Полиномы Бернулли

Полиномиальная последовательность

Полиномы Бернулли

В математике многочлены Бернулли , названные в честь Якоба Бернулли , объединяют числа Бернулли и биномиальные коэффициенты . Они используются для разложения функций в ряды и с формулой Эйлера–Маклорена .

Эти полиномы встречаются при изучении многих специальных функций и, в частности, дзета-функции Римана и дзета-функции Гурвица . Они являются последовательностью Аппеля (т.е. последовательностью Шеффера для обычного оператора производной ). Для полиномов Бернулли число пересечений оси x в единичном интервале не увеличивается со степенью . В пределе большой степени они приближаются, при соответствующем масштабировании, к функциям синуса и косинуса .

Похожий набор многочленов, основанный на производящей функции, представляет собой семейство многочленов Эйлера .

Представления

Полиномы Бернулли B _n могут быть определены с помощью производящей функции . Они также допускают множество производных представлений.

Генерация функций

Производящая функция для полиномов Бернулли имеет вид Производящая функция для полиномов Эйлера имеет вид $${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Явная формула

$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},}$$ $${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)^{m-k}.}$$для n ≥ 0, где B _k — числа Бернулли , а E _k — числа Эйлера .

Представление дифференциальным оператором

Полиномы Бернулли также задаются как , где — дифференцирование по x , а дробь разлагается в формальный степенной ряд . Отсюда следует, что см. § Интегралы ниже. Подобным же образом полиномы Эйлера задаются как $${\displaystyle \ B_{n}(x)={\frac {D}{\ e^{D}-1\ }}\ x^{n}\ }$$ ${\displaystyle \ D\equiv {\frac {\mathrm {d} }{\ \mathrm {d} x\ }}\ }$ $${\displaystyle \ \int _{a}^{x}\ B_{n}(u)\ \mathrm {d} \ u={\frac {\ B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)\ }{n+1}}~.}$$ $${\displaystyle \ E_{n}(x)={\frac {2}{\ e^{D}+1\ }}\ x^{n}~.}$$

Представление интегральным оператором

Полиномы Бернулли также являются уникальными полиномами, определяемыми $${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$$

Интегральное преобразование полиномов f просто равно Это можно использовать для получения формул обращения ниже. $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Интегральная рекуррентность

В ^{[1] [2]} выведено и доказано, что полиномы Бернулли могут быть получены с помощью следующей интегральной рекуррентности: $${\displaystyle B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)\,dt-m\int _{0}^{1}\int _{0}^{t}B_{m-1}(s)\,dsdt.}$$

Еще одна явная формула

Явная формула для полиномов Бернулли имеет вид $${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{\frac {1}{k+1}}\sum _{\ell =0}^{k}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}{\biggr ]}.}$$

Это похоже на выражение ряда для дзета - функции Гурвица в комплексной плоскости. Действительно, существует соотношение, где — дзета-функция Гурвица . Последняя обобщает полиномы Бернулли, допуская нецелые значения n . $${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,\,x)}$$ ${\displaystyle \zeta (s,\,q)}$

Внутренняя сумма может пониматься как n- я прямая разность , то есть, где — оператор прямой разности . Таким образом, можно записать ${\displaystyle x^{m},}$ $${\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}}$$ ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\Delta ^{k}x^{n}.}$$

Эта формула может быть выведена из тождества, представленного выше, следующим образом. Поскольку оператор прямой разности Δ равен , где D — дифференцирование по x , то из ряда Меркатора мы имеем : $${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$$ $${\displaystyle {\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\log(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.}$$

Пока это работает с полиномом степени m , таким как n, можно позволить ему изменяться от 0 только до m . ${\displaystyle x^{m},}$

Интегральное представление для полиномов Бернулли дается интегралом Нёрлунда–Райса , который следует из выражения как конечная разность.

Явная формула для полиномов Эйлера имеет вид $${\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}\right].}$$

Вышесказанное следует аналогично, используя тот факт, что $${\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\Delta {\bigr )}^{n}.}$$

Суммыпth полномочия

Используя либо приведенное выше интегральное представление, либо тождество , имеем (предполагая, что 0 ⁰  = 1). ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$$

Явные выражения для низких степеней

Первые несколько полиномов Бернулли: $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Первые несколько полиномов Эйлера: $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Максимум и минимум

При более высоких n величина вариации между и становится большой. Например, но Лемер (1940) ^[3] показал, что максимальное значение ( M _n ) между 0 и 1 подчиняется , если n не равно 2 по модулю 4 , в этом случае (где — дзета-функция Римана ), в то время как минимальное ( m _n ) подчиняется , если n = 0 по модулю 4 , в этом случае ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,}$ ${\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}}$ ${\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$ $${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ $${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ ${\displaystyle \zeta (x)}$ $${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ $${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.}$$

Эти пределы довольно близки к фактическим максимуму и минимуму, и Лемер также приводит более точные пределы.

Различия и производные

Полиномы Бернулли и Эйлера подчиняются многим соотношениям из теневого исчисления : ( Δ — прямой оператор разности ). Кроме того, эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппеля : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Переводы

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\\[3mu]E_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\end{aligned}}}$$Эти тождества также эквивалентны утверждению, что эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппеля . ( Другим примером являются полиномы Эрмита .)

