stringtranslate.com

Простые числа в арифметической прогрессии

В теории чисел простые числа в арифметической прогрессии — это любая последовательность из не менее трех простых чисел , которые являются последовательными членами арифметической прогрессии . Примером может служить последовательность простых чисел (3, 7, 11), которая задается для .

Согласно теореме Грина–Тао , существуют произвольно длинные арифметические прогрессии в последовательности простых чисел. Иногда эта фраза может также использоваться в отношении простых чисел, которые принадлежат арифметической прогрессии, которая также содержит составные числа. Например, ее можно использовать в отношении простых чисел в арифметической прогрессии вида , где a и b являются взаимно простыми числами , которая согласно теореме Дирихле об арифметических прогрессиях содержит бесконечно много простых чисел, а также бесконечно много составных чисел.

Для целого числа k ≥ 3 AP- k (также называемый PAP- k ) — это любая последовательность из k простых чисел в арифметической прогрессии. AP- k можно записать как k простых чисел вида a · n + b , для фиксированных целых чисел a (называемых общей разностью) и b , и k последовательных целых значений n . AP- k обычно выражается с помощью n = 0 до k  − 1. Этого всегда можно добиться, определив b как первое простое число в арифметической прогрессии.

Характеристики

Любая заданная арифметическая прогрессия простых чисел имеет конечную длину. В 2004 году Бен Дж. Грин и Теренс Тао разрешили старую гипотезу , доказав теорему Грина–Тао : Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии. [1] Из этого немедленно следует, что существует бесконечно много AP- k для любого k .

Если AP- k не начинается с простого числа k , то общая разность является кратной простому числу k # = 2·3·5·...· j , где j — наибольшее простое число ≤ k .

Доказательство : Пусть AP- k будет a · n + b для k последовательных значений n . Если простое число p не делит a , то модульная арифметика гласит, что p будет делить каждый p'-й член арифметической прогрессии. (Из HJ Weber, Cor.10 в ``Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets," arXiv:1102.3075[math.NT]. См. также Theor.2.3 в ``Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers," arXiv:1103.0447[math.NT], Global JPAMath 8(2012), в печати.) Если AP является простым числом для k последовательных значений, то a должно делиться на все простые числа p ≤ k .

Это также показывает, что AP с общей разностью a не может содержать больше последовательных простых членов, чем значение наименьшего простого числа, которое не делит a .

Если k — простое число, то AP- k может начинаться с k и иметь общую разность, которая кратна только ( k −1)# вместо k #. (Из HJ Weber, ``Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets," arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Например, AP-3 с простыми числами {3, 5, 7} и общей разностью 2# = 2, или AP-5 с простыми числами {5, 11, 17, 23, 29} и общей разностью 4# = 6. Предполагается, что такие примеры существуют для всех простых чисел k . По состоянию на 2018 год наибольшее простое число, для которого это подтверждено, — k = 19, для этого AP-19, найденного Войцехом Ижиковским в 2013 году:

19 + 4244193265542951705·17#·n, для n = от 0 до 18. [2]

Из широко распространенных гипотез, таких как гипотеза Диксона и некоторые варианты гипотезы о простых k-кортежах , следует , что если p > 2 — наименьшее простое число, не делящее a , то существует бесконечно много AP-( p −1) с общей разностью a . Например, 5 — наименьшее простое число, не делящее 6, поэтому ожидается, что будет бесконечно много AP-4 с общей разностью 6, что называется сексуальной простой четверкой. Когда a = 2, p = 3, это гипотеза о простых числах-близнецах , с «AP-2» из 2 простых чисел ( b , b + 2).

Минимальные простые числа в AP

Мы минимизируем последний член. [3]

Наибольшие известные простые числа в AP

Для простого числа q , q # обозначает изначальное число 2·3·5·7·...· q .

По состоянию на сентябрь 2019 года самым длинным известным AP- k является AP-27. Известно несколько примеров AP-26. Первый обнаруженный был найден 12 апреля 2010 года Бенуа Перишоном на PlayStation 3 с программным обеспечением Ярослава Врублевского и Джеффа Рейнольдса, портированным на PlayStation 3 Брайаном Литтлом, в распределенном проекте PrimeGrid : [2]

43142746595714191 + 23681770·23#· n , для n = от 0 до 25. (23# = 223092870) (последовательность A204189 в OEIS )

К моменту обнаружения первого AP-26 поиск был разделен на 131 436 182 сегмента PrimeGrid [4] и обрабатывался 32/64-битными процессорами, графическими процессорами Nvidia CUDA и микропроцессорами Cell по всему миру.

До этого рекорд принадлежал AP-25, найденному Раананом Чермони и Ярославом Врублевским 17 мая 2008 года: [2]

6171054912832631 + 366384·23#· n , для n = от 0 до 24. (23# = 223092870)

Поиск AP-25 был разделен на сегменты, занимающие около 3 минут на Athlon 64 , и Врублевски сообщил: «Я думаю, что Раанан прошел менее 10 000 000 таких сегментов» [5] (на Athlon 64 это заняло бы около 57 процессорных лет).

