обычно встречающихся случайных величин могут быть выражены в терминах специальных функций, таких как полиномы Бернулли или полиномы Эрмита .

Продукт Вика назван в честь физика Джан-Карло Вика , см. теорему Вика .

Определение

Предположим, что X ₁ , ...,  X _k — случайные величины с конечными моментами . Произведение Вика

${\displaystyle \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \,}$

это своего рода продукт , определяемый рекурсивно следующим образом: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle \langle \rangle =1\,}$

(т.е. пустое произведение — произведение вообще без случайных величин — равно 1). Для k ≥ 1 мы накладываем требование

${\displaystyle {\partial \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \over \partial X_{i}}=\langle X_{1},\dots ,X_{i-1},{\widehat {X}}_{i},X_{i+1},\dots ,X_{k}\rangle ,}$

где означает, что X _i отсутствует, вместе с ограничением, что среднее значение равно нулю, ${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle =0.\,}$

Эквивалентно, произведение Вика можно определить, записав моном как «многочлен Вика»: ${\displaystyle X_{1}\dots X_{k}}$

${\displaystyle X_{1}\dots X_{k}=\sum _{S\subseteq \left\{1,\dots ,k\right\}}\operatorname {E} \left(\textstyle \prod _{i\notin S}X_{i}\right)\cdot \langle X_{i}:i\in S\rangle \,}$,

где обозначает произведение Вика , если . Легко видеть, что это удовлетворяет индуктивному определению. ${\displaystyle \langle X_{i}:i\in S\rangle }$ ${\displaystyle \langle X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{m}}\rangle }$ ${\displaystyle S=\left\{i_{1},\dots ,i_{m}\right\}}$

Примеры

Из этого следует, что

${\displaystyle \langle X\rangle =X-\operatorname {E} X,\,}$

${\displaystyle \langle X,Y\rangle =XY-\operatorname {E} Y\cdot X-\operatorname {E} X\cdot Y+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)-\operatorname {E} (XY),\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X,Y,Z\rangle =&XYZ\\&-\operatorname {E} Y\cdot XZ\\&-\operatorname {E} Z\cdot XY\\&-\operatorname {E} X\cdot YZ\\&+2(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z)\cdot X\\&+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Z)\cdot Y\\&+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)\cdot Z\\&-\operatorname {E} (XZ)\cdot Y\\&-\operatorname {E} (XY)\cdot Z\\&-\operatorname {E} (YZ)\cdot X\\&-\operatorname {E} (XYZ)\\&+2\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} Z+2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} Y+2\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} X\\&-6(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z).\end{aligned}}}$

Другое соглашение об обозначениях

В общепринятой среди физиков нотации произведение Вика часто обозначается следующим образом:

${\displaystyle :X_{1},\dots ,X_{k}:\,}$

и обозначение угловых скобок

${\displaystyle \langle X\rangle \,}$

используется для обозначения ожидаемого значения случайной величины X.

Силы фитиля

Степень Вика случайной величины X в степени n называется произведением Вика

${\displaystyle X'^{n}=\langle X,\dots ,X\rangle \,}$

с n факторами.

Последовательность полиномов P _n такая, что

${\displaystyle P_{n}(X)=\langle X,\dots ,X\rangle =X'^{n}\,}$

образуют последовательность Аппеля , т.е. они удовлетворяют тождеству

${\displaystyle P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x),\,}$

для n = 0, 1, 2, ... и P ₀ ( x ) — ненулевая константа.

Например, можно показать, что если X равномерно распределено на интервале [0, 1], то

${\displaystyle X'^{n}=B_{n}(X)\,}$

где B _n — полином Бернулли n -й степени . Аналогично, если X нормально распределено с дисперсией 1, то

${\displaystyle X'^{n}=H_{n}(X)\,}$

где H _n — n - й полином Эрмита .

Биномиальная теорема

${\displaystyle (aX+bY)^{'n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{i}b^{n-i}X^{'i}Y^{'{n-i}}}$

Вик экспоненциальный

${\displaystyle \langle \operatorname {exp} (aX)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a^{i}}{i!}}X^{'i}}$

Ссылки

• Продукт Вика. Энциклопедия математики Springer
• Флорин Аврам и Мурад Такку , (1987) «Нецентральные предельные теоремы и многочлены Аппеля», Annals of Probability , том 15, номер 2, страницы 767—775, 1987.
• Хида, Т. и Икеда, Н. (1967) «Анализ в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром, возникающим из множественного интеграла Винера». Труды Пятого Берклийского симпозиума по математике и статистике (Беркли, Калифорния, 1965/66). Том II: Вклад в теорию вероятностей, часть 1 , стр. 117–143 Издательство Калифорнийского университета
• Вик, GC (1950) «Оценка матрицы столкновений». Physical Rev. 80 (2), 268–272.