Число Ферма

Положительное целое число формы (2^(2^n))+1

В математике число Ферма , названное в честь Пьера де Ферма , первого известного человека, изучившего их, представляет собой целое положительное число вида: где n — неотрицательное целое число. Первые несколько чисел Ферма: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , 4294967297, 18446744073709551617, ... (последовательность A000215 в OEIS ). ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

Если 2 ^k + 1 — простое число и k > 0 , то k само должно быть степенью 2, ^[1] поэтому 2 ^k + 1 — число Ферма; такие простые числа называются простыми числами Ферма . По состоянию на 2023 год ^{[обновлять]}единственными известными простыми числами Ферма являются F ₀ = 3 , F ₁ = 5 , F ₂ = 17 , F ₃ = 257 и F ₄ = 65537 (последовательность A019434 в OEIS ).

Основные свойства

Числа Ферма удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям :

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

для n ≥ 1,

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

для n ≥ 2 . Каждое из этих соотношений можно доказать методом математической индукции . Из второго уравнения мы можем вывести теорему Гольдбаха (названную в честь Кристиана Гольдбаха ): никакие два числа Ферма не имеют общего целого множителя, большего 1 . Чтобы убедиться в этом, предположим, что ₀ ≤ i < j и Fi и F _j имеют общий множитель a > 1 . Тогда a делит оба

${\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}}$

и Fj ;_​ следовательно, a делит их разницу, 2. Поскольку a > 1 , это приводит к a = 2 . Это противоречие , поскольку каждое число Ферма явно нечетно. В качестве следствия получаем еще одно доказательство бесконечности простых чисел: для каждого F _n выбираем простой множитель p _n ; тогда последовательность { pn _} является бесконечной последовательностью различных простых чисел.

Дополнительные свойства

• Ни одно простое число Ферма не может быть выражено как разность двух p -х степеней, где p — нечетное простое число.
• За исключением F ₀ и F ₁ , последняя цифра числа Ферма равна 7.
• Сумма обратных величин всех чисел Ферма (последовательность A051158 в OEIS ) иррациональна . ( Соломон В. Голомб , 1963)

Первичность

Числа Ферма и простые числа Ферма были впервые изучены Пьером де Ферма, который предположил , что все числа Ферма являются простыми. Действительно, легко показать, что первые пять чисел Ферма F ₀ , ..., F ₄ являются простыми. Гипотеза Ферма была опровергнута Леонардом Эйлером в 1732 году, когда он показал, что

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}$

Эйлер доказал, что каждый фактор F _n должен иметь вид k  2 ^{n +1} + 1 (позже улучшенный Лукасом до k 2  n ^{+2 +} 1 ) для n ≥ 2 .

То, что 641 является фактором F _{5 ,} можно вывести из равенств 641 = 2 ⁷  × 5 + 1 и 641 = 2 ⁴  + 5 ⁴ . Из первого равенства следует, что 2 ⁷  × 5 ≡ −1 (по модулю 641) и, следовательно (возведение в четвёртую степень), что 2 ²⁸  × 5 ⁴  ≡ 1 (по модулю 641). С другой стороны, из второго равенства следует, что 5 ⁴  ≡ −2 ⁴  (mod 641). Из этих сравнений следует, что 2 ³²  ≡ −1 (mod 641).

Ферма, вероятно, знал о форме множителей, позже доказанных Эйлером, поэтому кажется любопытным, что ему не удалось выполнить простой расчет для нахождения множителя. ^[2] Одним из распространенных объяснений является то, что Ферма допустил вычислительную ошибку.

Других известных простых чисел Ферма F _n с n > 4 не существует , но мало что известно о числах Ферма для больших n . ^[3] Фактически, каждая из следующих проблем является открытой проблемой:

• Является ли F _n составным для всех n > 4 ?
• Существует ли бесконечно много простых чисел Ферма? ( Эйзенштейн 1844 г. ^[4] )
• Существует ли бесконечно много составных чисел Ферма?
• Существует ли число Ферма, не свободное от квадратов ?

По состоянию на 2024 год ^{[обновлять]}известно, что F _n является составным для 5 ≤ n ≤ 32 , хотя из них полные факторизации F _n известны только для 0 ≤ n ≤ 11 , а для n = 20 и нет известных простых множителей. п = 24 . ^[5] Самое большое число Ферма, которое известно как составное, — это F _18233954 , а его простой делитель 7 × 2 ^18233956 + 1 был обнаружен в октябре 2020 года.

