Пространство, подлежащее первому счету

Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетную базу окрестностей

В топологии , разделе математики , пространство с первой аксиомой счетности — это топологическое пространство, удовлетворяющее «первой аксиоме счетности ». В частности, пространство называется пространством с первой аксиомой счетности, если каждая точка имеет счетную базу окрестностей (локальную базу). То есть для каждой точки в существует последовательность окрестностей такая , что для любой окрестности существует целое число с , содержащееся в Поскольку каждая окрестность любой точки содержит открытую окрестность этой точки, базис окрестностей можно выбрать без потери общности так, чтобы он состоял из открытых окрестностей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N.}$

Примеры и контрпримеры

Большинство «повседневных» пространств в математике являются счётными по принципу первой арифметики. В частности, каждое метрическое пространство является счётным по принципу первой арифметики. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что множество открытых шаров с центром в с радиусом для целых чисел образует счётную локальную базу в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle x.}$

Примером пространства, которое не является первым счетным, является кофинитная топология на несчетном множестве (например, вещественной прямой ). В более общем смысле топология Зарисского на алгебраическом многообразии над несчетным полем не является первым счетным.

Другим контрпримером является ординальное пространство , где — первое несчетное ординальное число. Элемент является предельной точкой подмножества, даже если ни одна последовательность элементов в не имеет элемент в качестве своего предела. В частности, точка в пространстве не имеет счетной локальной базы. Однако, поскольку — единственная такая точка, подпространство является счетно-первым. ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$

Факторпространство , в котором натуральные числа на действительной прямой определяются как одна точка, не допускает первой аксиомы счетности. ^[1] Однако это пространство обладает тем свойством, что для любого подмножества и каждого элемента в замыкании существует последовательность в A, сходящаяся к A. Пространство с этим свойством последовательности иногда называют пространством Фреше–Урысона . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x.}$

Первая счетность строго слабее второй счетности . Каждое пространство, поддающееся второй счетности , является пространством первой счетности, но любое несчетное дискретное пространство является пространством первой счетности, но не второй счетности.

Характеристики

Одним из важнейших свойств пространств с первой счетной функцией является то, что заданное подмножество лежит в замыкании тогда и только тогда, когда существует последовательность в , которая сходится к (Другими словами, каждое пространство с первой счетной функцией является пространством Фреше-Урысона и, таким образом, также последовательным пространством .) Это имеет последствия для пределов и непрерывности . В частности, если является функцией на пространстве с первой счетной функцией, то имеет предел в точке тогда и только тогда, когда для каждой последовательности , где для всех мы имеем Кроме того, если является функцией на пространстве с первой счетной функцией, то является непрерывной тогда и только тогда, когда всякий раз, когда то ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle x_{n}\neq x}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

В пространствах со счетными числами секвенциальная компактность и счетная компактность являются эквивалентными свойствами. Однако существуют примеры секвенциально компактных пространств со счетными числами, которые не являются компактными (они обязательно не метризуемые пространства). Одним из таких пространств является ординальное пространство Каждое пространство со счетными числами компактно порождено . ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$

Каждое подпространство пространства с первой счетностью является пространством с первой счетностью. Любое счетное произведение пространства с первой счетностью является пространством с первой счетностью, хотя несчетные произведения не обязаны быть таковыми.

Смотрите также

• Пространство Фреше–Урысона  – Свойство топологического пространства
• Второе счетное пространство  – топологическое пространство, топология которого имеет счетную базу.
• Сепарабельное пространство  – Топологическое пространство с плотным счетным подмножеством
• Последовательное пространство  – Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.

Ссылки

1. (Энгелькинг 1989, Пример 1.6.18)

Библиография

• «первая аксиома счетности», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Engelking, Ryszard (1989). Общая топология . Серия сигм в чистой математике, т. 6 (пересмотренное и дополненное издание). Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3885380064.