Производные стабильности

Производная устойчивости. Это пример общепринятого сокращенного обозначения производных устойчивости. «M» указывает на то, что это мера изменения момента тангажа . «M» указывает на то, что изменения происходят в ответ на изменения угла атаки . Эта производная устойчивости произносится как «see-em-alpha». Это одна из мер того, насколько сильно самолет хочет лететь «носом вперед», что, очевидно, очень важно. ${\displaystyle \alpha }$

Производные устойчивости , а также производные управления , являются мерами того, как изменяются определенные силы и моменты на самолете при изменении других параметров, связанных с устойчивостью (таких как скорость полета , высота, угол атаки и т. д.). Для определенного «балансового» состояния полета в этих параметрах происходят изменения и колебания. Уравнения движения используются для анализа этих изменений и колебаний. Производные устойчивости и управления используются для линеаризации (упрощения) этих уравнений движения, чтобы можно было легче анализировать устойчивость транспортного средства.

Производные устойчивости и управления изменяются при изменении условий полета. Совокупность производных устойчивости и управления, которые изменяются в диапазоне условий полета, называется аэромоделью . Аэромодели используются в инженерных летных тренажерах для анализа устойчивости, а также в летных тренажерах реального времени для обучения и развлечений.

Стабильностьпроизводная противконтрольпроизводная

Производные устойчивости и производные управления связаны, поскольку они обе являются мерами сил и моментов на транспортном средстве при изменении других параметров. Часто эти слова используются вместе и сокращаются в термине «производные S&C». Они отличаются тем, что производные устойчивости измеряют эффекты изменений в условиях полета, в то время как производные управления измеряют эффекты изменений в положениях поверхности управления:

Производная стабильности

измеряет, насколько сильно изменяется сила или момент, действующие на транспортное средство, при небольшом изменении параметра условий полета, такого как угол атаки , скорость полета, высота и т. д. (Такие параметры называются «состояниями»).

Контрольная производная

измеряет, насколько сильно изменяется сила или момент, действующие на транспортное средство, при небольшом изменении отклонения управляющей поверхности, такой как элероны, руль высоты и руль направления.

Использует

Линеаризация (упрощение) анализа устойчивости

Производные устойчивости и управления изменяются по мере изменения условий полета. То есть силы и моменты на транспортном средстве редко являются простыми (линейными) функциями его состояний. Из-за этого динамика летательных аппаратов в атмосфере может быть трудной для анализа. Ниже приведены два метода, используемые для решения этой сложности.

Небольшие колебания относительно устойчивых условий полета

Один из способов упростить анализ — рассмотреть только небольшие колебания относительно других устойчивых условий полета. Набор условий полета (таких как высота, скорость полета, угол атаки) называется «триммерными» условиями, когда они устойчивы и не меняются. Когда условия полета устойчивы, производные устойчивости и управления постоянны и их легче анализировать математически. Анализ при одном наборе условий полета затем применяется к диапазону различных условий полета.

Применение в симуляторах для анализа устойчивости

В летном тренажере можно «искать» новые значения для производных устойчивости и управления по мере изменения условий. Таким образом, «линейные приближения» не так велики, и устойчивость можно оценить в маневрах, которые охватывают более широкий диапазон условий полета. Летные тренажеры, используемые для такого анализа, называются «инженерными тренажерами». Набор значений для производных устойчивости и управления (поскольку они изменяются в различных условиях полета) называется аэромоделью .

Использование в авиасимуляторах

Помимо инженерных симуляторов, аэромодели часто используются в летных симуляторах реального времени для домашнего использования и профессиональной летной подготовки.

Названия осей транспортных средств

Воздушные транспортные средства используют систему координат осей, чтобы помочь назвать важные параметры, используемые в анализе устойчивости. Все оси проходят через центр тяжести (называемый «ЦТ»):

• Ось «X» или «x» проходит сзади вперед вдоль тела и называется осью крена .
• Ось «Y» или «y» проходит слева направо вдоль крыла и называется осью тангажа .
• «Z» или «z» проходит сверху вниз и называется осью рыскания .

В зависимости от ситуации используются два немного отличающихся направления этих осей: «оси, закрепленные на теле» и «оси устойчивости».

Оси, закрепленные на корпусе

Оси, закрепленные на корпусе, или «оси корпуса», определяются и фиксируются относительно корпуса транспортного средства.: ^[1]

• Ось X кузова ориентирована вдоль корпуса транспортного средства и обычно имеет положительное направление относительно нормального направления движения.
• Ось тела Y ​​расположена под прямым углом к ​​оси тела x и ориентирована вдоль крыльев транспортного средства. Если крыльев нет (как у ракеты), «горизонтальное» направление определяется полезным способом. Ось тела Y ​​обычно принимается положительной по отношению к правой стороне транспортного средства.
• Ось корпуса Z перпендикулярна плоскости крыло-корпус (XY) и обычно направлена ​​вниз.