Эвристические аргументы

Эвристика предполагает, что F ₄ — последнее простое число Ферма.

Теорема о простых числах подразумевает , что случайное целое число в подходящем интервале вокруг N является простым с вероятностью 1  /  ln N. Если использовать эвристику, согласно которой число Ферма является простым с той же вероятностью, что и случайное целое число его размера, и что F ₅ , ..., F ₃₂ являются составными, то ожидаемое количество простых чисел Ферма, превышающее F ₄ (или, что эквивалентно, , за F ₃₂ ) должно быть

${\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}}<{\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}})}}={\frac {1}{\ln 2}}2^{-32}<3.36\times 10^{-10}.}$

Это число можно интерпретировать как верхнюю границу вероятности существования простого числа Ферма, превосходящего F ₄ .

Этот аргумент не является строгим доказательством. Во-первых, предполагается, что числа Ферма ведут себя «случайно», но факторы чисел Ферма обладают особыми свойствами. Боклан и Конвей опубликовали более точный анализ, согласно которому вероятность существования еще одного простого числа Ферма составляет менее одного на миллиард. ^[6]

Андерс Бьорн и Ханс Ризель оценили количество квадратных факторов чисел Ферма, начиная с F ₅ , как

${\displaystyle \sum _{n\geq 5}\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k(k2^{n}+1)\ln(k2^{n})}}<{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}\sum _{n\geq 5}{\frac {1}{n2^{n}}}\approx 0.02576;}$

другими словами, маловероятно существование каких-либо несвободных от квадратов чисел Ферма, и вообще квадратные факторы очень редки для больших n . ^[7] ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$

Эквивалентные условия

Пусть – n-е число Ферма. Тест Пепена утверждает, что для n > 0 ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

${\displaystyle F_{n}}$является простым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}$

Выражение можно вычислить по модулю путем повторного возведения в квадрат . Это делает тест быстрым алгоритмом с полиномиальным временем . Но числа Ферма растут так быстро, что лишь немногие из них можно проверить за разумный промежуток времени и пространства. ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Для чисел вида k  2 ^m + 1 существуют некоторые тесты на простоту, такие как множители чисел Ферма.

Теорема Прота (1878 г.). Пусть N = k  2 ^m + 1 с нечетным k < 2 ^m . Если существует целое число a такое, что

${\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}$

тогда является простым. Обратно, если приведенное выше сравнение не выполнено и, кроме того, ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}$(См. символ Якоби )

тогда является составным. ${\displaystyle N}$

Если N = F _n > 3 , то указанный выше символ Якоби всегда равен −1 для a = 3 , и этот частный случай теоремы Прота известен как тест Пепина . Хотя тест Пепена и теорема Прота были реализованы на компьютерах для доказательства составности некоторых чисел Ферма, ни один из тестов не дает конкретного нетривиального фактора. Фактически, для n = 20 и 24 не известны конкретные простые множители.

Факторизация

Из-за размера чисел Ферма сложно факторизовать или даже проверить простоту. Тест Пепена дает необходимое и достаточное условие простоты чисел Ферма и может быть реализован на современных компьютерах. Метод эллиптических кривых — это быстрый метод нахождения малых простых делителей чисел. Проект распределенных вычислений Fermatsearch обнаружил некоторые факторы чисел Ферма. Программа proth.exe Ива Галло использовалась для поиска факторов больших чисел Ферма. Эдуард Люка , улучшая вышеупомянутый результат Эйлера, доказал в 1878 году, что каждый фактор числа Ферма , при n не менее 2, имеет вид (см. число Прота ), где k — положительное целое число. Само по себе это позволяет легко доказать простоту известных простых чисел Ферма. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}$

Факторизация первых 12 чисел Ферма:

По состоянию на апрель 2023 _года полностью учтены^{[обновлять]} только F0 – _F11 . ^[5] Проект распределенных вычислений Fermat Search занимается поиском новых факторов чисел Ферма. ^[9] Набор всех факторов Ферма — A050922 (или, отсортированный, A023394) в OEIS .

