ба пространство

Класс банаховых пространств

В математике , пространство ba алгебры множеств — это банахово пространство, состоящее из всех ограниченных и конечно-аддитивных знаковых мер на . Норма определяется как вариация , то есть ^[1] ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \|\nu \|=|\nu |(X).}$

Если Σ является сигма-алгеброй , то пространство определяется как подмножество, состоящее из счетно-аддитивных мер . ^[2] Обозначение ba является мнемоническим для ограниченной аддитивности , а ca является сокращением для счетно-аддитивности . ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ ${\displaystyle ba(\Sigma )}$

Если X — топологическое пространство , а Σ — сигма-алгебра борелевских множеств в X , то — подпространство, состоящее из всех регулярных борелевских мер на X. ^[3] ${\displaystyle rca(X)}$ ${\displaystyle ca(\Sigma )}$

Характеристики

Все три пространства являются полными (они являются банаховыми пространствами ) относительно одной и той же нормы, определяемой полной вариацией, и, таким образом, являются замкнутым подмножеством , и является замкнутым множеством для Σ алгебры борелевских множеств на X . Пространство простых функций на плотно в . ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ ${\displaystyle rca(X)}$ ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle ba(\Sigma )}$

Пространство ba множества натуральных чисел , ba ( 2 ^N ) , часто обозначается просто и изоморфно двойственному пространству пространства ℓ ∞ . ${\displaystyle ba}$

Двойственный к B(Σ)

Пусть B(Σ) — пространство ограниченных Σ-измеримых функций, снабженное равномерной нормой . Тогда ba (Σ) = B(Σ)* — непрерывное сопряженное пространство B(Σ). Это принадлежит Хильдебрандту ^[4] и Фихтенгольцу и Канторовичу. ^[5] Это своего рода теорема о представлении Рисса , которая позволяет представить меру в виде линейного функционала на измеримых функциях. В частности, этот изоморфизм позволяет определить интеграл относительно конечно-аддитивной меры (обратите внимание, что обычный интеграл Лебега требует счетной аддитивности). Это принадлежит Данфорду и Шварцу ^{[6] и часто используется} для определения интеграла относительно векторных мер , ^[7] и особенно векторнозначных мер Радона .

Топологическая двойственность ba (Σ) = B(Σ)* легко видна. Существует очевидная алгебраическая двойственность между векторным пространством всех конечно-аддитивных мер σ на Σ и векторным пространством простых функций ( ). Легко проверить, что линейная форма, индуцированная σ, непрерывна в sup-норме, если σ ограничена, и результат следует, поскольку линейная форма на плотном подпространстве простых функций продолжается до элемента B(Σ)*, если она непрерывна в sup-норме. ${\displaystyle \mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$

Двойной изЛ∞(μ)

Если Σ является сигма-алгеброй , а μ является сигма-аддитивной положительной мерой на Σ, то пространство Lp L ^∞ ( μ ), наделенное существенной супремум- нормой, по определению является факторпространством B(Σ) по замкнутому подпространству ограниченных μ -нулевых функций:

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}.}$

Таким образом, дуальное банахово пространство L ^∞ ( μ )* изоморфно

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ for any }}A\in \Sigma \},}$

т.е. пространство конечно-аддитивных знакопеременных мер на Σ , которые абсолютно непрерывны относительно μ ( кратко μ -ac).

Если мерное пространство является еще и сигма-конечным, то L ^∞ ( μ ) в свою очередь двойственно L ¹ ( μ ), которое по теореме Радона–Никодима отождествляется с множеством всех счетно-аддитивных μ -ac мер. Другими словами, включение в двудуальное

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

изоморфно включению пространства счетно-аддитивных μ -ac ограниченных мер в пространство всех конечно-аддитивных μ -ac ограниченных мер.

Смотрите также

• Список банаховых пространств

Ссылки

• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958). Линейные операторы, Часть I. Wiley-Interscience.

1. Данфорд и Шварц 1958, IV.2.15.
2. Данфорд и Шварц 1958, IV.2.16.
3. Данфорд и Шварц 1958, IV.2.17.
4. Хильдебрандт, TH (1934). «О ограниченных функциональных операциях». Труды Американского математического общества . 36 (4): 868–875. doi : 10.2307/1989829 . JSTOR  1989829.
5. Фихтенхольц, Г.; Канторович, Л. В. (1934). «Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctions Bornées». Студия Математика . 5 : 69–98. дои : 10.4064/см-5-1-69-98 .
6. Данфорд и Шварц 1958.
7. Diestel, J.; Uhl, JJ (1977). Векторные меры . Математические обзоры. Том 15. Американское математическое общество. Глава I.

Дальнейшее чтение

• Diestel, Joseph (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• Yosida, K.; Hewitt, E. (1952). «Конечно-аддитивные меры». Труды Американского математического общества . 72 (1): 46–66. doi : 10.2307/1990654 . JSTOR  1990654.
• Канторович, Леонид В.; Акилов, Глеб П. (1982). Функциональный анализ . Пергам. doi :10.1016/C2013-0-03044-7. ISBN 978-0-08-023036-8.