Прямая сумма групп

Способы построения группы из двух подгрупп

В математике группа G называется прямой суммой ^{[1] [2]} двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением , если она порождается подгруппами. В абстрактной алгебре этот метод построения групп может быть обобщен на прямые суммы векторных пространств , модулей и других структур; см. статью прямая сумма модулей для получения дополнительной информации. Группа, которая может быть выражена как прямая сумма нетривиальных подгрупп, называется разложимой , а если группа не может быть выражена как такая прямая сумма, то она называется неразложимой .

Определение

Группа G называется прямой суммой ^{[1] [2]} двух подгрупп H ₁ и H ₂ , если

• каждая H ₁ и H ₂ являются нормальными подгруппами G ,
• подгруппы H ₁ и H ₂ имеют тривиальное пересечение (т.е. имеют только единичный элемент группы G в качестве общего), ${\displaystyle e}$
• G = ⟨ H ₁ , H ₂ ⟩; другими словами, G порождается подгруппами H ₁ и H ₂ .

В более общем смысле, G называется прямой суммой конечного множества подгрупп { H _i }, если

• каждая H _i является нормальной подгруппой группы G ,
• каждый H _i имеет тривиальное пересечение с подгруппой ⟨{ H _j  : j ≠ i }⟩ ,
• G = ⟨{ H _i }⟩; другими словами, G порождается подгруппами { H _i }.

Если G — прямая сумма подгрупп H и K, то мы пишем G = H + K , а если G — прямая сумма набора подгрупп { H _i }, то мы часто пишем G = Σ H _i . Грубо говоря, прямая сумма изоморфна слабому прямому произведению подгрупп.

Характеристики

Если G = H + K , то можно доказать, что:

• для всех h из H , k из K , имеем, что h ∗ k = k ∗ h
• для всех g из G существует единственный h из H , k из K, такой что g = h ∗ k
• Происходит сокращение суммы в частном; так что ( H + K )/ K изоморфно H

Приведенные выше утверждения можно обобщить на случай G = Σ H _i , где { H _i } — конечное множество подгрупп:

• если i ≠ j , то для всех h _i из H _i , h _j из H _j , имеем, что h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i
• для каждого g в G существует уникальный набор элементов h _i в H _i такой, что

г = ч ₁ ∗ ч ₂ ∗ ... ∗ ч _i ∗ ... ∗ ч _n

• Происходит сокращение суммы в частном; так что ((Σ H _i ) + K )/ K изоморфно Σ H _i .

Обратите внимание на сходство с прямым произведением , где каждый g может быть выражен однозначно как

г = ( _h1 , h2 , _... , hi _, ..., _hn ) .

Так как h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i для всех i ≠ j , то отсюда следует, что умножение элементов в прямой сумме изоморфно умножению соответствующих элементов в прямом произведении; таким образом, для конечных множеств подгрупп Σ H _i изоморфно прямому произведению ×{ H _i }.

Прямое слагаемое

Для данной группы мы говорим, что подгруппа является прямым слагаемым , если существует другая подгруппа такая, что . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H+K}$

В абелевых группах, если — делимая подгруппа группы , то — прямое слагаемое группы . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Примеры

• Если взять , то ясно, что это прямое произведение подгрупп . ${\textstyle G=\prod _{i\in I}H_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}H_{i}}$

• Если — делимая подгруппа абелевой группы , то существует другая подгруппа такая, что . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=K+H}$
• Если также имеет структуру векторного пространства, то его можно записать в виде прямой суммы и другого подпространства , которое будет изоморфно частному . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G/K}$

Эквивалентность разложений на прямые суммы

При разложении конечной группы в прямую сумму неразложимых подгрупп вложение подгрупп неоднозначно. Например, в группе Клейна имеем, что ${\displaystyle V_{4}\cong C_{2}\times C_{2}}$

${\displaystyle V_{4}=\langle (0,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle ,}$и

${\displaystyle V_{4}=\langle (1,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle .}$

Однако теорема Ремака-Крулля-Шмидта утверждает, что если задана конечная группа G = Σ A _i = Σ B _j , где каждое A _i и каждое B _j нетривиально и неразложимо, то эти две суммы имеют равные члены с точностью до переупорядочения и изоморфизма.

Теорема Ремака-Крулля-Шмидта неверна для бесконечных групп; поэтому в случае бесконечного G = H + K = L + M , даже когда все подгруппы нетривиальны и неразложимы, мы не можем заключить, что H изоморфна либо L , либо M.

Обобщение на суммы по бесконечным множествам

Чтобы описать вышеуказанные свойства в случае, когда G является прямой суммой бесконечного (возможно, несчетного) множества подгрупп, требуется больше внимания.

Если g — элемент декартова произведения Π{ H _i } множества групп, то пусть g _i будет i-м элементом g в произведении. Внешняя прямая сумма множества групп { H _i } (записывается как Σ _E { H _i }) — это подмножество Π{ H _i }, где для каждого элемента g из Σ _E { H _i } g _i является тождеством для всех, кроме конечного числа g _i (эквивалентно, только конечное число g _i не являются тождеством). Групповая операция во внешней прямой сумме — поточечное умножение, как в обычном прямом произведении. ${\displaystyle e_{H_{i}}}$

Это подмножество действительно образует группу, и для конечного множества групп { H _i } внешняя прямая сумма равна прямому произведению.

Если G = Σ H _i , то G изоморфен Σ _E { H _i }. Таким образом, в некотором смысле прямая сумма является "внутренней" внешней прямой суммой. Для каждого элемента g в G существует единственное конечное множество S и единственное множество { h _i ∈ H _i  : i ∈ S } такое, что g = Π { h _i  : i in S }.

Смотрите также

• Прямая сумма
• Побочный продукт
• Бесплатный продукт
• Прямая сумма топологических групп

Ссылки

1. Гомология. Saunders MacLane. Springer, Берлин; Academic Press, Нью-Йорк, 1963.
2. Ласло Фукс. Бесконечные абелевы группы