Более ранняя запись относится к AP-24, найденному Ярославом Врублевским в одиночку 18 января 2007 года:

468395662504823 + 205619·23#· n , для n = от 0 до 23.

Врублевский сообщил, что для этого он использовал в общей сложности 75 компьютеров: 15 64-битных Athlon , 15 двухъядерных 64-битных Pentium D 805, 30 32-битных Athlon 2500 и 15 Duron 900. [6]

В следующей таблице показаны наибольшие известные AP- k с годом открытия и количеством десятичных цифр в конечном простом числе. Обратите внимание, что наибольший известный AP- k может быть концом AP-( k +1). Некоторые рекордсмены предпочитают сначала вычислить большой набор простых чисел вида c · p #+1 с фиксированным p , а затем искать AP среди значений c , которые дали простое число. Это отражено в выражении для некоторых записей. Выражение можно легко переписать как a · n + b .

Последовательные простые числа в арифметической прогрессии

Последовательные простые числа в арифметической прогрессии относятся как минимум к трем последовательным простым числам, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии. Обратите внимание, что в отличие от AP- k , все остальные числа между членами прогрессии должны быть составными. Например, AP-3 {3, 7, 11} не подходит, потому что 5 также является простым числом.

Для целого числа k ≥ 3 CPAP- k — это k последовательных простых чисел в арифметической прогрессии. Предполагается, что существуют произвольно длинные CPAP. Это означало бы бесконечно много CPAP- k для всех k . Среднее простое число в CPAP-3 называется сбалансированным простым числом . Наибольшее известное по состоянию на 2022 год число имеет 15004 цифры.

Первый известный CPAP-10 был обнаружен в 1998 году Манфредом Топличем в проекте распределенных вычислений CP10, который был организован Харви Дабнером, Тони Форбсом, Ником Лигеросом, Мишелем Мизони и Полом Циммерманном. [7] Этот CPAP-10 имеет наименьшее возможное общее различие, 7# = 210. Единственный другой известный CPAP-10 по состоянию на 2018 год был обнаружен теми же людьми в 2008 году.

Если CPAP-11 существует, то он должен иметь общую разность, которая кратна 11# = 2310. Разница между первым и последним из 11 простых чисел, следовательно, будет кратна 23100. Требование по крайней мере 23090 составных чисел между 11 простыми числами делает поиск CPAP-11 чрезвычайно сложным. Дабнер и Циммерман оценивают, что это будет по крайней мере в 10 12 раз сложнее, чем CPAP-10. [8]

Минимальные последовательные простые числа в AP

Первое появление CPAP- k известно только для k ≤ 6 (последовательность A006560 в OEIS ).

Наибольшие известные последовательные простые числа в AP

В таблице показан крупнейший известный случай k последовательных простых чисел в арифметической прогрессии, для k = от 3 до 10.

x d — это d -значное число, используемое в одной из приведенных выше записей для обеспечения малого множителя в необычно большом количестве требуемых составных чисел между простыми числами. х 106 = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791 х 153 = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x 253  % 379# x 253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727



Смотрите также

Примечания

  1. ^ Грин, Бен ; Тао, Теренс (2008), «Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии», Annals of Mathematics , 167 (2): 481–547, arXiv : math.NT/0404188 , doi :10.4007/annals.2008.167.481, MR  2415379, S2CID  1883951
  2. ^ abcd Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Простые числа в записях арифметической прогрессии. Получено 11 декабря 2023 г.
  3. ^ "A133277 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-11-05 .
  4. ^ Джон, Форум AP26. Получено 20 октября 2013 г.
  5. ^ Врублевский, Ярослав (17.05.2008). "AP25". primenumbers (список рассылки). Архивировано из оригинала 29 мая 2012 г. Получено 17.05.2008 г.
  6. ^ Врублевский, Ярослав (18.01.2007). "AP24". primeform (список рассылки). Архивировано из оригинала 29 мая 2012 г. Получено 17.06.2007 г.
  7. ^ Х. Дубнер, Т. Форбс, Н. Лигерос, М. Мизони, Х. Нельсон, П. Циммерманн, Десять последовательных простых чисел в арифметической прогрессии, Математика вычислений 71 (2002), 1323–1328.
  8. ^ Манфред Топлич, Проект девяти и десяти простых чисел. Получено 17 июня 2007 г.
  9. ^ Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Минимальный и самый маленький из известных CPAP-k. Получено 20.12.2022.
  10. ^ Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Самые большие известные CPAP-аппараты. Получено 20.12.2022.
  11. ^ Крис К. Колдуэлл, Самые большие известные CPAP-аппараты. Получено 28.01.2021.

Ссылки