В абстрактной алгебре , разделе математики , простое кольцо — это ненулевое кольцо , не имеющее двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя. В частности, коммутативное кольцо является простым кольцом тогда и только тогда, когда оно является полем .
Центр простого кольца обязательно является полем. Отсюда следует, что простое кольцо является ассоциативной алгеброй над этим полем. Тогда оно называется простой алгеброй над этим полем.
Несколько ссылок (например, Lang (2002) или Bourbaki (2012)) требуют, чтобы простое кольцо было артиновым слева или справа (или, что эквивалентно, полупростым ). В рамках такой терминологии ненулевое кольцо без нетривиальных двусторонних идеалов называется квазипростым .
Кольца, простые как кольца , но не являющиеся простым модулем над собой, существуют: полное матричное кольцо над полем не имеет нетривиальных двусторонних идеалов (поскольку любой идеал имеет вид с идеалом ), но имеет нетривиальные левые идеалы (например, наборы матриц, которые имеют некоторые фиксированные нулевые столбцы).
Непосредственным примером простого кольца является деление , где каждый ненулевой элемент имеет мультипликативную обратную, например, кватернионы . Также для любого алгебра матриц с записями в делении является простой.
Джозеф Веддерберн доказал, что если кольцо является конечномерной простой алгеброй над полем , то оно изоморфно матричной алгебре над некоторой алгеброй с делением над . В частности, единственными простыми кольцами, которые являются конечномерными алгебрами над действительными числами, являются кольца матриц либо над действительными числами, либо над комплексными числами , либо над кватернионами .
Веддерберн доказал эти результаты в 1907 году в своей докторской диссертации « О гиперкомплексных числах» , которая появилась в Трудах Лондонского математического общества . Его диссертация классифицировала конечномерные простые, а также полупростые алгебры над полями. Простые алгебры являются строительными блоками полупростых алгебр: любая конечномерная полупростая алгебра является декартовым произведением, в смысле алгебр, конечномерных простых алгебр.
Следует быть осторожным с терминологией: не каждое простое кольцо является полупростым кольцом , и не каждая простая алгебра является полупростой алгеброй. Однако каждая конечномерная простая алгебра является полупростой алгеброй, и каждое простое кольцо, являющееся лево- или правоартиновым, является полупростым кольцом.
Примером простого кольца, которое не является полупростым, является алгебра Вейля . Алгебра Вейля также дает пример простой алгебры, которая не является матричной алгеброй над алгеброй с делением над своим центром: алгебра Вейля бесконечномерна, поэтому теорема Веддерберна неприменима.
Результат Веддерберна был позже обобщен на полупростые кольца в теореме Веддерберна–Артина : она гласит, что каждое полупростое кольцо является конечным произведением матричных колец над телами. Как следствие этого обобщения, каждое простое кольцо, которое является лево- или право- артиновым, является матричным кольцом над телом.
Пусть — поле действительных чисел, — поле комплексных чисел, а — кватернионы .
