Прямоугольник

Четырехугольник с четырьмя прямыми углами

В евклидовой плоской геометрии прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами . Его также можно определить как: равноугольный четырехугольник, поскольку равноугольность означает, что все его углы равны (360°/4 = 90°); или параллелограмм , содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины является квадратом . Термин «продолговатый» иногда используется для обозначения неквадратного прямоугольника . ^{[1] [2] [3]} Прямоугольник с вершинами ABCD будет обозначаться как ABCD .  

Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus , которое представляет собой комбинацию слов «rectus» (прилагательное «правый», «собственный») и «angulus» ( «угол »).

Скрещенный прямоугольник — это скрещенный (самопересекающийся) четырехугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника и двух диагоналей ^[4] (следовательно, только две стороны параллельны). Это частный случай антипараллелограмма , и его углы не являются прямыми и не все равны, хотя противоположные углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая , эллиптическая и гиперболическая , имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами, равными по длине, и равными углами, которые не являются прямыми.

Прямоугольники используются во многих задачах мозаики, таких как мозаика плоскости прямоугольниками или мозаика прямоугольника многоугольниками .

Характеристики

Выпуклый четырехугольник является прямоугольником тогда и только тогда, когда он соответствует любому из следующих условий: ^{[5] [6]}

• параллелограмм , у которого хотя бы один прямой угол
• параллелограмм с диагоналями одинаковой длины
• параллелограмм ABCD , в котором треугольники ABD и DCA равны .
• равноугольный четырехугольник
• четырехугольник с четырьмя прямыми углами
• четырехугольник, в котором две диагонали равны по длине и делят друг друга пополам ^[7]
• Выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна . ^{[8] : сн.1} ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$
• выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна ^[8] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.}$

Классификация

Прямоугольник — это частный случай параллелограмма и трапеции . Квадрат — это частный случай прямоугольника.

Традиционная иерархия

Прямоугольник — частный случай параллелограмма, у которого каждая пара смежных сторон перпендикулярна .

Параллелограмм — это частный случай трапеции (известной в Северной Америке как трапеция ), у которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .

Трапеция – это выпуклый четырехугольник , у которого есть хотя бы одна пара параллельных противоположных сторон.

Выпуклый четырехугольник – это

• Просто : граница не пересекает сама себя.
• В форме звезды : весь интерьер виден из одной точки, не пересекая края.

Альтернативная иерархия

Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник, оси симметрии которого проходят через каждую пару противоположных сторон. ^[9] Это определение включает как прямоугольные, так и скрещенные прямоугольники. У каждого есть ось симметрии, параллельная паре противоположных сторон и равноудаленная от них, а другая является серединным перпендикуляром этих сторон, но в случае скрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии ни для одной из сторон. что оно делит пополам.

Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к более широкому классу четырехугольников, у которых хотя бы одна ось симметрии проходит через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники включают равнобедренную трапецию и скрещенную равнобедренную трапецию (перекрещенные четырехугольники с тем же расположением вершин , что и равнобедренная трапеция).

Характеристики

Симметрия

Прямоугольник является циклическим : все углы лежат на одной окружности .

Он равноугольный : все его угловые углы равны (каждый по 90 градусов ).

Он изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат на одной и той же орбите симметрии .

Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию второго порядка (до 180°).

Двойственность прямоугольника и ромба

Двойной многоугольник прямоугольника представляет собой ромб , как показано в таблице ниже. ^[10]

• Фигура, образованная соединением по порядку середин сторон прямоугольника, является ромбом и наоборот.

Разнообразный

Прямоугольник – это прямолинейный многоугольник : его стороны сходятся под прямым углом.

Прямоугольник в плоскости может быть определен пятью независимыми степенями свободы, состоящими, например, из трех для положения (включая две для перемещения и одну для вращения ), одну для формы ( соотношение сторон ) и одну для общего размера (площади). .

Два прямоугольника, ни один из которых не помещается внутри другого, называются несравнимыми .

Формулы

Формула периметра прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.

