Главный идеал

Идеально подходит для кольца, обладающего свойствами, подобными простым элементам.

Диаграмма Хассе части решетки идеалов целых чисел. Фиолетовые узлы обозначают простые идеалы. Фиолетовый и зеленый узлы — это полупростые идеалы , а фиолетовый и синий узлы — первичные идеалы . ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

В алгебре простой идеал — это подмножество кольца , которое разделяет многие важные свойства простого числа в кольце целых чисел . ^{[1] [2]} Простые идеалы целых чисел — это множества, которые содержат все кратные данному простому числу вместе с нулевым идеалом .

Примитивные идеалы являются простыми, а простые идеалы являются как первичными , так и полупервичными .

Первичные идеалы коммутативных колец

Определение

Идеал P коммутативного кольца R является простым , если он обладает следующими двумя свойствами:

• Если a и b — два элемента R , так что их произведение ab является элементом P , то a находится в P или b находится в P ,
• P — это не все кольцо R.

Это обобщает следующее свойство простых чисел, известное как лемма Евклида : если p — простое число и если p делит произведение ab двух целых чисел , то p делит a или p делит b . Поэтому мы можем сказать

Целое положительное число n является простым числом тогда и только тогда, когда оно является простым идеалом в ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Примеры

• Простой пример: в кольце подмножество четных чисел является простым идеалом. ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$

• Учитывая область целостности , любой простой элемент порождает главный простой идеал . Критерий Эйзенштейна для областей целостности (следовательно, UFD ) является эффективным инструментом для определения того, является ли элемент в кольце полиномов неприводимым . Например, возьмем неприводимый многочлен в кольце многочленов над некоторым полем . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in R}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• Если R обозначает кольцо многочленов от двух переменных с комплексными коэффициентами , то идеал , порожденный многочленом Y ² - X ³ - X - 1, является простым идеалом (см. эллиптическую кривую ). ${\displaystyle \mathbb {C} [X,Y]}$

• В кольце всех многочленов с целыми коэффициентами идеал, порожденный 2 и X , является простым идеалом. Он состоит из всех тех многочленов, постоянный коэффициент которых четный. ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

• В любом кольце R максимальным идеалом является идеал M , который является максимальным в множестве всех собственных идеалов R , т. е. M содержится ровно в двух идеалах R , а именно в самом M и во всем кольце R. Каждый максимальный идеал на самом деле является простым. В области главных идеалов каждый ненулевой простой идеал является максимальным, но, вообще говоря, это неверно. Для UFD Nullstellensatz Гильберта утверждает , что каждый максимальный идеал имеет вид ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle (x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).}$

• Если M — гладкое многообразие , R — кольцо гладких вещественных функций на M , а x — точка в M , то множество всех гладких функций f с f  ( x ) = 0 образует простой идеал (даже максимальный идеал ) в Р.

Непримеры

• Рассмотрим состав следующих двух частных

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}$

Хотя первые два кольца являются доменами целостности (фактически первое является УФД), последнее не является областью целостности, поскольку оно изоморфно

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$

показывая, что идеал не является простым. (См. первое свойство, указанное ниже.) ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]}$

• Другой непример является идеалом, поскольку мы имеем ${\displaystyle (2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]}$

${\displaystyle x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)}$

но ни то, ни другое не является элементами идеала. ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x+1}$