Оси устойчивости

Самолеты (обычно не ракеты) работают при номинально постоянном «балансировочном» угле атаки . Угол носа (ось X) не совпадает с направлением набегающего воздуха. Разница в этих направлениях — это угол атаки . Таким образом, для многих целей параметры определяются в терминах слегка измененной системы осей, называемой «осями устойчивости». Система осей устойчивости используется для выравнивания оси X с направлением набегающего потока. По сути, система осей корпуса вращается вокруг оси корпуса Y на балансировочный угол атаки , а затем «повторно фиксируется» на корпусе самолета: ^[1]

• Ось устойчивости X направлена ​​в сторону набегающего воздуха при устойчивом полете. (Она проецируется в плоскость, образованную осями тела X и Z, если есть боковое скольжение ).
• Ось устойчивости Y совпадает с осью Y, фиксированной относительно корпуса.
• Ось устойчивости Z перпендикулярна плоскости, образованной осью устойчивости X и осью корпуса Y.

Названия сил, моментов и скоростей

Силы и скорости вдоль каждой из осей

Силы, действующие на транспортное средство вдоль осей кузова, называются «Силами, действующими вдоль осей кузова»:

• X, или F _X , используется для обозначения сил, действующих на транспортное средство вдоль оси X.
• Y, или F _Y , используется для обозначения сил, действующих на транспортное средство вдоль оси Y.
• Z, или F _Z , используется для обозначения сил, действующих на транспортное средство вдоль оси Z.
• u (строчная буква) используется для обозначения скорости набегающего потока вдоль оси тела X
• v (строчная буква) используется для обозначения скорости набегающего потока вдоль оси Y тела
• w (строчная буква) используется для обозначения скорости набегающего потока вдоль оси Z тела

Полезно думать об этих скоростях как о проекциях относительного вектора ветра на три оси тела, а не как о поступательном движении транспортного средства относительно жидкости. Поскольку тело вращается относительно направления относительного ветра , эти компоненты изменяются, даже когда нет чистого изменения скорости .

Моменты и угловые скорости вокруг каждой из осей

• L используется для обозначения « крутящего момента», который действует вокруг оси X. Является ли он действием вокруг оси тела X или оси устойчивости X, зависит от контекста (например, нижнего индекса).
• Буква M используется для обозначения «момента тангажа », который действует вокруг оси Y.
• N используется для обозначения названия « рыскающего момента», который действует вокруг оси Z. Является ли он действием вокруг оси корпуса Z или оси устойчивости Z, зависит от контекста (например, нижнего индекса).
• «P» или «p» используется для угловой скорости вокруг оси X («Roll rate about the roll axis»). Будет ли это вокруг оси тела X или оси устойчивости X, зависит от контекста (например, нижнего индекса).
• «Q» или «q» используется для обозначения угловой скорости вокруг оси Y («Скорость тангажа вокруг оси тангажа»).
• «R» или «r» используется для угловой скорости вокруг оси Z («Yaw rate about the yaw axis»). Будет ли это вокруг оси корпуса Z или оси устойчивости Z, зависит от контекста (например, нижнего индекса).

Уравнения движения

Использование производных устойчивости наиболее удобно демонстрировать на ракетных или реактивных конфигурациях, поскольку они демонстрируют большую симметрию, чем самолеты, а уравнения движения соответственно проще. Если предположить, что транспортное средство управляется по крену, то движения тангажа и рыскания можно рассматривать изолированно. Обычной практикой является рассмотрение плоскости рыскания, так что нужно рассматривать только двумерное движение. Кроме того, предполагается, что тяга равна сопротивлению, а продольное уравнение движения можно игнорировать.

.

Тело ориентировано под углом (psi) по отношению к инерциальным осям. Тело ориентировано под углом (beta) по отношению к вектору скорости, так что компоненты скорости в осях тела равны: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle u=U\cos \beta }$

${\displaystyle v=U\sin \beta }$

где скорость. ${\displaystyle U}$

Аэродинамические силы генерируются относительно осей тела, что не является инерциальной системой отсчета. Для расчета движения силы должны быть отнесены к инерциальным осям. Для этого требуется, чтобы компоненты скорости тела были разрешены через угол направления в инерциальные оси. ${\displaystyle (\beta )}$

Разложение на фиксированные (инерциальные) оси:

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\beta )\cos(\psi )-U\sin(\beta )\sin(\psi )=U\cos(\beta +\psi )}$

${\displaystyle v_{f}=U\sin(\beta )\cos(\psi )+U\cos(\beta )\sin(\psi )=U\sin(\beta +\psi )}$

Ускорение относительно осей инерции находится путем дифференцирования этих компонент скорости по времени:

${\displaystyle {\frac {du_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\cos(\beta +\psi )-U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta +\psi )}$

${\displaystyle {\frac {dv_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\sin(\beta +\psi )+U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta +\psi )}$

Из Второго закона Ньютона это равно силе, действующей на массу . Теперь силы возникают из-за распределения давления по телу и, следовательно, генерируются в осях тела, а не в осях инерции, поэтому силы тела должны быть приведены к осям инерции, поскольку Второй закон Ньютона в своей простейшей форме не применим к ускоряющейся системе отсчета.

