Расширение серии

Выражение функции в виде бесконечной суммы более простых функций

Анимация, демонстрирующая приближение функции косинуса путем последовательных усечений ее ряда Маклорена .

В математике разложение в ряд — это метод, который выражает функцию как бесконечную сумму или ряд более простых функций. Это метод вычисления функции , которая не может быть выражена только элементарными операторами (сложением, вычитанием, умножением и делением). ^[1]

Полученный так называемый ряд часто может быть ограничен конечным числом членов, таким образом, давая приближение функции. Чем меньше членов последовательности используется, тем проще будет это приближение. Часто, полученная неточность (т. е. частичная сумма пропущенных членов) может быть описана уравнением, включающим нотацию Big O (см. также асимптотическое разложение ). Разложение ряда на открытом интервале также будет приближением для неаналитических функций . ^{[2] [ требуется проверка ]}

Типы расширений серий

Существует несколько видов расширений серии, перечисленных ниже.

ряд Тейлора

Ряд Тейлора — это степенной ряд, основанный на производных функции в одной точке. ^[3] Более конкретно, если функция бесконечно дифференцируема вокруг точки , то ряд Тейлора функции f вокруг этой точки задается выражением ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

в соответствии с соглашением . ^{[3] [4]} Ряд Маклорена функции f — это ее ряд Тейлора относительно . ^{[5] [4]} ${\displaystyle 0^{0}:=1}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$

Серия Лорана

Ряд Лорана является обобщением ряда Тейлора, допускающим члены с отрицательными показателями; он принимает вид и сходится в кольце . ^[6] В частности, ряд Лорана можно использовать для изучения поведения сложной функции вблизи сингулярности, рассматривая разложение ряда в кольце с центром в сингулярности. ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$

ряд Дирихле

Сходимость и расходимость частичных сумм ряда Дирихле, определяющего дзета-функцию Римана . Здесь желтая линия представляет первые пятьдесят последовательных частичных сумм, которые представляет пурпурная пунктирная линия , а зеленая точка представляет , когда s изменяется от -0,5 до 1,5. ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}n^{-s},}$ ${\displaystyle {\tfrac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s),}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

Общий ряд Дирихле — это ряд вида. Одним из важных частных случаев этого ряда является обычный ряд Дирихле ^[7], используемый в теории чисел . ^{[ требуется ссылка ]} ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

ряд Фурье

Ряд Фурье — это разложение периодических функций в виде суммы многих функций синуса ^{[ ломаный якорь ]} и косинуса ^{[ ломаный якорь ]} . ^[8] Более конкретно, ряд Фурье функции периода задается выражением , где коэффициенты задаются формулами ^{[8] [9]} ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle 2L}$ $${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt,\\b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.\end{aligned}}}$$

Другие серии

• В акустике , например, основной тон и обертоны вместе образуют пример ряда Фурье. ^{[ необходима цитата ]}

• Ньютоновские ряды ^{[ требуется ссылка ]}

• Полиномы Лежандра : используются в физике для ^{описания} произвольного электрического поля как суперпозиции дипольного поля, квадрупольного поля, октупольного поля и т. д. ^{[ необходима ссылка} ]

• Полиномы Цернике : используются в оптике для расчета аберраций оптических систем. Каждый член в ряду описывает определенный тип аберрации. ^{[ необходима ссылка ]}

Относительная ошибка в усеченном ряду Стирлинга в зависимости от n для членов от 0 до 5. Изломы на кривых представляют собой точки, в которых усеченный ряд совпадает с ${\displaystyle \Gamma (n+1).}$

• Ряд Стирлинга является приближением логарифмической гамма-функции . ^[10] $${\displaystyle {\text{Ln}}\Gamma \left(z\right)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}}$$

Примеры

Ниже приведен ряд Тейлора : ^{[11] [12]} ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...}$$

Ряд Дирихле дзета-функции Римана равен ^[7] $${\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots }$$

Ссылки

1. "Ряды и расширения". Mathematics LibreTexts . 2013-11-07 . Получено 2021-12-24 .
2. Гил, Ампаро; Сегура, Хавьер; Темме, Нико М. (1 января 2007 г.). Численные методы для специальных функций. СИАМ. ISBN 978-0-89871-782-2.
3. "Ряд Тейлора - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . 27 декабря 2013 г. . Получено 22 марта 2022 г. .
4. Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). Элементарные дифференциальные уравнения с граничными задачами . Pearson/Prentice Hall. стр. 196. ISBN 978-0-13-600613-8.
5. Weisstein, Eric W. "Ряд Маклорена". mathworld.wolfram.com . Получено 22.03.2022 .
6. "Серия Лорана - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2022-03-22 .
7. "Ряды Дирихле - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . 26 января 2022 г. . Получено 22 марта 2022 г. .
8. "Ряды Фурье - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2022-03-22 .
9. Эдвардс, К. Генри; Пенни, Дэвид Э. (2008). Элементарные дифференциальные уравнения с граничными задачами . Pearson/Prentice Hall. С. 558, 564. ISBN 978-0-13-600613-8.
10. "DLMF: 5.11 Асимптотические разложения". dlmf.nist.gov . Получено 22 марта 2022 г. .
11. Weisstein, Eric W. "Экспоненциальная функция". mathworld.wolfram.com . Получено 12 августа 2021 г.
12. "Экспоненциальная функция - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . 5 июня 2020 . Получено 12 августа 2021 .