Преобразование порождающей функции

В математике преобразование производящей функции последовательности представляет собой метод преобразования производящей функции для одной последовательности в производящую функцию, перечисляющую другую. Эти преобразования обычно включают интегральные формулы, применяемые к производящей функции последовательности (см. Интегральные преобразования) или взвешенные суммы по производным этих функций более высокого порядка (см. Преобразования производных).

Учитывая последовательность , обычная производящая функция (OGF) последовательности, обозначенная , и экспоненциальная производящая функция (EGF) последовательности, обозначенная , определяются формальным степенным рядом ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .}$

В этой статье мы используем соглашение, согласно которому обычная (экспоненциальная) производящая функция для последовательности обозначается заглавной функцией / для некоторого фиксированного или формального значения, когда контекст этого обозначения ясен. Кроме того, мы используем скобочные обозначения для извлечения коэффициентов из справочника по бетонной математике , который задается как . В основной статье приведены примеры производящих функций для многих последовательностей. Другие примеры вариантов производящей функции включают производящие функции Дирихле (DGF), ряды Ламберта и ряды Ньютона . В этой статье мы сосредоточимся на преобразованиях производящих функций в математике и ведем постоянный список полезных преобразований и формул преобразования. ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [z^{n}]F(z):=f_{n}}$

Извлечение арифметической прогрессии последовательности

Многосекционный ряд предоставляет формулы для производящих функций, перечисляющих последовательность заданной обычной производящей функции , где , и . В первых двух случаях , когда мы можем расширить эти функции, генерирующие арифметическую прогрессию, непосредственно с точки зрения : ${\displaystyle \{f_{an+b}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\geq 2}$ ${\displaystyle 0\leq b<a}$ ${\displaystyle (a,b):=(2,0),(2,1)}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right).}$

В более общем плане предположим, что и это обозначает первоначальный корень единицы . Тогда у нас есть следующая формула ^[1] , часто известная как корень единичного фильтра: ${\displaystyle a\geq 3}$ ${\displaystyle \omega _{a}:=\exp \left({\frac {2\pi \imath }{a}}\right)}$ ${\displaystyle a^{th}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$

Для целых чисел еще одна полезная формула, обеспечивающая несколько обратную минимальную арифметическую прогрессию, генерируется тождеством ^[2] ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

Полномочия ОГФ и состав с функциями

Экспоненциальные полиномы Белла , , определяются экспоненциальной производящей функцией ^[3] ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^{k}]\Phi (t,u)}$

${\displaystyle \Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left\{\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Следующие формулы для степеней, логарифмов и композиции формальных степенных рядов расширяются этими полиномами с переменными в коэффициентах исходных производящих функций. ^{[4] [5]} Формула для экспоненты производящей функции задается неявно через полиномы Белла с помощью EGF для этих полиномов, определенных в предыдущей формуле для некоторой последовательности . ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

Обратные значения OGF (частный случай формулы степеней)

Степенной ряд для обратной производящей функции , расширяется на ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}$

Если обозначить коэффициенты в разложении обратной производящей функции, то мы имеем следующее рекуррентное соотношение: ${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

Полномочия OGF

Пусть фиксировано, предположим, что , и обозначим . Тогда у нас есть разложение в ряд для заданного выражением ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$ ${\displaystyle F(z)^{m}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

а коэффициенты удовлетворяют рекуррентному соотношению вида ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

Другая формула для коэффициентов , расширяется полиномами Белла как ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

где обозначает символ Поххаммера . ${\displaystyle (r)_{n}}$

Логарифмы OGF

Если мы позволим и определим , то у нас будет разложение в степенной ряд для составной производящей функции, заданной выражением ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,}$

где коэффициенты в предыдущем разложении удовлетворяют рекуррентному соотношению, заданному формулой ${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

и соответствующую формулу, расширенную полиномами Белла в виде коэффициентов степенного ряда следующей производящей функции:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Формула Фаа ди Бруно

Обозначим EGF последовательности , и предположим, что это EGF последовательности . Формула Фаа ди Бруно подразумевает, что последовательность, порожденная композицией , может быть выражена через экспоненциальные полиномы Белла следующим образом: ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

Интегральные преобразования

OGF ⟷ Формулы преобразования EGF

У нас есть следующие интегральные формулы, к которым можно применять почленно относительно того, когда в качестве любой формальной переменной степенного ряда принимается: ^[6] ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

Обратите внимание, что первая и последняя из этих интегральных формул используются для преобразования между EGF в OGF последовательности и из OGF в EGF последовательности всякий раз, когда эти интегралы сходятся.

