Математическая техника в общей теории относительности
Транспорт Ферми-Уокера — это процесс в общей теории относительности , используемый для определения системы координат или системы отсчета , в которой вся кривизна системы обусловлена наличием плотности массы/энергии, а не произвольным вращением или вращением системы отсчета. Он был открыт Ферми в 1921 году и переоткрыт Уокером в 1932 году. [1]
Дифференцирование Ферми – Уокера
В теории лоренцевых многообразий дифференцирование Ферми–Уокера является обобщением ковариантного дифференцирования . В общей теории относительности производные Ферми – Уокера пространственноподобных векторных полей в поле системы отсчета, взятые по отношению к времениподобному полю единичного вектора в поле системы отсчета, используются для определения неинерциальных и невращающихся систем отсчета, предполагая, что Ферми – Производные Уокера должны исчезнуть. В частном случае инерциальных систем отсчета производные Ферми – Уокера сводятся к ковариантным производным.
По соглашению о знаках это определяется для векторного поля X вдоль кривой :![{\displaystyle (-+++)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma (s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}-\left(X, {\frac {DV}{ds}}\right)V+(X ,V){\frac {DV}{ds}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где V — четырехскоростная скорость, D — ковариантная производная, а — скалярное произведение. Если![{\displaystyle (\cdot,\cdot)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
тогда векторное поле X является ферми-уокеровским, транспортируемым вдоль кривой. [2] Векторы, перпендикулярные пространству четырех скоростей в пространстве-времени Минковского , например, векторы поляризации, при транспорте Ферми-Уокера испытывают прецессию Томаса .
Используя производную Ферми, уравнение Баргмана–Мишеля–Телегди [3] для прецессии спина электрона во внешнем электромагнитном поле можно записать следующим образом:
![{\displaystyle {\frac {D_{F}a^{\tau }}{ds}}=2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{ \sigma \lambda })a_{\lambda },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и – четырехвектор поляризации и магнитный момент , – четырехскорость электрона, , , – тензор напряженности электромагнитного поля . Правая часть описывает ларморовскую прецессию .![{\displaystyle a^{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u^{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_ {\tau }=-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u^{\tau }a_ {\tau }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F^{\tau \sigma }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сопутствующие системы координат
Можно определить систему координат, движущуюся вместе с частицей. Если мы возьмем единичный вектор как определяющий ось в сопутствующей системе координат, то говорят, что любая система, трансформирующаяся с собственным временем, подвергается транспорту Ферми – Уокера. [4]![{\displaystyle v^{\mu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обобщенное дифференцирование Ферми – Уокера.
Дифференцирование Ферми – Уокера можно распространить на любой где (т. е. не на светоподобный вектор). Это определено для векторного поля вдоль кривой :![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (V,V)\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma (s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[5]
За исключением последнего члена, который является новым и в основном обусловлен возможностью непостоянства , его можно получить, взяв предыдущее уравнение и разделив каждое из них на . ![{\displaystyle (V,V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (V,V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если , то восстанавливаем дифференцирование Ферми–Уокера: ![{\displaystyle (V,V)=-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и![{\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}} = {\frac {D_{F}X}{ds}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ Бини, Донато; Янцен, Роберт Т. (2002). «Круговая голономия, часовые эффекты и гравитоэлектромагнетизм: спустя все эти годы все еще ходим по кругу». Нуово Чименто Б. 117 (9–11): 983–1008. arXiv : gr-qc/0202085 .
- ^ Хокинг и Эллис 1973, с. 80
- ^ Баргманн, Мишель и Телегди, 1959 г.
- ^ Миснер, Торн и Уилер 1973, с. 170
- ^ Кочарян, А.А. (2004). «Геометрия динамических систем». arXiv : astro-ph/0411595 .
Рекомендации
- Баргманн, В .; Мишель, Л.; Телегди, В.Л. (1959). «Прецессия поляризации частиц, движущихся в однородном электромагнитном поле». Письма о физических отзывах . 2 (10): 435. Бибкод : 1959PhRvL...2..435B. doi : 10.1103/PhysRevLett.2.435..
- Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9.
- Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
- Хокинг, Стивен В .; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.
- Кочарян, А.А. (2004). «Геометрия динамических систем». arXiv : astro-ph/0411595 .