Положительно-действительная функция

Положительно-действительные функции , часто сокращенно называемые PR-функцией или PRF , являются разновидностью математической функции, которая впервые возникла в синтезе электрических цепей . Они являются комплексными функциями , Z ( s ), комплексной переменной, s . Рациональная функция определяется как обладающая свойством PR, если она имеет положительную действительную часть и является аналитической в ​​правой половине комплексной плоскости и принимает действительные значения на действительной оси.

В символах определение такое:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \Re (s)>0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \Im (s)=0\end{aligned}}}$

В анализе электрических сетей Z ( s ) представляет собой выражение импеданса , а s — комплексную частотную переменную, часто выражаемую в виде ее действительной и мнимой частей;

${\displaystyle s=\sigma +i\omega \,\!}$

в каких терминах можно сформулировать состояние PR;

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \sigma >0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \omega =0\end{aligned}}}$

Важность для анализа сети условия PR заключается в условии реализуемости. Z ( s ) реализуемо как однопортовый рациональный импеданс тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию PR. Реализуемость в этом смысле означает, что импеданс может быть построен из конечного (следовательно, рационального) числа дискретных идеальных пассивных линейных элементов ( резисторов , индукторов и конденсаторов в электрической терминологии). ^[1]

Определение

Термин «положительно-действительная функция» был первоначально определен ^[1] Отто Бруном для описания любой функции Z ( s ), которая ^[2]

• является рациональным (частное двух многочленов ),
• является реальным, когда s является реальным
• имеет положительную действительную часть, когда s имеет положительную действительную часть

Многие авторы строго придерживаются этого определения, явно требуя рациональности ^[3] или ограничивая внимание рациональными функциями, по крайней мере, в первом случае. ^[4] Однако похожее более общее условие, не ограниченное рациональными функциями, ранее рассматривалось Кауэром ^[1], и некоторые авторы приписывают термин «положительно-реальный» этому типу условия, в то время как другие считают его обобщением основного определения. ^[4]

История

Условие было впервые предложено Вильгельмом Кауэром (1926) ^[5] , который определил, что это необходимое условие. Отто Бруне (1931) ^{[2] [6]} ввел термин «положительно-реальное» для этого условия и доказал, что оно является как необходимым, так и достаточным для реализуемости.

Характеристики

• Сумма двух функций PR равна PR.
• Композиция двух функций PR есть PR. В частности, если Z ( s ) есть PR, то таковыми являются 1/ Z ( s ) и Z (1/ s ).
• Все нули и полюса функции PR находятся в левой полуплоскости или на ее границе мнимой оси.
• Любые полюса и нули на мнимой оси являются простыми (имеют кратность единице).
• Любые полюса на мнимой оси имеют действительные строго положительные вычеты , и аналогично в любых нулях на мнимой оси функция имеет действительную строго положительную производную.
• В правой полуплоскости минимальное значение действительной части PR-функции достигается на мнимой оси (поскольку действительная часть аналитической функции представляет собой гармоническую функцию в этой плоскости и, следовательно, удовлетворяет принципу максимума ).
• Для рациональной PR-функции число полюсов и число нулей отличаются не более чем на единицу.

Обобщения

Иногда делают несколько обобщений с целью охарактеризовать функции иммитанса более широкого класса пассивных линейных электрических сетей.

Иррациональные функции

Сопротивление Z ( s ) сети, состоящей из бесконечного числа компонентов (например, полубесконечной лестницы ), не обязательно должно быть рациональной функцией s , и в частности может иметь точки ветвления в левой половине s -плоскости. Чтобы учесть такие функции в определении PR, необходимо ослабить условие, что функция должна быть действительной для всех действительных s , и требовать этого только тогда, когда s положительно. Таким образом, возможно иррациональная функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда

• Z ( s ) аналитична в открытой правой половине s -плоскости (Re[ s ] > 0)
• Z ( s ) является действительным, когда s положительно и действительно.
• Re[ Z ( s )] ≥ 0, когда Re[ s ] ≥ 0

Некоторые авторы исходят из этого более общего определения, а затем конкретизируют его применительно к рациональному случаю.

Матричнозначные функции

Линейные электрические сети с более чем одним портом могут быть описаны матрицами импеданса или проводимости . Таким образом, расширяя определение PR до матричнозначных функций, линейные многопортовые сети, которые являются пассивными, можно отличить от тех, которые таковыми не являются. Возможно иррациональная матричнозначная функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда

• Каждый элемент Z ( s ) аналитичен в открытой правой половине s -плоскости (Re[ s ] > 0)
• Каждый элемент Z ( s ) является действительным, когда s положительно и действительно.
• Эрмитова часть ( Z ( s ) + Z ^† ( s ))/2 функции Z ( s ) положительно полуопределена , когда Re[ s ] ≥ 0

Ссылки

1. E. Cauer, W. Mathis и R. Pauli, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900 – 1945)», Труды Четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г. Получено онлайн 19 сентября 2008 г.
2. Brune, O, «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление которой является заданной функцией частоты», докторская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1931. Получено онлайн 3 июня 2010 г.
3. Бакши, Удай; Бакши, Аджай (2008). Теория сетей . Пуна: Технические публикации. ISBN 978-81-8431-402-1.
4. Wing, Omar (2008). Классическая теория цепей . Springer. ISBN 978-0-387-09739-8.
5. Кауэр, В., "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderst ände vorgeschriebener Frequenzabh ängigkeit", Archiv für Elektrotechnik , том 17 , стр. 355–388, 1926.
6. Брюн, О., «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление которой является заданной функцией частоты», J. Math. and Phys. , т. 10 , стр. 191–236, 1931.

• Вильгельм Кауэр (1932) Интеграл Пуассона для функций с положительной действительной частью, Бюллетень Американского математического общества 38:713–7, ссылка из Project Euclid .
• В. Кауэр (1932) «Über Funktionen mit позитивный Realteil», Mathematische Annalen 106: 369–94.