Разбить продукт

В топологии , разделе математики , smash-произведение двух точечных пространств (т. е. топологических пространств с выделенными базовыми точками) ( X, x ₀ ) и ( Y , y ₀ ) является частным пространства произведения X × Y по обозначениям ( x , y ₀ ) ~ ( x ₀ , y ) для всех x из X и y из Y . smash-произведение само по себе является точечным пространством, причем базовая точка является классом эквивалентности ( x ₀ , y ₀ ). smash-произведение обычно обозначается X ∧ Y или X ⨳ Y . smash-произведение зависит от выбора базовых точек (если только X и Y не являются однородными ).

Можно думать о X и Y как о находящихся внутри X × Y подпространствах X × { y ₀ } и { x ₀ } × Y . Эти подпространства пересекаются в одной точке: ( x ₀ , y ₀ ), базовой точке X × Y . Таким образом, объединение этих подпространств можно отождествить с клиновой суммой . В частности, { x ₀ } × Y в X × Y отождествляется с Y в , то же самое для X × { y ₀ } и X . В подпространства X и Y пересекаются в одной точке . Тогда произведение столкновений является частным ${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim }}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}}$

${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).}$

Продукт smash появляется в теории гомотопий , разделе алгебраической топологии . В теории гомотопий часто работают с другой категорией пространств, чем категория всех топологических пространств . В некоторых из этих категорий определение продукта smash должно быть немного изменено. Например, продукт smash двух комплексов CW является комплексом CW, если в определении использовать продукт комплексов CW, а не топологию продукта . Аналогичные изменения необходимы и в других категориях.

Примеры

Визуализация как частного . ${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}}$ ${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})/(S^{1}\vee S^{1})}$

• Смэш-произведение любого точечного пространства X с 0 -сферой ( дискретным пространством с двумя точками ) гомеоморфно X.
• Произведение двух окружностей является частным тора, гомеоморфного 2-сфере.
• В более общем случае произведение двух сфер S ^m и S ⁿ гомеоморфно сфере S ^{m + n} .
• Смэш - произведение пространства X с окружностью гомеоморфно редуцированной подвеске X : $${\displaystyle \Sigma X\cong X\wedge S^{1}.}$$
• Итерированная k - кратно редуцированная подвеска X гомеоморфна smash-произведению X и k -сферы $${\displaystyle \Sigma ^{k}X\cong X\wedge S^{k}.}$$
• В теории доменов , взятие произведения двух доменов (так что произведение является строгим по своим аргументам).

Как симметричное моноидальное произведение

Для любых точечных пространств X , Y и Z в соответствующей «удобной» категории (например, категории компактно порожденных пространств ) существуют естественные (сохраняющие базисную точку) гомеоморфизмы

${\displaystyle {\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z).\end{aligned}}}$

Однако для наивной категории точечных пространств это не выполняется, как показано контрпримером и найдено Дитером Пуппе . ^[1] Доказательство, данное Кэтлин Льюис, что контрпример Пуппе действительно является контрпримером, можно найти в книге Иоганна Сигурдссона и Дж. Питера Мэя . ^[2] ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle Z=\mathbb {N} }$

Эти изоморфизмы превращают соответствующую категорию выделенных пространств в симметричную моноидальную категорию с произведением smash в качестве моноидального произведения и выделенной 0-сферой (двухточечным дискретным пространством) в качестве единичного объекта. Поэтому можно рассматривать произведение smash как своего рода тензорное произведение в соответствующей категории выделенных пространств.

Сопряженное отношение

Сопряженные функторы делают аналогию между тензорным произведением и smash-произведением более точной. В категории R -модулей над коммутативным кольцом R тензорный функтор является левым сопряженным к внутреннему Hom-функтору , так что ${\displaystyle (-\otimes _{R}A)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)).}$

В категории точечных пространств произведение smash играет роль тензорного произведения в этой формуле: если компактны Хаусдорфовы, то мы имеем присоединение ${\displaystyle A,X}$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\mathrm {Maps_{*}} (A,Y))}$

где обозначает непрерывные отображения, которые отправляют базовую точку в базовую точку, и несет компактно-открытую топологию . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Maps_{*}} }$ ${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (A,Y)}$

В частности, принимая в качестве единичной окружности , мы видим, что редуцированный функтор подвески является левым сопряженным к функтору пространства петель : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\Omega Y).}$

Примечания

1. Пуппе, Дитер (1958). «Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I.». Mathematische Zeitschrift . 69 : 299–344. дои : 10.1007/BF01187411. MR  0100265. S2CID  121402726.(стр. 336)
2. May, J. Peter ; Sigurdsson, Johann (2006). Parametrized Homotopy Theory . Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 132. Providence, RI: American Mathematical Society . section 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5. МР  2271789.
3. «Алгебраическая топология», Маундер, теорема 6.2.38c

Ссылки

• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.