Усложнение

Тема по математике

В математике комплексификация векторного пространства V над полем действительных чисел («действительное векторное пространство») даёт векторное пространство V ^C над полем комплексных чисел , полученное формальным расширением масштабирования векторов действительными числами, чтобы включить их масштабирование («умножение») на комплексные числа. Любой базис для V (пространство над действительными числами) может также служить базисом для V ^C над комплексными числами.

Формальное определение

Пусть будет вещественным векторным пространством. ${\displaystyle V}$Комплексификация Vопределяется путем взятиятензорногопроизведенияскомплексными числами (рассматриваемыми как двумерное векторное пространство над действительными числами): ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.}$

Нижний индекс, , на тензорном произведении указывает, что тензорное произведение берется по действительным числам (поскольку является действительным векторным пространством, это единственный разумный вариант в любом случае, поэтому нижний индекс можно безопасно опустить). В его нынешнем виде является лишь действительным векторным пространством. Однако мы можем превратить в комплексное векторное пространство, определив комплексное умножение следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$

В более общем смысле, комплексификация является примером расширения скаляров (в данном случае расширения скаляров от действительных чисел до комплексных чисел), что можно сделать для любого расширения поля или, по сути, для любого морфизма колец.

Формально, комплексификация — это функтор Vect _R → Vect _C , из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это сопряженный функтор — в частности, левый сопряженный — к забывающему функтору Vect _C → Vect _{R ,} забывающему комплексную структуру.

Это забывание сложной структуры комплексного векторного пространства называется ${\displaystyle V}$декомплексификация (или иногда "Реализация "). Декомплексификация комплексного векторного пространствас базисомустраняет возможность комплексного умножения скаляров, тем самым получая действительное векторное пространствоудвоенной размерности с базисом^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}.}$

Основные свойства

По природе тензорного произведения каждый вектор v из V ^C может быть записан единственным образом в виде

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

где v ₁ и v ₂ — векторы в V. Обычно символ тензорного произведения опускают и просто пишут

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

Умножение на комплексное число a + ib затем выполняется по обычному правилу

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

Тогда мы можем рассматривать V ^C как прямую сумму двух копий V :

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}$

с приведенным выше правилом умножения на комплексные числа.

Существует естественное вложение V в V ^C, заданное формулой

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

Тогда векторное пространство V можно рассматривать как действительное подпространство V ^C . Если V имеет базис { e _i } ( над полем R ), то соответствующий базис для V ^C задается как { e _i ⊗ 1 } над полем C . Таким образом , комплексная размерность V ^C равна действительной размерности V :

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

В качестве альтернативы, вместо использования тензорных произведений, можно использовать эту прямую сумму в качестве определения комплексификации:

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

где задана линейная комплексная структура оператором J, определяемым как где J кодирует операцию «умножения на i ». В матричной форме J задается как: ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

Это дает идентичное пространство – реальное векторное пространство с линейной комплексной структурой – это идентичные данные комплексному векторному пространству – хотя оно строит пространство по-разному. Соответственно, может быть записано как или отождествляя V с первым прямым слагаемым. Этот подход более конкретен и имеет преимущество в том, что избегает использования технически сложного тензорного произведения, но является ad hoc. ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle V\oplus JV}$ ${\displaystyle V\oplus iV,}$

Примеры

• Комплексификацией действительного координатного пространства R ⁿ является комплексное координатное пространство C ⁿ .
• Аналогично, если V состоит из матриц m × n с действительными элементами, то V ^C будет состоять из матриц m × n с комплексными элементами.

удвоение Диксона

Процесс комплексификации путем перехода от R к C был абстрагирован математиками двадцатого века, включая Леонарда Диксона . Начинается с использования тождественного отображения x * = x как тривиальной инволюции на R. Затем две копии R используются для формирования z = ( a , b ) с комплексным сопряжением, введенным как инволюция z * = ( a , − b ) . Два элемента w и z в удвоенном наборе умножаются на

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

Наконец, удвоенному множеству задается норма N ( z ) = z* z . При старте с R с инволюцией тождества удвоенное множество равно C с нормой a ² + b ² . Если удвоить C и использовать сопряжение ( a,b )* = ( a *, – b ), построение дает кватернионы . Удвоение снова дает октонионы , также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес вклад в раскрытие алгебраической структуры.

