пространство Цирельсона

В математике , особенно в функциональном анализе , пространство Цирельсона является первым примером банахова пространства , в которое не может быть вложено ни пространство ℓ ^p,  ни пространство c 0. Пространство Цирельсона рефлексивно .

Он был введен Б. С. Цирельсоном в 1974 году. В том же году Фигель и Джонсон опубликовали связанную статью (Фигель и Джонсон (1974)), в которой они использовали обозначение T для двойственного примера Цирельсона. Сегодня буква T является стандартным обозначением ^[1] для двойственного исходного примера, в то время как исходный пример Цирельсона обозначается как T *. В T * или в T ни одно подпространство не изоморфно , как банахово пространство, пространству ℓ ^p , 1 ≤  p  < ∞, или c ₀ . 

Все классические банаховы пространства, известные Банаху (1932), пространства непрерывных функций , дифференцируемых функций или интегрируемых функций , и все банаховы пространства, используемые в функциональном анализе в течение следующих сорока лет, содержат некоторые ℓ ^p или c ₀ . Кроме того, новые попытки в начале 70-х ^[2] продвигать геометрическую теорию банаховых пространств привели к вопросу ^[3], имеет ли каждое бесконечномерное банахово пространство подпространство, изоморфное некоторому ℓ ^p или c ₀ . Более того, Бодье, Лансьен и Шлумпрехт показали, что ℓ ^p и c ₀ даже грубо не вкладываются в T*.   

Радикально новая конструкция Цирельсона лежит в основе нескольких дальнейших разработок в теории банаховых пространств: произвольно искажаемое пространство Томаса Шлюмпрехта (Schlumprecht (1991)), на котором основано решение Гауэрса для проблемы Банаха о гиперплоскости ^[4] и решение Оделла–Шлюмпрехта для проблемы искажения . Кроме того, несколько результатов Аргироса и др. ^[5] основаны на порядковых уточнениях конструкции Цирельсона, достигающих кульминации в решении Аргироса–Хейдона скалярной плюс компактной проблемы. ^[6]

Конструкция Цирельсона

На векторном пространстве ℓ ^∞ ограниченных скалярных последовательностей x = { x _j }  _{j ∈ N} пусть P _n обозначает линейный оператор , который устанавливает в нуль все координаты x _j вектора x, для которых j  ≤  n .  

Конечная последовательность векторов в ℓ ^∞ называется блочно-непересекающейся, если существуют натуральные числа такие, что , и такие, что при или , для каждого n от 1 до N . ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \textstyle \{a_{n},b_{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle a_{1}\leq b_{1}<a_{2}\leq b_{2}<\cdots \leq b_{N}}$ ${\displaystyle (x_{n})_{i}=0}$ ${\displaystyle i<a_{n}}$ ${\displaystyle i>b_{n}}$

Единичный шар  B _∞   из ℓ ^∞ компактен и метризуем для топологии поточечной сходимости ( топология произведения ). Решающий шаг в конструкции Цирельсона — позволить K быть наименьшим поточечно замкнутым подмножеством   B _∞,   удовлетворяющим следующим двум свойствам: ^[7]

а. Для каждого целого числа   j   из N единичный вектор e _j и все кратные ему векторы при |λ| ≤ 1 принадлежат K. ${\displaystyle \lambda e_{j}}$

б) Для любого целого числа N  ≥ 1, если — блочно-непересекающаяся последовательность в K , то принадлежит  K. ${\displaystyle \textstyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \textstyle {{1 \over 2}P_{N}(x_{1}+\cdots +x_{N})}}$

Этот набор K удовлетворяет следующему свойству устойчивости:

c. Вместе с каждым элементом x из K множество K содержит все векторы y из ℓ ^∞ такие, что | y | ≤ | x | (для поточечного сравнения).

Затем показано, что K на самом деле является подмножеством c ₀ , банаховым подпространством ℓ ^{∞ ,} состоящим из скалярных последовательностей, стремящихся к нулю на бесконечности. Это делается путем доказательства того, что

d: для каждого элемента x в K существует целое число n такое, что 2  P _n ( x ) принадлежит  K ,

и итерации этого факта. Поскольку K точечно компактен и содержится в c ₀ , он слабо компактен в c ₀ . Пусть V — замкнутая выпуклая оболочка K в c ₀ . Это также слабо компактное множество в c ₀ . Показано, что V удовлетворяет b , c и d .

Пространство Цирельсона T * — это банахово пространство, единичный шар которого — V . Базис единичных векторов является безусловным базисом для T *, а T * рефлексивен. Следовательно, T * не содержит изоморфной копии  c ₀ . Другие пространства ℓ ^p , 1 ≤  p  < ∞, исключаются условием  b . 

Характеристики

Пространство Цирельсона T * рефлексивно (Цирельсон (1974)) и конечно универсально, что означает, что для некоторой константы C ≥ 1 пространство T* содержит C -изоморфные копии каждого конечномерного нормированного пространства, а именно, для каждого конечномерного нормированного пространства X существует подпространство Y пространства Цирельсона с мультипликативным расстоянием Банаха–Мазура до X , меньшим, чем C . На самом деле, каждое конечно универсальное банахово пространство содержит почти изометрические копии каждого конечномерного нормированного пространства, ^[8] что означает, что C можно заменить на 1 + ε для каждого ε > 0 . Кроме того, каждое бесконечномерное подпространство T* конечно универсально. С другой стороны, каждое бесконечномерное подпространство в двойственном T к T* содержит почти изометрические копии , n -мерного ℓ ¹ -пространства, для всех  n . ${\displaystyle \scriptstyle {\ell _{n}^{1}}}$

Пространство Цирельсона T искажаемо , но неизвестно, искажается ли оно произвольно .

