Простое расширение

В теории поля простое расширение — это расширение поля , которое генерируется присоединением одного элемента, называемого примитивным элементом . Простые расширения хорошо изучены и могут быть полностью классифицированы.

Теорема о примитивном элементе дает характеристику конечных простых расширений.

Определение

Расширение поля L / K называется простым расширением , если существует элемент θ в L с

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

Это означает, что каждый элемент L может быть выражен как рациональная дробь в θ с коэффициентами в K ; то есть он получается из θ и элементов K с помощью полевых операций +, −, •, /. Эквивалентно, L является наименьшим полем, содержащим как K , так и θ .

Существует два различных вида простых расширений (см. Структуру простых расширений ниже).

Элемент θ может быть трансцендентным над K , что означает, что он не является корнем никакого многочлена с коэффициентами в K. В этом случае изоморфен полю рациональных функций ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(X).}$

В противном случае θ является алгебраическим над K ; то есть θ является корнем многочлена над K . Монический многочлен минимальной степени n , с θ в качестве корня, называется минимальным многочленом θ . Его степень равна степени расширения поля , то есть размерности L , рассматриваемой как K - векторное пространство . В этом случае каждый элемент из может быть однозначно выражен как многочлен по θ степени меньше n , и изоморфен факторкольцу ${\displaystyle p(X)}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

В обоих случаях элемент θ называется порождающим элементом или примитивным элементом для расширения; говорят также, что L порождается над K посредством θ .

Например, каждое конечное поле является простым расширением простого поля той же характеристики . Точнее, если p — простое число, а поле из q элементов является простым расширением степени n поля Фактически, L порождается как поле любым элементом θ , который является корнем неприводимого многочлена степени n в . ${\displaystyle q=p^{n},}$ ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$ ${\displaystyle K[X]}$

Однако в случае конечных полей термин примитивный элемент обычно резервируется для более сильного понятия, элемента γ , который генерирует как мультипликативную группу , так что каждый ненулевой элемент L является степенью γ , т.е. производится из γ с использованием только групповой операции • . Чтобы различать эти значения, используют термин «генератор» или примитивный элемент поля для более слабого значения, резервируя «примитивный элемент» или примитивный элемент группы для более сильного значения. ^[1] (См. Конечное поле § Мультипликативная структура и Примитивный элемент (конечное поле) ). ${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$

Структура простых расширений

Пусть L — простое расширение K, порожденное θ . Для кольца многочленов K [ X ] одним из его основных свойств является единственный гомоморфизм колец

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

Могут иметь место два случая.

Если инъективно , то его можно инъективно расширить до поля дробей K ( X ) поля K [ X ]. Поскольку L порождается θ , это означает, что является изоморфизмом из K ( X ) на L . Это означает, что каждый элемент L равен несократимой дроби многочленов от θ , и что две такие несократимые дроби равны тогда и только тогда, когда можно перейти от одной к другой, умножив числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой элемент поля K . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Если не является инъективным, пусть p ( X ) будет генератором его ядра , которое , таким образом, является минимальным многочленом θ . Образ является подкольцом L , и, таким образом , областью целостности . Это подразумевает, что p является неприводимым многочленом, и, таким образом, что фактор-кольцо является полем. Так как L порождается θ , является сюръективным и индуцирует изоморфизм из на L . Это подразумевает, что каждый элемент L равен уникальному многочлену от θ степени ниже степени . То есть, у нас есть K- базис L , заданный . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$ ${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$

Примеры

• C / R сгенерирован . ${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$
• Q ( ) / Q сгенерировано . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$
• Любое числовое поле (т.е. конечное расширение Q ) является простым расширением Q ( θ ) для некоторого θ . Например, генерируется . ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$
• F ( X ) / F, поле рациональных функций, генерируется формальной переменной X .

Смотрите также

• Сопутствующая матрица для карты умножения на простом расширении поля

Ссылки

1. (Роман 1995)

Литература

• Роман, Стивен (1995). Теория поля . Тексты для аспирантов по математике . Том 158. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94408-7. Збл  0816.12001.