Если прямоугольник имеет длину и ширину ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle w}$

• у него есть площадь , ${\displaystyle A=\ell w\,}$
• у него есть периметр , ${\displaystyle P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,}$
• каждая диагональ имеет длину , ${\displaystyle d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}}$
• и когда прямоугольник является квадратом . ${\displaystyle \ell =w\,}$

Теоремы

Изопериметрическая теорема для прямоугольников утверждает, что среди всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат .

Середины сторон любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями образуют прямоугольник.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Японская теорема для вписанных четырехугольников ^[11] утверждает, что центры четырех треугольников, определяемые вершинами вписанного четырехугольника, взятыми по три за раз, образуют прямоугольник.

Теорема о британском флаге утверждает, что с вершинами, обозначенными A , B , C и D , для любой точки P на одной плоскости прямоугольника: ^[12]

${\displaystyle \displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.}$

Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C так, что гомотетическая копия R тела r описана вокруг C и положительный коэффициент гомотетии не превышает 2 и . ^[13] ${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$

Прямоугольник со сторонами a, b (a<b) сложен по линии, проходящей через центр прямоугольника, чтобы получить минимальную площадь пересекающихся пересечений: единственный прямоугольник существует для двух решений одинаковой площади, но разной формы - треугольник и пятиугольник (уникальное соотношение сторон: ). ^[14] ${\displaystyle \displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...}$

Перекрещенные прямоугольники

Перекрещенный четырехугольник (самопересекающийся) состоит из двух противоположных сторон несамопересекающегося четырехугольника и двух диагоналей. Точно так же скрещенный прямоугольник — это скрещенный четырехугольник , который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника и двух диагоналей. Он имеет то же расположение вершин , что и прямоугольник. Он выглядит как два одинаковых треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Перекрещенный четырехугольник иногда сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой , иногда называют «угловой восьмеркой». Трехмерный прямоугольный проволочный каркас , скрученный, может принять форму галстука-бабочки .

Внутренняя часть скрещенного прямоугольника может иметь плотность полигонов ±1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации обмотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Перекрещенный прямоугольник можно считать равноугольным, если разрешены повороты направо и налево. Как и в любом скрещенном четырехугольнике , сумма его внутренних углов равна 720°, что позволяет внутренним углам появляться снаружи и превышать 180°. ^[15]

Прямоугольник и скрещенный прямоугольник являются четырехугольниками со следующими общими свойствами:

• Противоположные стороны равны по длине.
• Обе диагонали равны по длине.
• Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию второго порядка (до 180°).

Другие прямоугольники

Прямоугольник седла имеет 4 неплоские вершины, чередующиеся с вершинами прямоугольного кубоида , с уникальной минимальной внутренней поверхностью, определяемой как линейная комбинация четырех вершин, создающая поверхность седла. В этом примере показаны 4 синих края прямоугольника и две зеленые диагонали, причем все они являются диагональю прямоугольных граней кубоида.

В сферической геометрии сферический прямоугольник — это фигура, четыре края которой представляют собой большие дуги окружностей, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90°. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой объемной геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии эллиптический прямоугольник — это фигура на эллиптической плоскости, четыре края которой представляют собой эллиптические дуги, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

В гиперболической геометрии гиперболический прямоугольник — это фигура на гиперболической плоскости, четыре края которой представляют собой гиперболические дуги, пересекающиеся под равными углами менее 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

Мозаика

Прямоугольник используется во многих периодических узорах мозаики , например, в кирпичной кладке:

Квадратные, идеальные и другие плиточные прямоугольники

Совершенный прямоугольник девятого порядка.

Правильный квадрат низшего порядка (1) и три наименьших идеальных квадрата (2–4) – все это простые квадраты.

Прямоугольник, замощенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется «квадратным», «прямоугольным» или «треугольным» (или «треугольным») прямоугольником соответственно. Плиточный прямоугольник является идеальным ^{[16] [17]} , если плитки одинаковы и ограничены по количеству, и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки имеют одинаковый размер, мозаика несовершенна . В идеальном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными . Базу данных всех известных идеальных прямоугольников, идеальных квадратов и связанных с ними фигур можно найти на сайте Squareing.net. Наименьшее количество квадратов, необходимое для идеального замощения прямоугольника, составляет 9 ^[18] , а наименьшее число, необходимое для идеального замощения квадрата , составляет 21, найденное в 1978 году с помощью компьютерного поиска. ^[19]

Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда его можно замостить конечным числом неравных квадратов. ^{[16] [20]} То же самое верно, если плитки представляют собой неравные равнобедренные прямоугольные треугольники.