Первая интегральная формула соответствует преобразованию Лапласа (или иногда формальному преобразованию Лапласа–Бореля ) производящих функций, обозначаемых , определенных в ^[7] . Конечно, можно использовать и другие интегральные представления для гамма-функции во второй из предыдущих формул. можно использовать для построения аналогичных интегральных преобразований. Одна конкретная формула получается в случае примера функции двойного факториала, приведенного непосредственно ниже в этом разделе. Последняя интегральная формула сравнивается с петлевым интегралом Ханкеля для обратной гамма-функции , применяемой почленно к степенному ряду для . ${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$ ${\displaystyle F(z)}$

Пример: Двойной факториальный интеграл для ЭФР чисел Стирлинга второго рода.

Одиночная факториальная функция , выражается как произведение двух двойных факториальных функций вида ${\displaystyle (2n)!}$

${\displaystyle (2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

где интеграл для двойной факториальной функции или рациональной гамма-функции определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}$

для натуральных чисел . Это интегральное представление означает, что для фиксированных ненулевых и любых целых степеней мы имеем формулу ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle (2n-1)!!}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right)^{2k}\,dt\right].}$

Таким образом, для любого предписанного целого числа мы можем использовать предыдущее интегральное представление вместе с формулой для извлечения арифметических прогрессий из последовательности OGF, приведенной выше, чтобы сформулировать следующее интегральное представление для так называемого модифицированного числа Стирлинга EGF как ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,}$

которая сходится при подходящих условиях на параметр . ^[8] ${\displaystyle 0<|q|<1}$

Пример: формула EGF для производных более высокого порядка геометрической прогрессии.

Для фиксированного ненулевого определения, такого, что , пусть геометрическая прогрессия по неотрицательным целым степеням будет обозначаться . Соответствующие старшие производные геометрической прогрессии по обозначаются последовательностью функций ${\displaystyle c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle (cz)^{n}}$ ${\displaystyle G(z):=1/(1-cz)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],}$

для неотрицательных целых чисел . Можно показать, например, по индукции, что эти производные обычной геометрической прогрессии удовлетворяют явной формуле замкнутой формы, заданной формулой ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}}},}$

для любого когда угодно . В качестве примера третьей формулы преобразования OGF EGF, приведенной выше, мы можем вычислить следующие соответствующие экспоненциальные формы производящих функций : ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \longmapsto }$ ${\displaystyle G_{j}(z)}$

${\displaystyle {\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left(ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}}\left(j+1+z\right).}$

Дробные интегралы и производные

Дробные интегралы и дробные производные (см. основную статью ) образуют еще один обобщенный класс операций интегрирования и дифференцирования, которые можно применять к OGF последовательности для формирования соответствующего OGF преобразованной последовательности. Действительно, дробный интегральный оператор (порядка ) определим интегральным преобразованием ^[9] ${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

что соответствует (формальному) степенному ряду, заданному формулой

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

Для фиксированного определенного такого , что мы имеем, что операторы . Более того, для фиксированных и целых чисел, удовлетворяющих условиям, мы можем определить понятие дробной производной , удовлетворяющей свойствам, которые ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$ ${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

и

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$для ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

где у нас есть свойство полугруппы, которое действует только тогда, когда ни одно из них не является целочисленным. ${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$

Преобразования рядов полилогарифмов

При фиксированном мы имеем это (сравните с частным случаем интегральной формулы для функции обобщенного полилогарифма Нильсена, определенной в ^[10] ) ^[11] ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Обратите внимание, что если мы установим , интеграл по производящей функции , в последнем уравнении, когда соответствует производящей функции Дирихле , или DGF, последовательности при условии, что интеграл сходится. Этот класс интегральных преобразований , связанных с полилогарифмами, связан с преобразованиями дзета-ряда на основе производной, определенными в следующих разделах. ${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle z\equiv 1}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