Характеристики

• Идеал I в кольце R (с единицей ) является простым тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R / I является областью целостности . В частности, коммутативное кольцо (с единицей) является областью целостности тогда и только тогда, когда (0) — простой идеал. (Обратите внимание, что нулевое кольцо не имеет простых идеалов, поскольку идеал (0) — это все кольцо.)
• Идеал I является простым тогда и только тогда, когда его теоретико-множественное дополнение мультипликативно замкнуто . ^[3]
• Каждое ненулевое кольцо содержит хотя бы один простой идеал (фактически оно содержит хотя бы один максимальный идеал), что является прямым следствием теоремы Крулла .
• В более общем смысле, если S — любое мультипликативно замкнутое множество в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал R , максимальный относительно того, чтобы быть непересекающимся с S , и, более того, идеал должен быть простым. Это можно далее обобщить на некоммутативные кольца (см. ниже). ^[4] В случае { S } = {1} мы имеем теорему Крулла , и это восстанавливает максимальные идеалы R . Другой прототип m - системы — это набор { x , x2 ^, x3 ^, x4 ^, ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента .
• Прообраз простого идеала при гомоморфизме колец является простым идеалом. Аналогичный факт не всегда верен для максимальных идеалов , что является одной из причин, по которой алгебраические геометры определяют спектр кольца как множество его простых, а не максимальных идеалов; хочется, чтобы гомоморфизм колец давал отображение между их спектрами.
• Множество всех простых идеалов (называемое спектром кольца ) содержит минимальные элементы (называемые минимальными простыми идеалами ). Геометрически они соответствуют неприводимым компонентам спектра.
• Сумма двух простых идеалов не обязательно является простой. В качестве примера рассмотрим кольцо с простыми идеалами P = ( x ² + y ² − 1) и Q = ( x ) (идеалы, порожденные x ² + y ² − 1 и x соответственно). Однако их сумма P + Q = ( x ² + y ² − 1, x ) = ( y ² − 1, x ) не является простой: y ² − 1 = ( y − 1)( y + 1) ∈ P + Q но два его фактора таковыми не являются. Альтернативно, факторкольцо имеет делители нуля , поэтому оно не является областью целостности и, следовательно, P + Q не может быть простым. ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$
• Не всякий идеал, который нельзя разложить на два идеала, является первичным идеалом; например , не может быть факторизован, но не является простым. ${\displaystyle (x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]}$
• В коммутативном кольце R , состоящем не менее чем из двух элементов, если каждый собственный идеал прост, то кольцо является полем. (Если идеал (0) первичен, то кольцо R является областью целостности. Если q — любой ненулевой элемент кольца R и идеал ( q2 ) прост, то он содержит ^q и тогда q обратим . )
• Ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом . В UFD каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент.

Использование

Одно из применений простых идеалов встречается в алгебраической геометрии , где многообразия определяются как нулевые множества идеалов в кольцах полиномов. Оказывается, неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе мы начинаем с произвольного коммутативного кольца и превращаем множество его простых идеалов, также называемое его спектром , в топологическое пространство и, таким образом, можем определить обобщения многообразий, называемых схемами , которые находят приложения не только в геометрии , но и в геометрии. также в теории чисел .

Введение простых идеалов в теорию алгебраических чисел было большим шагом вперед: стало понятно, что важное свойство уникальной факторизации, выраженное в фундаментальной теореме арифметики, справедливо не для каждого кольца алгебраических целых чисел , но замена была найдена, когда Ричард Дедекинд заменили элементы идеалами, а простые элементы — простыми идеалами; см. домен Дедекинда .

Первичные идеалы некоммутативных колец

Понятие простого идеала можно обобщить на некоммутативные кольца, используя коммутативное определение «идеально». Вольфганг Крулл выдвинул эту идею в 1928 году. ^[5] Следующее содержание можно найти в таких текстах, как Гудерл ^[6] и Лам. ^[7] Если R — (возможно, некоммутативное) кольцо и P — собственный идеал кольца R , мы говорим, что P является простым, если для любых двух идеалов A и B кольца R :

• Если произведение идеалов AB содержится в P , то хотя бы один из идеалов A и B содержится в P.

Можно показать, что это определение эквивалентно коммутативному в коммутативных кольцах. Легко проверить, что если идеал некоммутативного кольца R удовлетворяет коммутативному определению простого числа, то он также удовлетворяет некоммутативной версии. Идеал P , удовлетворяющий коммутативному определению простого числа, иногда называют полностью простым идеалом , чтобы отличить его от других просто простых идеалов в кольце. Вполне простые идеалы — это простые идеалы, но обратное неверно. Например, нулевой идеал в кольце матриц размера n  ×  n над полем является простым идеалом, но не является полностью простым.

Это близко к исторической точке зрения на идеалы как на идеальные числа , поскольку для кольца « А содержится в Р » — это еще один способ сказать: « Р делит А », а единичный идеал R представляет единицу. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Эквивалентные формулировки простого идеала P ≠ R включают следующие свойства:

• Для всех a и b в R из ( a )( b ) ⊆ P следует, что a ∈ P или b ∈ P.
• Для любых двух правых идеалов R AB ⊆ P влечет A ⊆ P или B ⊆ P.
• Для любых двух левых идеалов кольца R из AB ⊆ P следует A ⊆ P или B ⊆ P.
• Для любых элементов a и b из R , если aRb ⊆ P , то a ∈ P или b ∈ P.

Первичные идеалы в коммутативных кольцах характеризуются наличием мультипликативно замкнутых дополнений в R , и с небольшими изменениями аналогичную характеристику можно сформулировать для простых идеалов в некоммутативных кольцах. Непустое подмножество S ⊆ R называется m-системой , если для любых a и b из S существует r в R такой, что arb находится в S. ^[8] Следующий пункт может быть добавлен к приведенному выше списку эквивалентных условий:

• Дополнение R ∖ P является m-системой.