Следующие факторы чисел Ферма были известны до 1950 года (с тех пор цифровые компьютеры помогли найти больше факторов):

По состоянию на июль 2023 года ^{[обновлять]}известно 368 простых делителей чисел Ферма, а также 324 числа Ферма, которые являются составными. ^[5] Каждый год обнаруживается несколько новых факторов Ферма. ^[10]

Псевдопростые числа и числа Ферма

Подобно составным числам вида 2 ^p - 1, каждое составное число Ферма является сильным псевдопростым числом по основанию 2. Это связано с тем, что все сильные псевдопростые числа по основанию 2 также являются псевдопростыми числами Ферма , т. е.

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$

для всех чисел Ферма. ^[11]

В 1904 году Чиполла показал, что произведение по крайней мере двух различных простых или составных чисел Ферма будет псевдопростым числом Ферма по основанию 2 тогда и только тогда, когда . ^[12] ${\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}$ ${\displaystyle a>b>\dots >s>1}$ ${\displaystyle 2^{s}>a}$

Другие теоремы о числах Ферма

Лемма.  —  Если n — целое положительное число,

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}.}$

Доказательство

${\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}&=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}\\&=a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}}$

Теорема  :  Если — нечетное простое число, то оно является степенью двойки. ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Если это положительное целое число, но не степень 2, оно должно иметь нечетный простой делитель , и мы можем написать где . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s>2}$ ${\displaystyle k=rs}$ ${\displaystyle 1\leq r<k}$

По предыдущей лемме для натурального числа , ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (a-b)\mid (a^{m}-b^{m})}$

где означает «равномерно делит». Подстановка и использование этого странны, ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle a=2^{r},b=-1}$ ${\displaystyle m=s}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{rs}+1),}$

и поэтому

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{k}+1).}$

Потому что , отсюда следует, что не является простым. Следовательно, по контрасту должна быть степень 2. ${\displaystyle 1<2^{r}+1<2^{k}+1}$ ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Теорема  :  Простое число Ферма не может быть простым числом Вифериха .

Доказательство

Мы покажем, что если — простое число Ферма (и, следовательно, согласно вышесказанному, m — степень двойки), то сравнение не выполняется. ${\displaystyle p=2^{m}+1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}}$

Поскольку мы можем написать . Если данное сравнение выполнено, то , и, следовательно, ${\displaystyle 2m|p-1}$ ${\displaystyle p-1=2m\lambda }$ ${\displaystyle p^{2}|2^{2m\lambda }-1}$

${\displaystyle 0\equiv {\frac {2^{2m\lambda }-1}{2^{m}+1}}=(2^{m}-1)\left(1+2^{2m}+2^{4m}+\cdots +2^{2(\lambda -1)m}\right)\equiv -2\lambda {\pmod {2^{m}+1}}.}$

Следовательно , и поэтому . Это приводит к , что невозможно , т.к. ${\displaystyle 2^{m}+1|2\lambda }$ ${\displaystyle 2\lambda \geq 2^{m}+1}$ ${\displaystyle p-1\geq m(2^{m}+1)}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Теорема  ( Эдуард Люка )  —  Любой простой делитель p имеет вид, когда n > 1 . ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle k2^{n+2}+1}$

Эскиз доказательства

Пусть G _p обозначает группу ненулевых целых чисел по модулю p при умножении , которая имеет порядок p − 1 . Обратите внимание, что 2 (строго говоря, ее образ по модулю p ) имеет мультипликативный порядок, равный в G _p (поскольку квадрат которого равен −1 по модулю F _n ), так что по теореме Лагранжа p − 1 делится на и p имеет вид для некоторого целого числа k , как знал Эйлер . Эдуард Лукас пошел еще дальше. Поскольку n > 1 , простое число p выше соответствует 1 по модулю 8. Следовательно (как было известно Карлу Фридриху Гауссу ), 2 является квадратичным вычетом по модулю p , то есть существует целое число a такое, что Тогда образ a имеет порядок в группе G _p и (снова используя теорему Лагранжа) p − 1 делится на и p имеет вид для некоторого целого числа s . ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n+1}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle k2^{n+1}+1}$ ${\displaystyle p|a^{2}-2.}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle s2^{n+2}+1}$

На самом деле, непосредственно видно, что 2 — квадратичный вычет по модулю p , поскольку

${\displaystyle \left(1+2^{2^{n-1}}\right)^{2}\equiv 2^{1+2^{n-1}}{\pmod {p}}.}$

Поскольку нечетная степень 2 является квадратичным вычетом по модулю p , то же самое относится и к 2.