Преобразования производящих функций квадратного ряда

Для фиксированного ненулевого такого, что и , мы имеем следующие интегральные представления для так называемой производящей функции квадратного ряда , связанной с последовательностью , которая может быть проинтегрирована почленно относительно : ^[12] ${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |q|<1}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

Этот результат, доказанный в ссылке, следует из варианта интеграла преобразования двойной факториальной функции для чисел Стирлинга второго рода, приведенного в качестве примера выше. В частности, поскольку

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

мы можем использовать вариант преобразований OGF на основе производной положительного порядка, определенных в следующих разделах, включающих числа Стирлинга второго рода, чтобы получить интегральную формулу для производящей функции последовательности, а затем выполнить суммирование по производным формального OGF, чтобы получить результат в предыдущем уравнении, где рассматриваемая производящая функция арифметической прогрессии обозначается как ${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

за каждую фиксированную . ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Произведения Адамара и диагональные производящие функции

У нас есть интегральное представление для произведения Адамара двух производящих функций и , сформулированное в следующем виде: ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle (F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt,}$

где I — мнимая единица .

Дополнительную информацию о произведениях Адамара как диагональных производящих функциях многомерных последовательностей и/или производящих функциях, а также о классах производящих функций, к которым принадлежат эти диагональные OGF, можно найти в книге Стэнли. ^[13] В справочнике также представлены формулы извлечения вложенных коэффициентов вида

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1}),}$

которые особенно полезны в тех случаях, когда функции, производящие последовательность компонентов, могут быть разложены в ряд Лорана или дробный ряд, в , например, в особом случае, когда все производящие функции компонентов рациональны, что приводит к алгебраическому форму соответствующей диагональной производящей функции. ${\displaystyle F_{i}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Пример: произведения Адамара рациональных производящих функций.

В общем, произведение Адамара двух рациональных производящих функций само по себе рационально. ^[14] В этом можно убедиться, заметив, что коэффициенты рациональной производящей функции образуют квазиполиномиальные члены вида

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

где обратные корни - фиксированные скаляры и где - многочлен для всех . Например, произведение Адамара двух производящих функций ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p_{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

и

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

задается формулой рациональной производящей функции ^[15]

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

Пример: Факториальные (приблизительные преобразования Лапласа)

Обычные производящие функции для обобщенных факториальных функций, образованных как частные случаи обобщенных возрастающих факториальных функций произведения , или k-символа Поххаммера , определяемого формулой

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

где фиксировано, и обозначает символ Похгаммера , порождены (по крайней мере формально) J-дробями типа Якоби (или специальными формами цепных дробей ), установленными в ссылке. ^[16] Если мы обозначим сходящуюся к этим бесконечным цепным дробям формулу ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle h^{\text{th}}}$ ${\displaystyle h\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

где обозначает ассоциированный полином Лагерра , то мы имеем, что сходящаяся функция точно перечисляет последовательности произведений , , для всех . Для каждого сходящаяся функция разлагается как конечная сумма, включающая только парные обратные значения полиномов Лагерра в виде ${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$ ${\displaystyle h^{th}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$ ${\displaystyle 0\leq n<2h}$ ${\displaystyle h\geq 2}$ ${\displaystyle h^{th}}$

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

Более того, поскольку единственная факториальная функция задается как и , мы можем генерировать члены одной факториальной функции, используя приближенные рациональные сходящиеся производящие функции до порядка . Это наблюдение предлагает подход к аппроксимации точного (формального) преобразования Лапласа – Бореля, обычно даваемого в терминах интегрального представления из предыдущего раздела, производящей функцией произведения Адамара или диагонального коэффициента. В частности, для любого OGF мы можем сформировать приближенное преобразование Лапласа, которое имеет точность -порядка, с помощью приведенной выше формулы извлечения диагональных коэффициентов, заданной формулой ${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$ ${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}$