Процесс также может быть инициирован с помощью C и тривиальной инволюции z * = z . Полученная норма — это просто z ² , в отличие от генерации C путем удвоения R . Когда этот C удваивается, он производит бикомплексные числа , а удвоение, которое производит бикватернионы , и повторное удвоение приводит к биоктонионам . Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, произведенная этой конструкцией Кэли–Диксона, называется композиционной алгеброй, поскольку можно показать, что она обладает свойством

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

Комплексное сопряжение

Комплексифицированное векторное пространство V ^C имеет больше структуры, чем обычное комплексное векторное пространство. Оно поставляется с канонической картой комплексного сопряжения :

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

определяется

${\displaystyle \chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.}$

Отображение χ можно рассматривать либо как сопряженно-линейное отображение из V ^C в себя, либо как комплексный линейный изоморфизм из V ^C в его комплексно сопряженное . ${\displaystyle {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

Наоборот, если задано комплексное векторное пространство W с комплексным сопряжением χ , то W изоморфно как комплексное векторное пространство комплексификации V ^C действительного подпространства

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

Другими словами, все комплексные векторные пространства с комплексным сопряжением являются комплексификацией действительного векторного пространства.

Например, когда W = C ⁿ со стандартным комплексным сопряжением

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}$

инвариантное подпространство V — это просто действительное подпространство R ⁿ .

Линейные преобразования

При наличии действительного линейного преобразования f  : V → W между двумя действительными векторными пространствами существует естественное комплексное линейное преобразование

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}$

предоставлено

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

Отображение называется комплексификацией f . Комплексификация линейных преобразований удовлетворяет следующим свойствам ${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }$

На языке теории категорий говорят, что комплексификация определяет ( аддитивный ) функтор из категории действительных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств.

Отображение f ^C коммутирует с сопряжением и, таким образом, отображает действительное подпространство V ^C в действительное подпространство W ^C (через отображение f ). Более того, комплексное линейное отображение g  : V ^C → W ^C является комплексификацией действительного линейного отображения тогда и только тогда, когда оно коммутирует с сопряжением.

В качестве примера рассмотрим линейное преобразование из R ⁿ в R ^{m ,} рассматриваемое как матрица m × n . Комплексификация этого преобразования — это точно та же матрица, но теперь рассматриваемая как линейное отображение из C ⁿ в C ^m .

Дуальные пространства и тензорные произведения

Двойственным к действительному векторному пространству V является пространство V * всех действительных линейных отображений из V в R. Комплексификацию V * можно естественным образом рассматривать как пространство всех действительных линейных отображений из V в C (обозначаемое Hom _R ( V , C ) ). То есть, $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}$$

Изоморфизм задается как где φ ₁ и φ ₂ являются элементами V * . Комплексное сопряжение тогда задается обычной операцией $${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}$$

Учитывая вещественное линейное отображение φ  : V → C , мы можем расширить его по линейности , чтобы получить комплексное линейное отображение φ  : V ^C → C . То есть, это расширение дает изоморфизм из Hom _R ( V , C ) в Hom _C ( V ^C , C ) . Последнее является просто комплексным сопряженным пространством к V ^C , поэтому у нас есть естественный изоморфизм : $${\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}$$ $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$$

В более общем случае для действительных векторных пространств V и W существует естественный изоморфизм $${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).}$$

Комплексификация также коммутирует с операциями взятия тензорных произведений , внешних степеней и симметричных степеней . Например, если V и W — вещественные векторные пространства, то существует естественный изоморфизм. Обратите внимание, что левое тензорное произведение берется по вещественным числам, а правое — по комплексам. В общем случае та же закономерность верна. Например, во всех случаях изоморфизмы являются «очевидными». $${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.}$$ $${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$$

Смотрите также

• Расширение скаляров – общий процесс
• Линейная сложная структура
• Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа

Ссылки

1. Кострикин, Алексей И.; Манин, Ю. И. (14 июля 1989 г.). Линейная алгебра и геометрия . CRC Press. стр. 75. ISBN 978-2881246838.

• Халмош, Пол (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Спрингер. стр. 41 и §77 Комплексификация, стр. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.
• Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп. Том I: Линейная алгебра и введение в представления групп. Academic Press. стр. 196. ISBN 0-12-639201-3.
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Graduate Texts in Mathematics. Том 135 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-24766-1.