Число Ферма не может быть совершенным числом или частью пары дружественных чисел . (Лука 2000)

Ряд обратных всех простых делителей чисел Ферма сходится . (Кржижек, Лука и Сомер, 2002 г.)

Если n ⁿ + 1 — простое число, существует целое число m такое, что n = 2 ^{2 m} . В этом случае справедливо уравнение n ⁿ + 1 = F _{(2 ^m + m )} ^{. [13] [14]}

Пусть наибольший простой делитель числа Ферма _Fn равен _P ( Fn ) . Затем,

${\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}$(Грычук, Лука и Войтович, 2001 г.)

Связь с конструируемыми многоугольниками

Количество сторон известных конструктивных многоугольников, имеющих до 1000 сторон (жирный шрифт) или нечетное количество сторон (красный)

Карл Фридрих Гаусс развил теорию гауссовских периодов в своих « Арифметических исследованиях» и сформулировал достаточное условие построения правильных многоугольников. Гаусс заявил, что это условие также необходимо , ^[15] , но так и не опубликовал доказательства. Пьер Ванцель дал полное доказательство необходимости в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля :

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является либо степенью 2, либо произведением степени 2 и различных простых чисел Ферма: другими словами, тогда и только тогда, когда n имеет вид n = 2 ^k или n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _s , где k , s — целые неотрицательные числа, а pi _— различные простые числа Ферма.

Целое положительное число n имеет указанную выше форму тогда и только тогда, когда его точка φ ( n ) является степенью 2.

Применение чисел Ферма

Генерация псевдослучайных чисел

Простые числа Ферма особенно полезны при создании псевдослучайных последовательностей чисел в диапазоне 1,..., N , где N — степень 2. Наиболее распространенный метод — взять любое начальное значение от 1 до P − 1 . где P — простое число Ферма. Теперь умножьте это на число A , которое больше квадратного корня из P и является первообразным корнем по модулю P (т. е. оно не является квадратичным вычетом ). Затем возьмите результат по модулю P. Результатом является новое значение ГСЧ.

${\displaystyle V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}}$(см. линейный конгруэнтный генератор , RANDU )

Это полезно в информатике, поскольку большинство структур данных имеют элементы с возможными значениями, равными 2 ^X. Например, байт имеет 256 (2 ⁸ ) возможных значений (0–255). Следовательно, чтобы заполнить байт или байты случайными значениями, можно использовать генератор случайных чисел, который выдает значения от 1 до 256, при этом байт принимает выходное значение -1. По этой причине очень большие простые числа Ферма представляют особый интерес для шифрования данных. Этот метод выдает только псевдослучайные значения, так как после P - 1 повторений последовательность повторяется. Плохо выбранный множитель может привести к повторению последовательности раньше, чем P − 1 .

Обобщенные числа Ферма

Числа вида с a , b любыми взаимно простыми целыми числами, a > b > 0 , называются обобщенными числами Ферма . Нечетное простое число p является обобщенным числом Ферма тогда и только тогда, когда p конгруэнтно 1 (mod 4) . (Здесь мы рассматриваем только случай n > 0 , поэтому 3 = не является контрпримером.) ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}$

Пример вероятного простого числа такой формы: 1215 ¹³¹⁰⁷² + 242 ¹³¹⁰⁷² (найдено Келлен Шентон). ^[16]

По аналогии с обычными числами Ферма принято писать обобщенные числа Ферма вида F n ₍ a ) . Например, в этой записи число 100 000 001 будет записано как F ₃ (10). В дальнейшем мы ограничимся простыми числами этого вида , такие простые числа называются «простыми числами Ферма по основанию а ». Конечно, эти простые числа существуют только в том случае, если a четно . ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$ ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$

Если нам требуется n > 0 , то четвертая проблема Ландау спрашивает, существует ли бесконечно много обобщенных простых чисел Ферма F _n ( a ).

Обобщенные простые числа Ферма вида Fн(а)

Из-за простоты доказательства своей простоты обобщенные простые числа Ферма в последние годы стали темой исследований в области теории чисел. Многие из крупнейших известных сегодня простых чисел являются обобщенными простыми числами Ферма.