Примеры последовательностей, перечисляемых с помощью этих производящих диагональных коэффициентов функций, возникающих в результате множителя функции факториала последовательности, обеспечиваемого рациональными сходящимися функциями, включают:

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

где обозначает модифицированную функцию Бесселя , обозначает субфакториальную функцию , обозначает знакопеременную факториальную функцию и является полиномом Лежандра . Другие примеры последовательностей, перечисляемых посредством применения этих производящих функций рационального произведения Адамара, приведенных в статье, включают G-функцию Барнса , комбинаторные суммы, включающие функцию двойного факториала , суммы последовательностей степеней и последовательности биномов. ${\displaystyle I_{0}(z)}$ ${\displaystyle !n}$ ${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

Производные преобразования

Преобразования дзета-рядов положительного и отрицательного порядка

При фиксированном мы имеем, что если последовательность OGF имеет производные всех необходимых порядков для , то преобразование дзета-ряда положительного порядка определяется формулой ^[17] ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

где обозначает число Стирлинга второго рода . В частности, мы имеем следующее тождество в частном случае, когда когда обозначает треугольник эйлеровых чисел первого порядка : ^[18] ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$ ${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

Мы также можем расширить преобразования дзета-ряда отрицательного порядка с помощью процедуры, аналогичной приведенным выше разложениям, заданным в терминах производных -порядка некоторых и бесконечного нетреугольного набора обобщенных чисел Стирлинга в обратном порядке или обобщенных чисел Стирлинга второй вид, определенный в этом контексте. ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$

В частности, для целых чисел определим эти обобщенные классы чисел Стирлинга второго рода по формуле ${\displaystyle k,j\geq 0}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

Тогда для и некоторого заданного OGF, т. е. так, чтобы производные высшего порядка существовали для всех , мы имеем, что ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

Ниже приведена таблица коэффициентов преобразования первых нескольких дзета-рядов . Эти разложения по числам взвешенных гармоник практически идентичны известным формулам для чисел Стирлинга первого рода с точностью до старшего знака членов взвешенных чисел гармоник в разложениях. ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$

Примеры преобразований дзета-ряда отрицательного порядка

Следующий ряд, связанный с полилогарифмическими функциями ( дилогарифмическими и трилогарифмическими функциями соответственно), знакопеременной дзета-функцией и дзета-функцией Римана, сформулирован на основе результатов предыдущих рядов отрицательного порядка, найденных в ссылках. В частности, когда (или, что то же самое, когда в таблице выше) мы имеем следующий ряд особых случаев для дилогарифма и соответствующего постоянного значения знакопеременной дзета-функции: ${\displaystyle s:=2}$ ${\displaystyle k:=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}}$

Когда (или когда в обозначениях, использованных в предыдущем подразделе) мы аналогичным образом получаем специальные серии случаев для этих функций, заданные формулами ${\displaystyle s:=3}$ ${\displaystyle k:=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Известно, что гармонические числа первого порядка имеют экспоненциальную производящую функцию замкнутой формы, расширенную с помощью натурального логарифма , неполной гамма-функции и экспоненциального интеграла , определяемого выражением

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).}$

Дополнительные представления в виде рядов для экспоненциальных производящих функций числа гармоник r-го порядка для целых чисел формируются как частные случаи этих результатов преобразования рядов на основе производной отрицательного порядка. Например, номера гармоник второго порядка имеют соответствующую экспоненциальную производящую функцию, расширенную в ряд ${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+z\right).}$

Преобразования обобщенного дзета-ряда отрицательного порядка

Дальнейшее обобщение преобразований рядов отрицательного порядка, определенных выше, связано с производящими функциями, более похожими на дзета-Гурвица или трансцендентными по Лерху . В частности, если мы определим еще более общие параметризованные числа Стирлинга второго рода как

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$,

для ненулевого такого , что и некоторого фиксированного , мы имеем это ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

Более того, для любых целых чисел у нас есть аппроксимация частичными рядами полной бесконечной серии в предыдущем уравнении, заданной формулой ${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$

