Произвольно большой

В математике фразы произвольно большой , произвольно малый и произвольно длинный используются в утверждениях, чтобы прояснить тот факт, что объект большой, маленький или длинный с небольшим ограничением или сдержанностью, соответственно. Использование «произвольно» часто встречается в контексте действительных чисел (и их подмножеств ), хотя его значение может отличаться от значения «достаточно» и «бесконечно».

Примеры

Заявление

" является неотрицательным для произвольно больших ." ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

это сокращение от:

«Для каждого действительного числа , является неотрицательным для некоторого значения, большего, чем ». ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

В обиходе термин «произвольно длинный» часто используется в контексте последовательности чисел. Например, утверждение, что существуют «произвольно длинные арифметические прогрессии простых чисел », не означает, что существует бесконечно длинная арифметическая прогрессия простых чисел (ее нет), и не означает, что существует какая-то конкретная арифметическая прогрессия простых чисел, которая в каком-то смысле «произвольно длинная». Скорее, эта фраза используется для обозначения того факта, что независимо от того, насколько велико число , существует некоторая арифметическая прогрессия простых чисел длины не менее . ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Подобно сколь угодно большому числу, можно также определить фразу « справедливо для сколь угодно малых действительных чисел» следующим образом: ^[2] ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R} :|x|<\epsilon \land P(x)}$

Другими словами:

Каким бы малым ни было число, найдется число, меньшее его, при котором выполняется это соотношение. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

Произвольно большой против достаточно большого против бесконечно большого

Хотя это и похоже, «произвольно большой» не эквивалентно « достаточно большому ». Например, хотя верно, что простые числа могут быть произвольно большими (поскольку их бесконечно много из-за теоремы Евклида ), неверно, что все достаточно большие числа являются простыми.

В качестве другого примера, утверждение « является неотрицательным для произвольно больших ». можно переписать так: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}x>n\land f(x)\geq 0}$

Однако, используя « достаточно большой », та же фраза становится:

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0}$

Более того, «произвольно большой» также не означает « бесконечно большой ». Например, хотя простые числа могут быть произвольно большими, бесконечно большого простого числа не существует, поскольку все простые числа (как и все другие целые числа) конечны.

В некоторых случаях такие фразы, как «предложение верно для произвольно большого » используются в первую очередь для акцента, как в « верно для всех , независимо от того, насколько велико ». В этих случаях фраза «произвольно большое» не имеет указанного выше значения (т. е. «каким бы большим ни было число, найдется некоторое большее число, для которого оно все еще выполняется». ^[3] ). Вместо этого использование в этом случае фактически является логическим синонимом «всех». ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

Смотрите также

• Достаточно большой
• Математический жаргон

Ссылки

1. 4 Произвольно большие данные. Архивировано 22 февраля 2012 г. на Wayback Machine. Доступ 21 февраля 2012 г.
2. "Определение: Произвольно малый - ProofWiki". proofwiki.org . Получено 19.11.2019 .
3. "Определение: Произвольно большой - ProofWiki". proofwiki.org . Получено 19.11.2019 .