Симметрии

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}B_{n}(x),&&n\geq 0,\\[3mu]E_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}E_{n}(x)\\[1ex]\left(-1\right)^{n}B_{n}(-x)&=B_{n}(x)+nx^{n-1}\\[3mu]\left(-1\right)^{n}E_{n}(-x)&=-E_{n}(x)+2x^{n}\\[1ex]B_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},&&n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}\end{aligned}}}$$Чжи-Вэй Сан и Хао Пан ^[4] установили следующее удивительное соотношение симметрии: если r + s + t = n и x + y + z = 1 , то где $${\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}$$ $${\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}$$

ряд Фурье

Ряд Фурье полиномов Бернулли также является рядом Дирихле , который задается разложением Обратите внимание на простой предел при больших n для соответствующим образом масштабированных тригонометрических функций. $${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$$

Это частный случай аналогичной формы для дзета-функции Гурвица. $${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$$

Это расширение справедливо только для 0 ≤ x ≤ 1, когда n ≥ 2, и справедливо для 0 < x < 1, когда n = 1 .

Также можно вычислить ряд Фурье полиномов Эйлера. Определяя функции для , полином Эйлера имеет ряд Фурье. Обратите внимание, что и являются нечетными и четными соответственно: $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nu >1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle C_{\nu }}$ ${\displaystyle S_{\nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}}$$

Они связаны с функцией Лежандра хи как ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}}$$

Инверсия

Полиномы Бернулли и Эйлера можно инвертировать, чтобы выразить одночлен через полиномы.

В частности, из приведенного выше раздела об интегральных операторах, очевидно, следует, что и $${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$$ $${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$$

Отношение к падающему факториалу

Полиномы Бернулли могут быть разложены в терминах падающего факториала как где и обозначает число Стирлинга второго рода . Вышесказанное можно инвертировать, чтобы выразить падающий факториал в терминах полиномов Бернулли: где обозначает число Стирлинга первого рода . ${\displaystyle (x)_{k}}$ $${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$$ ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$$ $${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$$ $${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$$

Теоремы умножения

Теоремы умножения были сформулированы Йозефом Людвигом Раабе в 1851 году:

Для натурального числа m ≥1 , $${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}}$$

Интегралы

Два определенных интеграла, связывающие полиномы Бернулли и Эйлера с числами Бернулли и Эйлера, следующие: ^[5]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

Другая интегральная формула гласит ^[6]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

с особым случаем для ${\displaystyle y=0}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}$

Периодические полиномы Бернулли

Периодический многочлен Бернулли P _n ( x ) — это многочлен Бернулли, вычисленный в дробной части аргумента x . Эти функции используются для получения остаточного члена в формуле Эйлера–Маклорена, связывающей суммы с интегралами. Первый многочлен — пилообразная функция .

Строго говоря, эти функции вообще не являются полиномами и правильнее было бы называть их периодическими функциями Бернулли, а P ₀ ( x ) даже не является функцией, являясь производной пилообразной функции и, следовательно, гребёнкой Дирака .

Следующие свойства представляют интерес и действительны для всех : ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle P_{k}(x)}$непрерывен для всех ${\displaystyle k>1}$
• ${\displaystyle P_{k}'(x)}$существует и является непрерывным для ${\displaystyle k>2}$
• ${\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)}$для ${\displaystyle k>2}$

Смотрите также

• числа Бернулли
• Многочлены Бернулли второго рода
• Полином Стерлинга
• Многочлены, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий

Ссылки

1. Уртадо Бенавидес, Мигель Анхель. (2020). Де-лас-суммы-де-потенциалс, лас-аппелл и ваши характеристики в виде функций. [Тесис де маэстрия]. Университет Серджио Арболеды. https://repository.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/174
2. Серхио А. Каррильо; Мигель Уртадо. Последовательности Аппеля и Шеффера: об их характеристиках через функционалы и примеры. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 359 (2021) № 2, стр. 205-217. doi : 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/
3. Лемер, Д. Х. (1940). «О максимумах и минимумах многочленов Бернулли». American Mathematical Monthly . 47 (8): 533–538. doi :10.1080/00029890.1940.11991015.
4. Чжи-Вэй Сан; Хао Пан (2006). «Тождества, касающиеся полиномов Бернулли и Эйлера». Acta Arithmetica . 125 (1): 21–39. arXiv : math/0409035 . Bibcode : 2006AcAri.125...21S. doi : 10.4064/aa125-1-3. S2CID  10841415.
5. Такаши Агох и Карл Дилчер (2011). «Интегралы произведений полиномов Бернулли». Журнал математического анализа и приложений . 381 : 10–16. doi : 10.1016/j.jmaa.2011.03.061 .
6. Elaissaoui, Lahoucine & Guennoun, Zine El Abidine (2017). «Оценка логарифмических тангенциальных интегралов с помощью рядов, включающих ζ(2n+1)». Интегральные преобразования и специальные функции . 28 (6): 460–475. arXiv : 1611.01274 . doi : 10.1080/10652469.2017.1312366. S2CID  119132354.

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стиган, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Довер, Нью-Йорк. (См. главу 23)
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Бакалаврские тексты по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001 (См. главу 12.11)
• Дилчер, К. (2010), «Многочлены Бернулли и Эйлера», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "Новые формулы для многочленов Бернулли и Эйлера при рациональных аргументах". Труды Американского математического общества . 123 (5): 1527–1535. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 . JSTOR  2161144.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитические продолжения трансцендент Лерха». The Ramanujan Journal . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . doi :10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID  14910435. (Рассматривает связь с дзета-функцией Гурвица и трансцендентностью Лерха.)
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Т. 97. Кембридж: Cambridge Univ. Press. С. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.

Внешние ссылки

• Список интегральных тождеств, включающих полиномы Бернулли из NIST