Примеры преобразований обобщенного дзета-ряда отрицательного порядка

Ряды для специальных констант и дзета-функций , возникающих в результате этих обобщенных преобразований рядов на основе производной, обычно включают в себя обобщенные гармонические числа r-порядка , определенные для целых чисел . Пара конкретных разложений в ряд для следующих констант при фиксированном значении следует из особых случаев тождеств типа BBP : ${\displaystyle H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r}}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

Несколько других рядов для связанных с дзета-функцией случаев хи-функции Лежандра , полигамма-функции и дзета-функции Римана включают

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1)}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2)}(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, мы можем дать еще одно новое явное представление в виде ряда обратной касательной функции через ее связь с числами Фибоначчи ^[19], расширенными, как в ссылках,

${\displaystyle \tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],}$

для и где золотое сечение (и обратное ему значение) соответственно определяются как . ${\displaystyle t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}$

Соотношения инверсии и тождества производящих функций

Инверсионные отношения

Отношение инверсии представляет собой пару уравнений вида

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}$

что эквивалентно отношению ортогональности

${\displaystyle \sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.}$

Учитывая две последовательности и , связанные обратным соотношением предыдущей формы, мы иногда пытаемся связать OGF и EGF пары последовательностей функциональными уравнениями, подразумеваемыми соотношением инверсии. Эта цель в некоторых отношениях отражает более теоретико-числовое ( ряд Ламберта ) отношение производящей функции, гарантированное формулой обращения Мёбиуса , которая обеспечивает, что всякий раз, когда ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},}$

производящие функции для последовательностей и связаны преобразованием Мёбиуса, заданным формулой ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^{n}}}.}$

Аналогично преобразование Эйлера производящих функций для двух последовательностей и , удовлетворяющее соотношению ^[20] ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle 1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},}$

дается в виде

${\displaystyle 1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}{k}}\right),}$

где соответствующие формулы обращения между двумя последовательностями приведены в ссылке.

Оставшаяся часть результатов и примеров, приведенных в этом разделе, описывает некоторые из наиболее известных преобразований производящей функции, обеспечиваемых последовательностями, связанными формулами обращения ( биномиальное преобразование и преобразование Стирлинга ), и предоставляет несколько таблиц известных отношений обращения различных типов. цитируется в книге Риордана « Комбинаторные тождества» . Во многих случаях мы опускаем соответствующие функциональные уравнения, подразумеваемые соотношениями инверсии между двумя последовательностями ( эта часть статьи требует дополнительной доработки ).

Биномиальное преобразование

Первое соотношение инверсии, представленное ниже, неявно связанное с биномиальным преобразованием, возможно, является самым простым из всех отношений инверсии, которые мы рассмотрим в этом разделе. Для любых двух последовательностей и , связанных формулами обращения ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},}$

у нас есть функциональные уравнения между OGF и EGF этих последовательностей, полученные биномиальным преобразованием в формах

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1-z}}\right)}$

и

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).}$

Преобразование Стирлинга

Для любой пары последовательностей и , связанных формулой обращения чисел Стирлинга ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},}$

эти отношения инверсии между двумя последовательностями переводятся в функциональные уравнения между EGF последовательностей, заданные преобразованием Стирлинга как

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

и

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

Таблицы инверсионных пар из книги Риордана

Эти таблицы появляются в главах 2 и 3 книги Риордана, давая введение в обратные отношения со многими примерами, хотя и не подчеркивая функциональные уравнения между производящими функциями последовательностей, связанных этими отношениями инверсии. Заинтересованному читателю рекомендуется приобрести копию оригинальной книги для получения более подробной информации.

Несколько форм простейших обратных отношений

Классы Гулда обратных отношений

Члены и в формулах обращения вида ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

образующие несколько частных случаев классов обратных отношений Гулда, приведены в следующей таблице.

Для классов 1 и 2 диапазон суммы удовлетворяет , а для классов 3 и 4 границы суммирования определяются как . Эти термины также несколько упрощены по сравнению с их исходными формами в таблице тождествами ${\displaystyle k\in [0,n]}$ ${\displaystyle k=n,n+1,\ldots }$

${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q\times {\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}={\frac {p+qk-k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{n-k}}}$

${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q\times {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{n-k}}.}$

Простейшие обратные соотношения Чебышева

Так называемые более простые случаи классов обратных отношений Чебышева из нижеприведенного подраздела приведены в следующей таблице.

