число Табита

Целое число вида 3 · 2ⁿ - 1 для неотрицательных n

В теории чисел число Сабита , число Сабита ибн Курры или число 321 — это целое число в форме неотрицательного целого числа n . ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$

Первые несколько чисел Сабита:

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 95 , 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (последовательность A055010 в OEIS )

Математик , врач , астроном и переводчик IX века Сабит ибн Курра считается первым, кто изучал эти числа и их связь с дружественными числами . ^[1]

Характеристики

Двоичное представление числа Сабита 3·2 ⁿ −1 имеет длину n +2 цифр и состоит из «10», за которыми следуют n единиц.

Первые несколько чисел Сабита, которые являются простыми числами ( простые числа Сабита или 321 простое число ):

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (последовательность A007505 в OEIS )

По состоянию на октябрь 2023 года ^{[обновлять]}известно 68 простых чисел Табита. Их значения n : ^{[2] [3] [4] [5]}

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 63, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, 18924988, 20928756, 22103376, ... ( последовательность A002235 в OEIS )

Простые числа для 234760 ≤ n ≤ 3136255 были найдены с помощью проекта распределенных вычислений 321. ^[6 ]

В 2008 году PrimeGrid взял на себя поиск простых чисел Табита. ^[7] Он все еще ищет и уже нашел все известные на данный момент простые числа Табита с n ≥ 4235414. ^[4] Он также ищет простые числа вида 3·2 ⁿ +1, такие простые числа называются простыми числами Табита второго рода или 321 простыми числами второго рода .

Первые несколько чисел Сабита второго рода:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (последовательность A181565 в OEIS )

Первые несколько простых чисел Сабита второго рода:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (последовательность A039687 в OEIS )

Их значения n равны:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916 773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, 16408818, ... (последовательность A002253 в OEIS )

Связь с дружественными числами

Когда и n, и n −1 дают простые числа Табита (первого рода), а также является простым числом, пару дружественных чисел можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$

${\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$и ${\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$

Например, n = 2 дает простое число Табита 11, а n −1 = 1 дает простое число Табита 5, и наш третий член равен 71. Затем 2 ² =4, умноженное на 5 и 11, дает 220 , сумма делителей которого составляет 284 , а 4 раза по 71 равно 284, сумма делителей которого составляет 220.

Единственные известные n, удовлетворяющие этим условиям, — это 2, 4 и 7, соответствующие простым числам Табита 11, 47 и 383, заданным как n , простым числам Табита 5, 23 и 191, заданным как n −1, а наши третьи члены — это 71, 1151 и 73727. (Соответствующие дружественные пары — это (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056))

Обобщение

Для целого числа b ≥ 2, сабитское число с основанием b — это число вида ( b +1)· b ⁿ − 1 для неотрицательного целого числа n . Также для целого числа b ≥ 2, сабитское число второго рода с основанием b — это число вида ( b +1)· b ⁿ + 1 для неотрицательного целого числа n .

Числа Уильямса также являются обобщением чисел Табита. Для целого числа b ≥ 2 число Уильямса с основанием b — это число вида ( b −1)· b ⁿ − 1 для неотрицательного целого числа n . ^[8] Также для целого числа b ≥ 2 число Уильямса второго рода с основанием b — это число вида ( b −1)· b ⁿ + 1 для неотрицательного целого числа n .

Для целого числа b ≥ 2 простое число Табита по основанию b — это число Табита по основанию b , которое также является простым. Аналогично, для целого числа b ≥ 2 простое число Вильямса по основанию b — это число Вильямса по основанию b , которое также является простым.

Каждое простое число p является простым числом Табита первого рода с основанием p , простым числом Вильямса первого рода с основанием p +2 и простым числом Вильямса второго рода с основанием p ; если p ≥ 5, то p также является простым числом Табита второго рода с основанием p −2.

Предполагается, что для любого целого числа b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Табита первого рода с основанием b , бесконечно много простых чисел Вильямса первого рода с основанием b и бесконечно много простых чисел Вильямса второго рода с основанием b ; также для любого целого числа b ≥ 2, которое не сравнимо с 1 по модулю 3, существует бесконечно много простых чисел Табита второго рода с основанием b . (Если основание b сравнимо с 1 по модулю 3, то все числа Табита второго рода с основанием b делятся на 3 (и больше 3, так как b ≥ 2), поэтому простых чисел Табита второго рода с основанием b не существует .)

Показатель простых чисел Табита второго рода не может быть сравним с 1 по модулю 3 (кроме самого числа 1), показатель простых чисел Вильямса первого рода не может быть сравним с 4 по модулю 6, а показатель простых чисел Вильямса второго рода не может быть сравним с 1 по модулю 6 (кроме самого числа 1), поскольку соответствующий многочлен для b является приводимым многочленом . (Если n ≡ 1 mod 3, то ( b +1)· b ⁿ + 1 делится на b ² + b + 1; если n ≡ 4 mod 6, то ( b −1)· b ⁿ − 1 делится на b ² − b + 1; и если n ≡ 1 mod 6, то ( b −1)· b ⁿ + 1 делится на b ² − b + 1) В противном случае соответствующий многочлен для b является неприводимым многочленом , поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много оснований b таких, что соответствующее число (для фиксированного показателя степени n, удовлетворяющего условию) является простым. (( b +1)· b ⁿ − 1 неприводимо для всех неотрицательных целых чисел n , поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много оснований b таких, что соответствующее число (при фиксированном показателе n ) является простым)

Числа Пьерпонта являются обобщением чисел Табита второго рода . ${\displaystyle 3^{m}\cdot 2^{n}+1}$ ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$

Ссылки

1. Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Т. 156. Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. стр. 277. ISBN 0-7923-2565-6.
2. "Сколько цифр у этих простых чисел". Архивировано из оригинала 2011-09-27 . Получено 2006-11-14 .
3. «Простые числа PrimePage: 3 · 2 ^ 4235414 - 1» . t5k.org .
4. "Простые числа с 800 000 или более цифрами" . Получено 22 июня 2024 г. .
5. "PrimeGrid Primes ищет 3*2^n - 1". www.primegrid.com .
6. "Статус поиска". Архивировано из оригинала 2011-09-27 . Получено 2006-11-14 .
7. "Биографии PrimePage: 321search".
8. "Список простых чисел Вильямса (первого рода) с основанием 3 до 2049 (для показателя степени ≥ 1)".

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Сабита ибн Курры». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Сабит ибн Курра Прайм». Математический мир .
• Крис Колдуэлл, крупнейшая известная база данных простых чисел на The Prime Pages
• Простое число Табита первого рода с основанием 2: (2+1)·211895718 − 1
• Простое число Табита второго рода с основанием 2: (2+1)·210829346 + 1
• Простое число Уильямса первого рода с основанием 2: (2−1)·274207281 − 1
• Простое число Вильямса первого рода по основанию 3: (3−1)·31360104 − 1
• Простое число Вильямса второго рода по основанию 3: (3−1)·31175232 + 1
• Простое число Вильямса первого рода по основанию 10: (10−1)·10383643 − 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 113: (113−1)·113286643 − 1
• Список простых чисел Уильямса
• Поиск 321 простого числа PrimeGrid, об открытии простого числа Табита первого рода с основанием 2: (2+1)·2 ^6090515 − 1