Тензорное произведение полей

Кольцо, изготовленное из двух месторождений

В математике тензорное произведение двух полей — это их тензорное произведение как алгебр над общим подполем . Если подполе явно не указано, два поля должны иметь одинаковую характеристику , а общее подполе — их простое подполе .

Тензорное произведение двух полей иногда является полем, а часто — прямым произведением полей; в некоторых случаях оно может содержать ненулевые нильпотентные элементы .

Тензорное произведение двух полей выражает в одной структуре различный способ вложения двух полей в общее поле расширения .

Композит полей

Сначала определяется понятие композитума полей. Эта конструкция часто встречается в теории поля . Идея композитума состоит в том, чтобы сделать наименьшее поле, содержащее два других поля. Чтобы формально определить композитум, нужно сначала указать башню полей . Пусть k — поле, а L и K — два расширения k . Композитум, обозначаемый KL , определяется как то, где правая часть обозначает расширение, порожденное K и L. Это предполагает некоторое поле, содержащее как K, так и L. Либо мы начинаем с ситуации, когда окружающее поле легко идентифицировать (например, если K и L оба являются подполями комплексных чисел ), либо мы доказываем результат, который позволяет поместить как K, так и L (как изоморфные копии) в некоторое достаточно большое поле. ${\displaystyle K.L=k(K\cup L)}$

Во многих случаях можно идентифицировать K . L как тензорное произведение векторного пространства , взятое по полю N , которое является пересечением K и L. Например, если к рациональному полю присоединить √2 , чтобы получить K , и √3, чтобы получить L , то верно, что поле M, полученное как K . L внутри комплексных чисел, равно ( с точностью до изоморфизма) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

как векторное пространство над . (Этот тип результата можно проверить, в общем случае, используя теорию ветвления алгебраической теории чисел .) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Подполя K и L поля M линейно не пересекаются ( над подполем N ), когда таким образом естественное N -линейное отображение

${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

к K . L инъективно . ^{[1] Естественно} , это не всегда так, например, когда K = L . Когда степени конечны, инъективность здесь эквивалентна биективности . Следовательно, когда K и L являются линейно непересекающимися полями расширения конечной степени над N , , как и в случае вышеупомянутых расширений рациональных чисел. ${\displaystyle K.L\cong K\otimes _{N}L}$

Значимым случаем в теории циклотомических полей является то, что для корней n- й степени из единицы , где n — составное число , подполя, порожденные корнями p ^-й  степени из единицы для простых степеней, делящих n, линейно не пересекаются для различных p . ^[2]

Тензорное произведение как кольцо

Чтобы получить общую теорию, нужно рассмотреть кольцевую структуру на . Можно определить произведение как (см. Тензорное произведение алгебр ). Эта формула полилинейна по N по каждой переменной; и, таким образом, определяет кольцевую структуру на тензорном произведении, превращая в коммутативную N -алгебру , называемую тензорным произведением полей . ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$ ${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$ ${\displaystyle ac\otimes bd}$ ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

Анализ кольцевой структуры

Структуру кольца можно проанализировать, рассмотрев все способы вложения K и L в некоторое расширение поля N . Конструкция здесь предполагает общее подполе N ; но не предполагает априори , что K и L являются подполями некоторого поля M (таким образом обходя оговорки о построении композитного поля). Всякий раз, когда кто-то вкладывает K и L в такое поле M , скажем, используя вложения α поля K и β поля L , получается кольцевой гомоморфизм γ из в M , определяемый как: ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

Ядро γ будет простым идеалом тензорного произведения; и наоборот, любой простой идеал тензорного произведения даст гомоморфизм N -алгебр в область целостности (внутри поля дробей ) и, таким образом , обеспечит вложения K и L в некоторое поле как расширения (копии) N .