Разложение сил тела:

${\displaystyle X_{f}=X\cos(\psi )-Y\sin(\psi )}$

${\displaystyle Y_{f}=Y\cos(\psi )+X\sin(\psi )}$

Второй закон Ньютона, предполагающий постоянную массу:

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}}$

${\displaystyle Y_{f}=m{\frac {dv_{f}}{dt}}}$

где m — масса. Приравнивая инерционные значения ускорения и силы и переводя их обратно в оси тела, получаем уравнения движения:

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\beta )-mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta )}$

${\displaystyle Y=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\beta )+mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta )}$

Боковое скольжение, , является малой величиной, поэтому уравнения движения малых возмущений становятся следующими: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle Y=mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}}$

Первое напоминает обычное выражение Второго закона Ньютона, тогда как второе по сути является центробежным ускорением . Уравнение движения, управляющее вращением тела, выводится из производной по времени от момента импульса :

${\displaystyle N=C{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}}$

где C — момент инерции относительно оси рыскания. Предполагая постоянную скорость, есть только две переменные состояния; и , которые будут записаны более компактно как скорость рыскания r. Есть одна сила и один момент, которые для заданных условий полета будут каждая функцией , r и их производных по времени. Для типичных конфигураций ракет силы и моменты зависят, в краткосрочной перспективе, от и r. Силы могут быть выражены в виде: ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Y=Y_{0}+{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}\beta +{\frac {\partial Y}{\partial r}}r}$

где — сила, соответствующая равновесному состоянию (обычно называемому балансом ), устойчивость которого исследуется. Обычно принято использовать сокращенную запись: ${\displaystyle Y_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}=Y_{\beta }}$

Частная производная и все подобные члены, характеризующие приращения сил и моментов из-за приращений переменных состояния, называются производными устойчивости. Обычно несущественна для конфигураций ракет, поэтому уравнения движения сводятся к: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial r}}}$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r}$

Стабильность производных вкладов

Каждая производная устойчивости определяется положением, размером, формой и ориентацией компонентов ракеты. В самолетах курсовая устойчивость определяет такие характеристики, как двугранный угол основных плоскостей, размер киля и площадь хвостового оперения , но большое количество важных производных устойчивости исключает подробное обсуждение в этой статье. Ракета характеризуется только тремя производными устойчивости и, следовательно, обеспечивает полезное введение в более сложную динамику самолета.

Эта диаграмма показывает подъемную силу перпендикулярно продольной оси тела. В большинстве технических определений подъемная сила перпендикулярна набегающему потоку. То есть перпендикулярна продольной оси устойчивости .

Рассмотрим сначала , тело под углом атаки создает подъемную силу в направлении, противоположном движению тела. По этой причине всегда отрицательна. ${\displaystyle Y_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Y_{\beta }}$

Эта диаграмма показывает подъемную силу перпендикулярно продольной оси тела. В большинстве технических определений подъемная сила перпендикулярна набегающему потоку. То есть перпендикулярна продольной оси устойчивости .

При малых углах атаки подъемная сила создается в основном крыльями, плавниками и носовой частью корпуса. Общая подъемная сила действует на расстоянии впереди центра тяжести (она имеет отрицательное значение на рисунке), это, на ракетном языке, центр давления. Если подъемная сила действует впереди центра тяжести, момент рыскания будет отрицательным и будет иметь тенденцию увеличивать угол атаки, увеличивая как подъемную силу, так и момент еще больше. Из этого следует, что центр давления должен находиться позади центра тяжести для статической устойчивости. является статическим запасом и должен быть отрицательным для продольной статической устойчивости . С другой стороны, положительный угол атаки должен создавать положительный момент рыскания на статически устойчивой ракете, т. е. должен быть положительным. Обычной практикой является проектирование маневренных ракет с почти нулевым статическим запасом (т. е. нейтральной статической устойчивостью). ${\displaystyle x_{cp}}$ ${\displaystyle x_{cp}}$ ${\displaystyle N_{\beta }}$

Потребность в позитиве объясняет, почему у стрел и дротиков есть оперение, а у неуправляемых ракет — стабилизаторы. ${\displaystyle N_{\beta }}$

.