Наибольшее внимание привлекли мозаики прямоугольников другими плитками, состоящие из конгруэнтных непрямоугольных полимино , допускающих все вращения и отражения. Существуют также замощения конгруэнтными полиаболами .

Юникод

 U+25AC ▬ ЧЕРНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AE ▮ ЧЕРНЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AF ▯ БЕЛЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

Смотрите также

• Кубовидный
• Золотой прямоугольник
• Гиперпрямоугольник
• Суперэллипс (включает прямоугольник с закругленными углами)

Рекомендации

1. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 г. Проверено 20 июня 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
2. Определение продолговатого. Mathsisfun.com. Проверено 13 ноября 2011 г.
3. Продолговатый - Геометрия - Математический словарь. Icoachmath.com. Проверено 13 ноября 2011 г.
4. Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . Королевское общество. 246 (916): 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C. дои : 10.1098/rsta.1954.0003. ISSN  0080-4614. JSTOR  91532. MR  0062446. S2CID  202575183.
5. Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 34–36 ISBN 1-59311-695-0 . 
6. Оуэн Байер; Феликс Лазебник; Дейдре Л. Смелцер (19 августа 2010 г.). Методы евклидовой геометрии. МАА. стр. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2. Проверено 13 ноября 2011 г.
7. Джерард Венема, «Изучение продвинутой евклидовой геометрии с помощью GeoGebra», MAA, 2013, стр. 56.
8. Йозефссон Мартин (2013). «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 17–21.
9. Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. в Wayback Machine (отрывок из книги Де Вильерс, М. 1996. Некоторые приключения в евклидовой геометрии. Университет Дурбан-Вествилля).
10. де Вильерс, Майкл, «Обобщение Ван Обеля с использованием двойственности», Mathematics Magazine 73 (4), октябрь 2000 г., стр. 303–307.
11. Циклический четырехугольник Incenter-Rectangle с интерактивной анимацией, иллюстрирующей прямоугольник, который становится «перекрещенным прямоугольником», что дает хороший повод рассматривать «перекрещенный прямоугольник» как тип прямоугольника.
12. Холл, Леон М. и Роберт П. Роу (1998). «Неожиданный максимум в семействе прямоугольников» (PDF) . Журнал «Математика» . 71 (4): 285–291. дои : 10.1080/0025570X.1998.11996653. JSTOR  2690700.
13. Лассак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Геометрии посвященные . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495. S2CID  119508642.
14. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A366185 (Десятичное разложение действительного корня уравнения пятой степени x 5 + 3 x 4 + 4 x 3 + x - 1 = 0 {\displaystyle \ x^{5}+3x^{4}+4x^{3 }+x-1=0} )". Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
15. Звезды: Второй взгляд. (PDF). Проверено 13 ноября 2011 г.
16. RL Брукс; КЭБ Смит; А. Х. Стоун и В. Т. Тутт (1940). «Разрезание прямоугольников на квадраты». Герцог Мат. Дж. 7 (1): 312–340. дои : 10.1215/S0012-7094-40-00718-9.
17. Джей Ди Скиннер II; CAB Smith & WT Tutte (ноябрь 2000 г.). «О разрезании прямоугольников на прямоугольные равнобедренные треугольники». Журнал комбинаторной теории, серия B. 80 (2): 277–319. дои : 10.1006/jctb.2000.1987 .
18. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A219766 (Количество неквадратных простых прямоугольников с идеальными квадратами порядка n с точностью до симметрии)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
19. «Квадраты; совершенные простые, совершенные сложные и несовершенные простые» . www.squaring.net . Проверено 26 сентября 2021 г.
20. Р. Спрэг (1940). «Ũber die Zerlegung von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate». Журнал для королевы и математики . 1940 (182): 60–64. дои : 10.1515/crll.1940.182.60. S2CID  118088887.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольник». Математический мир .
• Определение и свойства прямоугольника с интерактивной анимацией.
• Площадь прямоугольника с интерактивной анимацией.