Обобщенные числа Ферма могут быть простыми только для четного a , потому что если a нечетно, то каждое обобщенное число Ферма будет делиться на 2. Наименьшее простое число с равно , или 30 ³² + 1. Кроме того, мы можем определить «полуобобщенные числа Ферма» «Для нечетной базы полуобобщенное число Ферма для базы a (для нечетного a ) равно , и также следует ожидать, что для каждой нечетной базы будет только конечное число полуобобщенных простых чисел Ферма. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n>4}$ ${\displaystyle F_{5}(30)}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}$

В этом списке обобщенные числа Ферма ( ) для четного a равны , для нечетного a они равны . Если a — совершенная степень с нечетным показателем (последовательность A070265 в OEIS ), то все обобщенные числа Ферма могут быть разложены на алгебраические множители, поэтому они не могут быть простыми. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}$

См. ^{[17] [18]} для четных оснований до 1000 и ^[19] для нечетных оснований. Чтобы узнать о наименьшем простом числе , см. OEIS : A253242 . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$

О наименьшем четном основании, таком как простое, см. OEIS : A056993 . ${\displaystyle F_{n}(a)}$

Наименьшими базисами b=b(n) такими, что b ^{2 n} + 1 (для данного n= 0,1,2,... ) является простым, являются

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (последовательность A056993 в ОЭИС )

И наоборот, наименьшее k=k(n) такое, что (2 n ) ^k + 1 (для заданного n ) является простым, это

1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (Следующий член неизвестен) (последовательность A079706 в OEIS ) (см. также OEIS : A228101 и OEIS : A084712 )

Более сложная теория может быть использована для прогнозирования количества оснований, для которых будет простым фиксированное . Можно примерно ожидать, что количество обобщенных простых чисел Ферма уменьшится вдвое при увеличении на 1. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Обобщенные простые числа Ферма вида Fн(а,б)

Также возможно построить обобщенные простые числа Ферма вида . Как и в случае, когда b = 1, числа этой формы всегда будут делиться на 2, если a + b четно, но все же возможно определить обобщенные простые числа полуферма этого типа. Наименьшее простое число формы (для нечетного ) см. также в OEIS : A111635 . ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$ ${\displaystyle F_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$

Самые большие известные обобщенные простые числа Ферма

Ниже приводится список пяти крупнейших известных обобщенных простых чисел Ферма. ^[21] Весь топ-5 обнаружен участниками проекта PrimeGrid .

На страницах простых чисел Ферма можно найти 100 лучших на данный момент обобщенных простых чисел Ферма.

Смотрите также

• Конструируемый многоугольник : какие правильные многоугольники можно построить, частично зависит от простых чисел Ферма.
• Двойная экспоненциальная функция
• Теорема Лукаса
• Мерсенн премьер
• Пьерпон Прайм
• Тест на примитивность
• Теорема Прота
• Псевдопростой
• Число Серпинского
• Последовательность Сильвестра