Формулы в таблице несколько упрощены следующими тождествами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}&={\frac {n-k}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, соотношения инверсии, приведенные в таблице, также выполняются в любом данном отношении. ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$

Классы Чебышева обратных отношений

Члены и в формулах обращения вида ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n+ck},}$

для ненулевых целых чисел, образующих несколько частных случаев классов обратных отношений Чебышёва, приведены в следующей таблице. ${\displaystyle c}$

Кроме того, эти соотношения инверсии также выполняются, когда для некоторых или когда знаковый фактор смещается от членов к членам . Формулы, приведенные в предыдущей таблице, несколько упрощены тождествами ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$ ${\displaystyle p=0,1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle A_{n,k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}}$

Более простые обратные отношения Лежандра

Классы обратных отношений Лежандра–Чебышева.

Классам обратных отношений Лежандра–Чебышева соответствуют отношениям обращения вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

где члены и неявно зависят от некоторого фиксированного ненулевого значения . Вообще говоря, дан класс обратных пар Чебышёва вида ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n-ck},}$

если простое число, то замена , и (возможно замена ) приводит к паре Лежандра–Чебышева вида ^[23] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n\longmapsto cn+p}$ ${\displaystyle a_{cn+p}\longmapsto A_{n}}$ ${\displaystyle b_{cn+p}\longmapsto B_{n}}$ ${\displaystyle k\longmapsto n-k}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k}(-1)^{k}A_{n-k}.}$

Аналогично, если целое положительное число является составным, мы можем вывести пары инверсий вида ${\displaystyle c:=de}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.}$

В следующей таблице суммированы несколько обобщенных классов обратных отношений Лежандра – Чебышева для некоторого ненулевого целого числа . ${\displaystyle c}$

Обратные отношения Абеля

Обратные отношения Абеля соответствуют обратным парам Абеля вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{n-k}a_{k},}$

где члены и могут неявно меняться с некоторым неопределенным параметром суммирования . Эти отношения также остаются в силе, если замена биномиального коэффициента выполняется для некоторого неотрицательного целого числа . В следующей таблице суммированы несколько известных форм этих обратных отношений Абеля. ${\displaystyle A_{nk}}$ ${\displaystyle B_{nk}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+p}}}$ ${\displaystyle p}$

Обратные отношения, полученные из обычных производящих функций

Если мы позволим свернутым числам Фибоначчи , , определяться формулой ${\displaystyle f_{k}^{(\pm p)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}}$

у нас есть следующая таблица обратных отношений, которые получены из свойств обычных производящих функций, доказанных как в разделе 3.3 книги Риордана.

Обратите внимание, что отношения 3, 4, 5 и 6 в таблице могут быть преобразованы в соответствии с подстановками и для некоторого фиксированного ненулевого целого числа . ${\displaystyle a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}}$ ${\displaystyle b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}}$ ${\displaystyle q\geq 1}$

Обратные отношения, полученные из экспоненциальных производящих функций

Обозначим числа Бернулли и числа Эйлера соответственно и предположим , что последовательности , , и определяются следующими экспоненциальными производящими функциями: ^[24] ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \{d_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{e_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{f_{2n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^{z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}}$

В следующей таблице суммированы несколько примечательных случаев отношений инверсии, полученных из экспоненциальных производящих функций в разделе 3.4 книги Риордана. ^[25]

Полиномиальные обратные

Обратные отношения, использованные при формулировке биномиального преобразования , цитированного в предыдущем подразделе, обобщаются на соответствующие двухиндексные обратные отношения для последовательностей из двух индексов и на формулы полиномиального обращения для последовательностей индексов, включающих биномиальные коэффициенты из Риордана. ^[26] В частности, мы имеем форму двухиндексного обратного отношения, заданного формулой ${\displaystyle j\geq 3}$

