В физике и математике , в области динамических систем , упругий маятник [1] [2] (также называемый пружинным маятником [3] [4] или качающейся пружиной ) — это физическая система , в которой кусок массы соединен с пружиной . так что результирующее движение содержит элементы как простого маятника , так и одномерной системы пружина-масса . [2] При определенных значениях энергии система демонстрирует все признаки хаотического поведения и чувствительна к начальным условиям . [2] При очень низкой и очень высокой энергии также наблюдается регулярное движение. [5] Движение упругого маятника определяется набором связанных обыкновенных дифференциальных уравнений . Такое поведение предполагает сложное взаимодействие между энергетическими состояниями и динамикой системы .
Анализ и интерпретация Упругий маятник с 2 степенями свободы и графиками в полярных координатах. [6] Система намного сложнее, чем простой маятник, поскольку свойства пружины добавляют системе дополнительное измерение свободы. Например, когда пружина сжимается, меньший радиус заставляет пружину двигаться быстрее из-за сохранения углового момента . Также возможно, что пружина имеет диапазон, охватываемый движением маятника, что делает ее практически нейтральной по отношению к движению маятника.
лагранжиан Пружина имеет оставшуюся длину и может быть растянута на длину . Угол колебания маятника равен . l 0 {\displaystyle l_{0}} x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta }
Лагранжиан – это: L {\displaystyle L}
L = T − V {\displaystyle L=T-V} где – кинетическая энергия , – потенциальная энергия . T {\displaystyle T} V {\displaystyle V}
Закон Гука – это потенциальная энергия самой пружины:
V k = 1 2 k x 2 {\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}} где жесткость пружины. k {\displaystyle k}
С другой стороны, потенциальная энергия гравитации определяется высотой массы. Для данного угла и смещения потенциальная энергия равна:
V g = − g m ( l 0 + x ) cos θ {\displaystyle V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta } где ускорение свободного падения . g {\displaystyle g}
Кинетическая энергия определяется выражением:
T = 1 2 m v 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}} где скорость массы . Что касается других переменных, скорость записывается как комбинация движения вдоль и перпендикулярно пружине: v {\displaystyle v} v {\displaystyle v}
T = 1 2 m ( x ˙ 2 + ( l 0 + x ) 2 θ ˙ 2 ) {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})} Таким образом, лагранжиан становится: [1]
L = T − V k − V g {\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}} L [ x , x ˙ , θ , θ ˙ ] = 1 2 m ( x ˙ 2 + ( l 0 + x ) 2 θ ˙ 2 ) − 1 2 k x 2 + g m ( l 0 + x ) cos θ {\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta } Уравнения движения При двух степенях свободы , для и , уравнения движения можно найти с помощью двух уравнений Эйлера-Лагранжа : x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta }
∂ L ∂ x − d d t ∂ L ∂ x ˙ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0} ∂ L ∂ θ − d d t ∂ L ∂ θ ˙ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0} Для : [1] x {\displaystyle x}
m ( l 0 + x ) θ ˙ 2 − k x + g m cos θ − m x ¨ = 0 {\displaystyle m(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0} x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}}
x ¨ = ( l 0 + x ) θ ˙ 2 − k m x + g cos θ {\displaystyle {\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta } И для : [1] θ {\displaystyle \theta }
− g m ( l 0 + x ) sin θ − m ( l 0 + x ) 2 θ ¨ − 2 m ( l 0 + x ) x ˙ θ ˙ = 0 {\displaystyle -gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0} θ ¨ {\displaystyle {\ddot {\theta }}}
θ ¨ = − g l 0 + x sin θ − 2 x ˙ l 0 + x θ ˙ {\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}} Упругий маятник теперь описывается двумя связанными обыкновенными дифференциальными уравнениями . Их можно решить численно . Кроме того, можно использовать аналитические методы для изучения интригующего явления порядка-хаоса-порядка [7] в этой системе.
Смотрите также Рекомендации ^ abcd Сяо, Цисон; и другие. «Динамика упругого маятника» (PDF) . ^ abc Покорный, Павел (2008). «Условие устойчивости вертикального колебания трехмерного упругого маятника с тяжелой пружиной» (PDF) . Регулярная и хаотическая динамика . 13 (3): 155–165. Бибкод : 2008RCD....13..155P. дои : 10.1134/S1560354708030027. S2CID 56090968. ^ Сивасринивас, Колукула. «Весенний маятник». ↑ Хилл, Кристиан (19 июля 2017 г.). «Весенний маятник». ^ Лия, Ганис. Качающаяся пружина: регулярное и хаотическое движение . ^ Симионеску, Пенсильвания (2014). Инструменты компьютерного построения графиков и моделирования для пользователей AutoCAD (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3 ^ Анураг, Анураг; Басудеб, Мондал; Бхаттачарджи, Джаянта Кумар; Чакраборти, Сагар (2020). «Понимание перехода порядок-хаос-порядок в плоском упругом маятнике». Физика Д. 402 : 132256. Бибкод : 2020PhyD..40232256A. doi :10.1016/j.physd.2019.132256. S2CID 209905775. дальнейшее чтение Покорный, Павел (2008). «Условие устойчивости вертикального колебания трехмерного упругого маятника с тяжелой пружиной» (PDF) . Регулярная и хаотическая динамика . 13 (3): 155–165. Бибкод : 2008RCD....13..155P. дои : 10.1134/S1560354708030027. S2CID 56090968. Покорный, Павел (2009). «Продолжение периодических решений диссипативных и консервативных систем: приложение к упругому маятнику» (PDF) . Математические проблемы в технике . 2009 : 1–15. дои : 10.1155/2009/104547 . Внешние ссылки Головацкий В., Головацкая Ю. (2019) «Колебания упругого маятника» (интерактивная анимация), Wolfram Demonstrations Project, опубликовано 19 февраля 2019 г. Головацкий В., Головацкий И., Головацкая Я., Струк Я. Колебания резонансного упругого маятника. Физика и образовательные технологии, 2023, 1, 10–17, https://doi.org/10.32782/pet-2023-1-2 http://journals.vnu.volyn.ua/index.php/physical/article/ просмотр/1093
![{\displaystyle L[x, {\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2 }+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0} +x)\cos\тета }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51844c7831278ecdfb989c51b95d780d91a0fa1f)