Примечания

1. Для любого положительного нечетного числа , где . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{2^{k}m}+1=(a+1)(a^{m-1}-a^{m-2}+\ldots -a+1)}$ ${\displaystyle a=2^{2^{k}}}$
2. Кржижек, Лука и Сомер 2001, с. 38, замечание 4.15.
3. Крис Колдуэлл, «Prime Links++: специальные формы». Архивировано 24 декабря 2013 г. в Wayback Machine на The Prime Pages .
4. Рибенбойм 1996, с. 88.
5. Келлер, Уилфрид (18 января 2021 г.), «Простые факторы чисел Ферма», ProthSearch.com , получено 19 января 2021 г.
6. Боклан, Кент Д.; Конвей, Джон Х. (2017). «Ожидайте не более одной миллиардной части нового числа Ферма!». Математический интеллект . 39 (1): 3–5. arXiv : 1605.01371 . дои : 10.1007/s00283-016-9644-3. S2CID  119165671.
7. Бьёрн, Андерс; Ризель, Ганс (1998). «Факторы обобщенных чисел Ферма». Математика вычислений . 67 (221): 441–446. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00891-6 . ISSN  0025-5718.
8. Сандифер, Эд. «Как это сделал Эйлер» (PDF) . МАА Онлайн . Математическая ассоциация Америки. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 13 июня 2020 г.
9. ":: FERMATSEARCH . ORG :: Домашняя страница" . www.fermatsearch.org . Проверено 7 апреля 2018 г.
10. "::FERMATSEARCH.ORG:: Новости" . www.fermatsearch.org . Проверено 7 апреля 2018 г.
11. Шредер, MR (2006). Теория чисел в науке и коммуникации: с приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии. Серия Springer по информатике (4-е изд.). Берлин ; Нью-Йорк: Спрингер. п. 216. ИСБН 978-3-540-26596-2. ОСЛК  61430240.
12. Крижек, Михал; Лука, Флориан; Сомер, Лоуренс (14 марта 2013 г.). 17 лекций о числах Ферма: от теории чисел к геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387218502. Проверено 7 апреля 2018 г. - через Google Книги.
13. Йеппе Стиг Нильсен, «S(n) = n^n + 1».
14. Вайсштейн, Эрик В. «Число Серпинского первого рода». Математический мир .
15. Гаусс, Карл Фридрих (1966). Арифметические исследования. Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. стр. 458–460 . Проверено 25 января 2023 г.
16. Лучшие записи PRP, поиск x^131072+y^131072, авторы Анри и Рено Лифшиц.
17. «Обобщенные простые числа Ферма». jeppesn.dk . Проверено 7 апреля 2018 г.
18. «Обобщенные простые числа Ферма по основаниям до 1030». noprimeleftbehind.net . Проверено 7 апреля 2018 г.
19. «Обобщенные простые числа Ферма в нечетных основаниях». Fermatquotient.com . Проверено 7 апреля 2018 г.
20. «Исходные факторы GFN». www.prothsearch.com .
21. Колдуэлл, Крис К. «Двадцать лучших: обобщенный Ферма». Главные страницы . Проверено 11 июля 2019 г.
22. 19637361048576 + 1
23. 19517341048576 + 1
24. 10590941048576 + 1
25. 9194441048576 + 1
26. 81*220498148 + 1

Рекомендации

• Голомб, SW (1 января 1963 г.), «О сумме обратных чисел Ферма и связанных с ними иррациональностях», Canadian Journal of Mathematics , 15 : 475–478, doi : 10.4153/CJM-1963-051-0 , S2CID  123138118
• Гричук А.; Лука Ф. и Войтович М. (2001), «Еще одна заметка о величайших простых факторах чисел Ферма», Southeast Asian Bulletin of Mathematics , 25 (1): 111–115, doi : 10.1007/s10012-001-0111 -4, S2CID  122332537
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел, Сборники задач по математике, том. 1 (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. A3, A12, B21, ISBN. 978-0-387-20860-2
• Кржижек, Михал; Лука, Флориан и Сомер, Лоуренс (2001), 17 лекций по числам Ферма: от теории чисел к геометрии, книги CMS по математике, том. 10, Нью-Йорк: Спрингер, ISBN. 978-0-387-95332-8- Эта книга содержит обширный список литературы.
• Кржижек, Михал; Лука, Флориан и Сомер, Лоуренс (2002), «О сходимости рядов обратных простых чисел, связанных с числами Ферма», Journal of Number Theory , 97 (1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782
• Лука, Флориан (2000), «Антисоциальное число Ферма», American Mathematical Monthly , 107 (2): 171–173, doi : 10.2307/2589441, JSTOR  2589441
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Робинсон, Рафаэль М. (1954), «Числа Мерсенна и Ферма», Труды Американского математического общества , 5 (5): 842–846, doi : 10.2307/2031878 , JSTOR  2031878
• Ябута, М. (2001), «Простое доказательство теоремы Кармайкла о примитивных делителях» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 : 439–443, заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

Внешние ссылки

• Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​число Ферма на The Prime Pages .
• Луиджи Морелли, История чисел Ферма
• Джон Косгрейв, Объединение чисел Мерсенна и Ферма
• Уилфрид Келлер, Простые факторы чисел Ферма
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Ферма». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ферма Прайм». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенное число Ферма». Математический мир .
• Ив Галло, Обобщенный поиск простых чисел Ферма
• Марк С. Манасс, Полная факторизация девятого числа Ферма (исходное объявление)
• Пейтон Хейслетт, самое известное объявление обобщенного простого числа Ферма