Пространство T* является минимальным банаховым пространством. ^[9] Это означает, что каждое бесконечномерное банахово подпространство T* содержит дополнительное подпространство, изоморфное T* . До построения T* единственными известными примерами минимальных пространств были ℓ ^p и c ₀ . Двойственное пространство T не является минимальным. ^[10] 

Пространство T* полиномиально рефлексивно .

Производные пространства

Симметричное пространство Цирельсона S ( T ) является полиномиально рефлексивным и имеет свойство аппроксимации . Как и T , оно рефлексивно и в него не может быть вложено ни одно ℓ ^p пространство. 

Поскольку он симметричен, его можно определить даже на несчетном опорном множестве, что дает пример несепарабельного полиномиально рефлексивного банахова пространства .

Смотрите также

• Проблема искажения
• Пространство последовательностей , базис Шаудера
• Пространство Джеймса

Примечания

1. см., например, Casazza & Shura (1989), стр. 8; Lindenstrauss & Tzafriri (1977), стр. 95; Справочник по геометрии банаховых пространств , т. 1, стр. 276; т. 2, стр. 1060, 1649.
2. см. Линденштраусс (1970), Мильман (1970).
3. Вопрос сформулирован явно в Lindenstrauss (1970), Milman (1970), Lindenstrauss (1971) на последней странице. Lindenstrauss & Tzafriri (1977), стр. 95, говорят, что этот вопрос был « давно существующей открытой проблемой, восходящей к книге Банаха » (Banach (1932)), но вопрос не появляется в книге Банаха. Однако Банах сравнивает линейную размерность ℓ p с размерностью других классических пространств, что является несколько похожим вопросом ^. 
4. Вопрос в том, является ли каждое бесконечномерное банахово пространство изоморфным своим гиперплоскостям. Отрицательное решение находится в Gowers, " A solution to Banach's hyperplane problem ". Bull. London Math. Soc. 26 (1994), 523-530.
5. например, S. Argyros и V. Felouzis, " Interpolating Hereditarily Indecomposable Banach spaces ", Journal Amer. Math. Soc., 13 (2000), 243–294; S. Argyros и A. Tolias, " Methods in the theory of Hereditarily Indecomposable Banach spaces ", Mem. Amer. Math. Soc. 170 (2004), № 806.
6. С. Аргирос и Р. Хейдон построили банахово пространство, на котором каждый ограниченный оператор является компактным возмущением скалярного кратного единицы, в « Наследственно неразложимое L∞ _- пространство, которое решает скалярно-плюс-компактную проблему », Acta Mathematica (2011) 206: 1-54.
7. условия б , в , г здесь являются условиями (3), (2) и (4) соответственно в Цирельсоне (1974), а а является модифицированной формой условия (1) из той же статьи.
8. это происходит потому, что для любых n , C и ε существует N , такое что каждый C -изоморф ℓ ^∞ _N содержит (1 + ε) -изоморф ℓ ^∞ _n , по методу блокировки Джеймса (см. Лемму 2.2 в Robert C. James " Uniformly Non-Square Banach Spaces ", Annals of Mathematics, Vol. 80, 1964, pp. 542-550), и потому, что каждое конечномерное нормированное пространство (1 + ε) -вкладывается в ℓ ^∞ _{n ,} когда n достаточно велико.
9. см. Casazza & Shura (1989), стр. 54.
10. см. Casazza & Shura (1989), стр. 56.

Ссылки

• Цирельсон, Б.С. (1974), "«Не каждое банахово пространство содержит вложение ℓ ^p или c ₀ », Функциональный анализ и его приложения , 8 : 138–141, doi :10.1007/BF01078599, MR  0350378 .
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Фигель, Т.; Джонсон, В.Б. (1974), «Равномерно выпуклое банахово пространство, не содержащее ℓ p», Compositio Mathematica , 29 : 179–190, MR  0355537.
• Casazza, Peter G.; Shura, Thaddeus J. (1989), Пространство Цирельсона , Lecture Notes in Mathematics, т. 1363, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-50678-0, МР  0981801.
• Джонсон, Уильям Б.; Дж. Линденштраус, Иорам, ред. (2001), Справочник по геометрии банаховых пространств , т. 1, Elsevier.
• Джонсон, Уильям Б.; Дж. Линденштраус, Иорам, ред. (2003), Справочник по геометрии банаховых пространств , т. 2, Elsevier.
• Линденштраус, Йорам (1970), «Некоторые аспекты теории банаховых пространств», Advances in Mathematics , 5 : 159–180, doi : 10.1016/0001-8708(70)90032-0.
• Линденштраус, Йорам (1971), «Геометрическая теория классических банаховых пространств», Actes du Congrès Intern. Math., Ницца, 1970 : 365–372.
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховые пространства I, Пространства последовательностей , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-08072-4.
• Мильман, В. Д. (1970), «Геометрическая теория банаховых пространств. I. Теория основных и минимальных систем», УМН , 25, № 3: 113–174. Английский перевод в Russian Math. Surveys 25 (1970), 111-170.
• Шлумпрехт, Томас Б. (1991), «Произвольное искажаемое банахово пространство», Israel Journal of Mathematics , 76 : 81–95, arXiv : math/9201225 , doi : 10.1007/bf02782845 , MR  1177333.
• Бодье, Флоран; Лансьен, Жиль; Шлумпрехт, Томас Б. (2018), «Грубая геометрия пространства Цирельсона и ее приложения», Журнал Американского математического общества , 31 : 699--717, arXiv : 1705.06797 , doi : 10.1090/jams/899 , MR  3787406.

Внешние ссылки

• Воспоминания Бориса Цирельсона на его веб-странице