Таким образом, можно проанализировать структуру : в принципе может существовать ненулевой нильрадикал (пересечение всех простых идеалов ) – и после взятия частного по нему можно говорить о произведении всех вложений K и L в различные M над N. ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

В случае, если K и L являются конечными расширениями N , ситуация особенно проста, поскольку тензорное произведение имеет конечную размерность как N -алгебра (и, следовательно, артиново кольцо ). Тогда можно сказать, что если R является радикалом, то мы имеем как прямое произведение конечного числа полей. Каждое такое поле является представителем класса эквивалентности (существенно различных) вложений полей для K и L в некоторое расширение M . ${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$

Примеры

Чтобы дать явный пример, рассмотрим поля и . Очевидно, что это изоморфные, но технически неравные поля, причем их (теоретико-множественное) пересечение является простым полем . Их тензорное произведение ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K}$ ${\displaystyle N=\mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L=K\otimes _{N}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

не является полем, а 4-мерной -алгеброй. Более того, эта алгебра изоморфна прямой сумме полей ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

через отображение , индуцированное . Морально следует считать наибольшим общим подполем с точностью до изоморфизма K и L через изоморфизмы . Когда мы выполняем тензорное произведение над этим лучшим кандидатом на наибольшее общее подполе, мы фактически получаем (довольно тривиальное) поле ${\displaystyle 1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L}$

${\displaystyle K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L}$.

В качестве другого примера, если K генерируется с помощью кубического корня из 2, то это сумма (копии) K и поля разбиения ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$

Х ³ − 2,

степени 6 над . Это можно доказать, вычислив размерность тензорного произведения над как 9 и заметив, что поле расщепления содержит две (на самом деле три) копии K и является композитом двух из них. Это, кстати, показывает, что R = {0} в этом случае. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Пример, приводящий к ненулевому нильпотенту: пусть

P ( X ) = X ^p − T

где K — поле рациональных функций в неопределенном T над конечным полем с p элементами (см. Разделимый многочлен : суть здесь в том, что P не является разделимым). Если L — расширение поля K ( T ^{1/ p} ) ( поле расщепления P ) , то L / K — пример чисто неразделимого расширения поля . В элементе ${\displaystyle L\otimes _{K}L}$

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

является нильпотентным: возводя его в степень p , получаем 0, используя K -линейность.

Классическая теория действительных и комплексных вложений

В алгебраической теории чисел тензорные произведения полей (неявно, часто) являются основным инструментом. Если K является расширением конечной степени n , всегда является произведением полей, изоморфных или . Полностью вещественные числовые поля — это те, для которых встречаются только вещественные поля: в общем случае существуют r ₁ вещественные и r ₂ комплексные поля, причем r ₁  + 2 r ₂ = n , как можно увидеть, подсчитав измерения. Факторы поля находятся в соответствии 1–1 с вещественными вложениями и парами комплексно-сопряженных вложений , описанных в классической литературе. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Эта идея применима также к , где _p — поле p -адических чисел . Это произведение конечных расширений _p , в соответствии 1–1 с пополнениями K для расширений p -адической метрики на . ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Последствия для теории Галуа

Это дает общую картину и, по сути, способ развития теории Галуа (вдоль линий, используемых в теории Галуа Гротендика ). Можно показать, что для сепарабельных расширений радикал всегда {0}; поэтому случай теории Галуа является полупростым , состоящим только из произведений полей.

Смотрите также

• Расширение скаляров — тензорное произведение расширения поля и векторного пространства над этим полем

Примечания

1. "Линейно-непересекающиеся расширения", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. "Циклотомическое поле", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Ссылки

• «Композитум», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кемпф, Джордж Р. (2012) [1995]. "9.2 Разложение тензорных произведений полей". Алгебраические структуры . Springer. стр. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1.
• Милн, Дж. С. (18 марта 2017 г.). Алгебраическая теория чисел (PDF) . стр. 17. 3.07.
• Стайн, Уильям (2004). «Краткое введение в классическую и адельную алгебраическую теорию чисел» (PDF) . стр. 140–2.
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975) [1958]. Коммутативная алгебра I. Graduate Texts in Mathematics. Том 28. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6. МР  0090581.

Внешние ссылки

• Тема MathOverflow об определении линейной дизъюнктности