Примеры

• Любой примитивный идеал прост.
• Как и в случае с коммутативными кольцами, максимальные идеалы являются простыми, а также простые идеалы содержат минимальные простые идеалы.
• Кольцо является первичным кольцом тогда и только тогда, когда нулевой идеал является простым идеалом, и, более того, кольцо является областью тогда и только тогда, когда нулевой идеал является вполне первичным идеалом.
• Другой факт из коммутативной теории, отраженный в некоммутативной теории, заключается в том, что если A — ненулевой R - модуль , а P — максимальный элемент в частично упорядоченном множестве идеалов -аннуляторов подмодулей A , то P — простое число.

Важные факты

• Лемма о простом избегании . Если R — коммутативное кольцо, A — подкольцо (возможно, без единицы) и I ₁ , ..., I _n — набор идеалов R , в котором не более двух членов не являются простыми, то если A не содержится в любой I _j , он также не содержится в объединении I 1 _, ..., I _n . ^[9] В частности, A может быть идеалом R .
• Если S — любая m-система в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал I в R , максимальный относительно того, чтобы быть непересекающимся с S , и, более того, идеал I должен быть простым (простота I может быть доказана следующим образом: если , то существуют такие элементы, что по максимальному свойству I. Теперь, если , то , что является противоречием). [ ^4] В случае { S } = {1} мы имеем теорему Крулла , и это восстанавливает максимальные идеалы R. Другой прототип m - системы — это набор { x , x2 ^, x3 ^, x4 ^, ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента . ${\displaystyle a,b\not \in I}$ ${\displaystyle s,t\in S}$ ${\displaystyle s\in I+(a),t\in I+(b)}$ ${\displaystyle (a)(b)\subset I}$ ${\displaystyle st\in (I+(a))(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I}$
• Для простого идеала P дополнение R ∖ P обладает еще одним свойством, помимо того, что оно является m-системой. Если xy находится в R ∖ P , то и x , и y должны находиться в R ∖ P , поскольку P — идеал. Множество, содержащее делители своих элементов, называется насыщенным .
• Для коммутативного кольца R существует своего рода обратное к предыдущему утверждению: если S — любое непустое насыщенное и мультипликативно замкнутое подмножество кольца R , то дополнение R ∖ S является объединением простых идеалов кольца R. ^[10]
• Пересечение членов нисходящей цепочки простых идеалов является простым идеалом, а в коммутативном кольце объединение членов восходящей цепи простых идеалов является простым идеалом . С учетом леммы Цорна из этих наблюдений следует, что ЧУУ простых идеалов коммутативного кольца (частично упорядоченного по включению) имеет максимальные и минимальные элементы.

Подключение к максимуму

Простые идеалы часто могут быть созданы как максимальные элементы определенных наборов идеалов. Например:

• Идеал, максимальный относительно пустого пересечения с фиксированной m-системой, является простым.
• Идеал, максимальный среди аннуляторов подмодулей фиксированного R -модуля M, является простым.
• В коммутативном кольце максимальный относительно неглавности идеал является простым. ^[11]
• В коммутативном кольце максимальный относительно несчетно порожденный идеал является простым. ^[12]

Смотрите также

• Радикальный идеал
• Максимальный идеал
• Теорема Дедекинда – Куммера
• Поле остатка

Рекомендации

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х.
3. Рид, Майлз (1996). Бакалавриат по коммутативной алгебре . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-45889-7.
4. Первый курс Лама по некоммутативным кольцам , с. 156
5. Крулль, Вольфганг, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen , Sitzungsberichte Heidelberg. Акад. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl., 3–14.
6. Гудерл, Введение в некоммутативные нётеровы кольца
7. Лам, Первый курс некоммутативных колец
8. Очевидно, что мультипликативно замкнутые множества являются m-системами.
9. Основная алгебра Джейкобсона II , с. 390
10. Капланский Коммутативные кольца , с. 2
11. Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 10.
12. Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 11.

дальнейшее чтение

• Гудерл, КР; Уорфилд, Р.Б.-младший (2004), Введение в некоммутативные нетеровы кольца , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 61 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xxiv+344, doi : 10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, МР  2080008{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, МР  1009787
• Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR  0254021.
• Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, МР  1838439, Збл  0980.16001
• Лам, Тайвань ; Рейес, Мануэль Л. (2008), «Принцип простого идеала в коммутативной алгебре», J. Algebra , 319 (7): 3006–3027, doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN  0021-8693, MR  2397420, Збл  1168.13002
• «Первичный идеал», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]