${\displaystyle a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}$

и более общая форма полиномиальной пары формул обращения, заданная формулой

${\displaystyle a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.}$

Примечания

1. См. раздел 1.2.9 в книге Кнута « Искусство компьютерного программирования» (том 1).
2. Решение к упражнению 7.36 на стр. 569 в книге Грэма, Кнута и Патшника.
3. См. раздел 3.3 в Comtet.
4. См. разделы 3.3–3.4 в Comtet.
5. См. раздел 1.9(vi) в Справочнике NIST.
6. См. стр. 566 Грэма, Кнута и Паташника, где приведена формулировка последней формулы преобразования.
7. См. Приложение B.13 Флажоле и Седжвика.
8. См. доказательство теоремы 2.3 в Math.NT/1609.02803 .
9. См. раздел 1.15(vi)–(vii) в Справочнике NIST .
10. Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный полилогарифм Нильсена». Математический мир .
11. См. уравнение (4) в разделе 2 статьи Борвейна, Борвейна и Гиргенсона «Явное вычисление сумм Эйлера» (1994).
12. См. статью Math.NT/1609.02803 .
13. См. раздел 6.3 в книге Стэнли.
14. См. раздел 2.4 в книге Лэндо.
15. Потехина, Е.А. (2017). «Применение произведения Адамара к некоторым комбинаторным и вероятностным задачам». Дискр. Математика. Приложение . 27 (3): 177–186. дои : 10.1515/dma-2017-0020. S2CID  125969602.
16. Шмидт, доктор медицины (2017). «Цепные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториалов». Дж. Межд. Сек . 20 :17.3.4. arXiv : 1610.09691 .
17. См. индуктивное доказательство, приведенное в разделе 2 Math.NT/1609.02803 .
18. См. таблицу в разделе 7.4 Грэма, Кнута и Паташника.
19. См. уравнение (30) на странице MathWorld для функции обратного тангенса.
20. Вайсштейн, Э. «Преобразование Эйлера». Математический мир .
21. Решение упражнения 5.71 по конкретной математике .
22. Spivey, MZ (2006). «К-биномиальные преобразования и преобразование Ханкеля». Журнал целочисленных последовательностей . 9 (Статья 06.1.1): 11. Бибкод : 2006JIntS...9...11S.
23. См. раздел 2.5 Риордана.
24. См. раздел 3.4 в Риордане.
25. Сравните с формулами инверсии, приведенными в разделе 24.5(iii) Справочника NIST .
26. См. раздел 3.5 в книге Риордана.

Рекомендации

• Конте, Л. (1974). Продвинутая комбинаторика (PDF) . Издательство Д. Рейделя. ISBN 9027703809.
• Флажоле и Седжвик (2010). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89806-5.
• Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: фонд информатики (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0201558025.
• Кнут, DE (1997). Искусство компьютерного программирования: фундаментальные алгоритмы . Том. 1. Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-89683-4.
• Ландо, СК (2002). Лекции по производящим функциям . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3481-9.
• Оливер, Лозье, Буасверт и Кларк (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-14063-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Риордан, Дж. (1968). Комбинаторные тождества . Уайли и сыновья.
• Роман, С. (1984). Умбральное исчисление . Дуврские публикации. ISBN 0-486-44139-3.
• Шмидт, доктор медицинских наук (3 ноября 2016 г.). «Преобразования производящей функции дзета-ряда, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv : 1611.00957 [math.CO].
• Шмидт, доктор медицинских наук (30 октября 2016 г.). «Преобразования производящих функций дзета-ряда, связанные с полилогарифмическими функциями и гармоническими числами k -порядка». arXiv : 1610.09666 [math.CO].
• Шмидт, доктор медицины (2017). «Цепные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториалов». Журнал целочисленных последовательностей . 20 . arXiv : 1610.09691 .
• Шмидт, доктор медицинских наук (9 сентября 2016 г.). «Преобразования производящих функций квадратного ряда». arXiv : 1609.02803 [math.NT].
• Стэнли, Р.П. (1999). Перечислительная комбинаторика . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78987-5.

Внешние ссылки

• Почему они не учат исчислению Ньютона на тему «Что будет дальше?» - Матолог