Влияние угловой скорости в основном заключается в уменьшении подъемной силы носа и увеличении подъемной силы хвоста, оба из которых действуют в некотором смысле, чтобы противостоять вращению. поэтому всегда отрицателен. Крыло вносит свой вклад, но поскольку ракеты, как правило, имеют небольшие статические запасы (обычно меньше калибра ), он обычно невелик. Также вклад плавника больше, чем у носа, поэтому есть чистая сила , но она обычно незначительна по сравнению с и обычно игнорируется. ${\displaystyle N_{r}}$ ${\displaystyle Y_{r}}$ ${\displaystyle Y_{\beta }}$

Ответ

Манипулирование уравнениями движения дает однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно угла атаки : ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}-\left({\frac {Y_{\beta }}{mU}}+{\frac {N_{r}}{C}}\right){\frac {d\beta }{dt}}+\left({\frac {N_{\beta }}{C}}+{\frac {Y_{\beta }}{mU}}{\frac {N_{r}}{C}}\right)\beta =0}$

Качественное поведение этого уравнения рассматривается в статье о курсовой устойчивости . Поскольку и оба отрицательны, демпфирование положительно. Жесткость зависит не только от члена статической устойчивости , она также содержит член, который эффективно определяет угол атаки из-за вращения тела. Расстояние центра подъемной силы, включая этот член, впереди центра тяжести называется запасом маневра. Он должен быть отрицательным для устойчивости. ${\displaystyle Y_{\beta }}$ ${\displaystyle N_{r}}$ ${\displaystyle N_{\beta }}$

Это затухание колебаний угла атаки и скорости рыскания, возникающее в результате возмущения, называется режимом «флюгера» из-за тенденции флюгера указывать на ветер.

Комментарии

В качестве переменных состояния были выбраны угол атаки и скорость рыскания r, и опущено возмущение скорости u вместе с соответствующими производными, например . Это может показаться произвольным. Однако, поскольку временной масштаб изменения скорости намного больше, чем у изменения угла атаки, его влияние пренебрежимо мало, если говорить о курсовой устойчивости транспортного средства. Аналогично, влияние крена на движение рыскания также игнорировалось, поскольку ракеты, как правило, имеют конфигурации с низким удлинением , а инерция крена намного меньше инерции рыскания, следовательно, ожидается, что контур крена будет намного быстрее, чем реакция рыскания, и игнорируется. Эти упрощения проблемы, основанные на априорных знаниях, представляют собой инженерный подход. Математики предпочитают сохранять проблему как можно более общей и упрощать ее только в конце анализа, если вообще упрощают. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Y_{u}}$

Динамика самолета сложнее динамики ракеты, в основном потому, что упрощения, такие как разделение быстрых и медленных режимов и сходство между движениями тангажа и рыскания, не очевидны из уравнений движения и, следовательно, откладываются до поздней стадии анализа. Дозвуковые транспортные самолеты имеют конфигурации с высоким удлинением, поэтому рыскание и крен нельзя рассматривать как разделенные. Однако это всего лишь вопрос степени; основные идеи, необходимые для понимания динамики самолета, рассматриваются в этом более простом анализе движения ракеты.

Контролировать производные

Отклонение управляющих поверхностей изменяет распределение давления по транспортному средству, и это решается путем включения возмущений в силы и моменты из-за отклонения управления. Отклонение плавника обычно обозначается (дзета). Включая эти члены, уравнения движения становятся: ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r+{\frac {Y_{\zeta }}{mU}}\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r+{\frac {N_{\zeta }}{C}}\zeta }$

Включение производных управления позволяет изучать реакцию транспортного средства и использовать уравнения движения для проектирования автопилота.

Примеры

• C _{L ${\displaystyle \beta }$} , называемый двугранным эффектом , является производной устойчивости, которая измеряет изменения момента качения при изменении угла скольжения . «L» указывает момент качения , а указывает угол скольжения. ${\displaystyle \beta }$

Смотрите также

• Продольная статическая устойчивость
• Нейтральная точка
• Аэродинамический центр
• Динамика полета
• Устойчивость направления

Ссылки

1. Roskam, Jan (1979). "4". Динамика полета самолета и автоматическое управление полетом . Том 1. Оттава, Канзас: Roskam Aviation and Engineering Corporation. стр. 113.Номер каталожной карточки Библиотеки Конгресса: 78-31382

• Бабистер AW: Динамическая устойчивость и реакция самолета . Elsever 1980, ISBN 0-08-024768-7 
• Фридланд Б.: Проектирование системы управления . McGraw-Hill Book Company 1987. ISBN 0-07-100420-3 
• Роскам Ян: Динамика полета самолета и автоматическое управление полетом . Roskam Aviation and Engineering Corporation 1979. Второе издание 1982. Номер карточки каталога Библиотеки Конгресса: 78-31382.