Мера продвижения вперед

«Продвинутый вперед» из одного измеримого пространства в другое

В теории меры мера проталкивания вперед (также известная как мера проталкивания вперед , проталкивания вперед или мера изображения ) получается путем переноса («проталкивания вперед») меры из одного измеримого пространства в другое с использованием измеримой функции .

Определение

При наличии измеримых пространств и , измеримого отображения и меры , продвижение вперед определяется как мера, заданная выражением ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$для ${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

Это определение применяется mutatis mutandis для знаковой или комплексной меры . Мера pushforward также обозначается как , , , или . ${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle f\sharp \mu }$ ${\displaystyle f\#\mu }$

Характеристики

Изменение формулы переменной

Теорема: ^[1] Измеримая функция g на X ₂ интегрируема относительно меры прямого проецирования f _∗ ( μ ) тогда и только тогда, когда композиция интегрируема относительно меры μ . В этом случае интегралы совпадают, т.е. ${\displaystyle g\circ f}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .}$

Обратите внимание, что в предыдущей формуле . ${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$

Функториальность

Продвижения мер позволяют индуцировать из функции между измеримыми пространствами функцию между пространствами мер . Как и многие индуцированные отображения, эта конструкция имеет структуру функтора на категории измеримых пространств . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M(X)\to M(Y)}$

Для частного случая вероятностных мер это свойство равносильно функториальности монады Жири .

Примеры и приложения

• Естественная « мера Лебега » на единичной окружности S ¹ (здесь рассматриваемая как подмножество комплексной плоскости C ) может быть определена с помощью конструкции прямого выталкивания и меры Лебега λ на действительной прямой R . Пусть λ также обозначает ограничение меры Лебега на интервал [0, 2 π ) и пусть f  : [0, 2 π ) →  S ¹ будет естественной биекцией, определяемой соотношением f ( t ) = exp( i  t ). Тогда естественная «мера Лебега» на S ¹ — это мера прямого выталкивания f _∗ ( λ ). Мера f _∗ ( λ ) может также называться « мерой длины дуги » или «мерой угла», поскольку f _∗ ( λ )-мера дуги в S ¹ — это в точности ее длина дуги (или, что эквивалентно, угол, который она стягивает в центре окружности.)
• Предыдущий пример прекрасно расширяется, чтобы дать естественную "меру Лебега" на n -мерном торе T ⁿ . Предыдущий пример является частным случаем, поскольку S ¹  =  T ¹ . Эта мера Лебега на T ⁿ является, с точностью до нормализации, мерой Хаара для компактной связной группы Ли T ⁿ .
• Гауссовские меры на бесконечномерных векторных пространствах определяются с помощью прямого образа и стандартной гауссовой меры на вещественной прямой: борелевская мера γ на сепарабельном банаховом пространстве X называется гауссовской, если прямой образ γ любым ненулевым линейным функционалом в непрерывном сопряженном к X пространстве является гауссовой мерой на R.
• Рассмотрим измеримую функцию f  : X → X и композицию f с собой n раз :

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

Эта итерированная функция образует динамическую систему . При изучении таких систем часто бывает интересно найти меру μ на X , которую отображение f оставляет неизменной, так называемую инвариантную меру , т.е. такую, для которой f _∗ ( μ ) =  μ .

• Можно также рассмотреть квазиинвариантные меры для такой динамической системы: мера на называется квазиинвариантной относительно , ​​если проталкивание по просто эквивалентно исходной мере μ , не обязательно равно ей. Пара мер на одном и том же пространстве эквивалентна тогда и только тогда, когда , поэтому является квазиинвариантной относительно , ​​если ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}$

• С помощью этой конструкции можно получить множество естественных распределений вероятностей, таких как распределение хи .

• Случайные величины вызывают меры pushforward. Они отображают вероятностное пространство в пространство кодоменов и наделяют это пространство вероятностной мерой, определяемой pushforward. Более того, поскольку случайные величины являются функциями (и, следовательно, полными функциями), обратным образом всей кодоменов является вся область, а мера всей области равна 1, поэтому мера всей кодоменов равна 1. Это означает, что случайные величины могут быть составлены до бесконечности , и они всегда будут оставаться случайными величинами и наделять пространства кодоменов вероятностными мерами.

Обобщение

В общем случае любая измеримая функция может быть продвинута вперед. Продвинутая функция затем становится линейным оператором , известным как оператор переноса или оператор Фробениуса–Перрона . В конечных пространствах этот оператор обычно удовлетворяет требованиям теоремы Фробениуса–Перрона , а максимальное собственное значение оператора соответствует инвариантной мере.

Сопряженным к прямому переносу является обратный перенос ; как оператор в пространствах функций на измеримых пространствах, это оператор композиции или оператор Купмана .

Смотрите также

• Динамическая система, сохраняющая меру
• Нормализация потока
• Оптимальный транспорт

Примечания

1. Разделы 3.6–3.7 в Богачеве, 2007 г.

Ссылки

• Богачев, Владимир И. (2007), Теория меры , Берлин: Springer Verlag , ISBN 9783540345138
• Тешль, Джеральд (2015), Темы в реальном и функциональном анализе