Прямоугольный потенциальный барьер

Область, где потенциал имеет локальный максимум

В квантовой механике прямоугольный (или, иногда, квадратный ) потенциальный барьер — это стандартная одномерная задача, демонстрирующая явления волнового туннелирования (также называемого «квантовым туннелированием») и волнового отражения. Задача состоит в решении одномерного, независимого от времени уравнения Шредингера для частицы, сталкивающейся с прямоугольным потенциальным энергетическим барьером. Обычно предполагается, как здесь, что свободная частица сталкивается с барьером слева.

Хотя классически частица, ведущая себя как точечная масса , будет отражаться, если ее энергия меньше , частица, фактически ведущая себя как волна материи, имеет ненулевую вероятность проникнуть через барьер и продолжить свое движение как волна на другой стороне. В классической волновой физике этот эффект известен как затухающая волновая связь . Вероятность того, что частица пройдет через барьер, задается коэффициентом пропускания , тогда как вероятность того, что она отразится, задается коэффициентом отражения . Волновое уравнение Шредингера позволяет вычислить эти коэффициенты. ${\displaystyle V_{0}}$

Расчет

Рассеяние на конечном потенциальном барьере высотой . Указаны амплитуды и направления левых и правых движущихся волн. Красным цветом обозначены волны, используемые для вывода амплитуды отражения и пропускания. для этой иллюстрации. ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle E>V_{0}}$

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции имеет вид: где — гамильтониан , — (приведенная) постоянная Планка , — масса , энергия частицы, — барьерный потенциал с высотой и шириной . — ступенчатая функция Хевисайда , т.е. ${\displaystyle \psi (x)}$ $${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (x-a)]}$$ ${\displaystyle V_{0}>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$ $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}}$$

Барьер расположен между и . Барьер можно сместить в любое положение без изменения результатов. Первый член в гамильтониане — это кинетическая энергия. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

Барьер делит пространство на три части ( ). В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица квазисвободна, и решение уравнения Шредингера можно записать в виде суперпозиции левых и правых движущихся волн (см. свободная частица ). Если где волновые числа связаны с энергией через ${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$ ${\displaystyle E>V_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

Индекс у коэффициентов и обозначает направление вектора скорости. Обратите внимание, что если энергия частицы ниже высоты барьера, становится мнимой, а волновая функция экспоненциально затухает внутри барьера. Тем не менее, мы сохраняем обозначения, хотя волны в этом случае больше не распространяются. Здесь мы предположили . Случай рассматривается ниже. ${\displaystyle r/l}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle r/l}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$ ${\displaystyle E=V_{0}}$

Коэффициенты должны быть найдены из граничных условий волновой функции при и . Волновая функция и ее производная должны быть непрерывны всюду, поэтому ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты:

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$ $${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$ $${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$ $${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

Передача и отражение

В этом месте поучительно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией, большей высоты барьера, всегда пройдет через барьер, а классическая частица, падающая на барьер, всегда отразится. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle E<V_{0}}$

Для изучения квантового случая рассмотрим следующую ситуацию: частица падает на барьер с левой стороны ( ). ${\displaystyle A_{r}}$ Она может быть отражена ( ) ${\displaystyle A_{l}}$ или пропущена ( ). ${\displaystyle C_{r}}$

Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания для падения слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения (входящая частица), (отражение), (нет входящей частицы справа) и (пропускание). Затем мы исключаем коэффициенты из уравнения и решаем для и . ${\displaystyle A_{r}=1}$ ${\displaystyle A_{l}=r}$ ${\displaystyle C_{l}=0}$ ${\displaystyle C_{r}=t}$ ${\displaystyle B_{l},B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$

Результат:

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$ $${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. Обратите внимание, что эти выражения справедливы для любой энергии , . Если , то , так что в обоих этих выражениях есть сингулярность. ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$ ${\displaystyle E=V_{0}}$ ${\displaystyle k_{1}=0}$

Анализ полученных выражений

Э

Вероятность прохождения через конечный потенциальный барьер для = 1, 3 и 7. Пунктир: классический результат. Сплошная линия: квантово-механический результат. ${\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }$

Удивительный результат заключается в том, что для энергий, меньших высоты барьера, существует ненулевая вероятность ${\displaystyle E<V_{0}}$ $${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$$

для частицы, прошедшей через барьер, с . Этот эффект, отличающийся от классического случая, называется квантовым туннелированием . Прохождение экспоненциально подавляется с шириной барьера, что можно понять из функциональной формы волновой функции: Вне барьера он колеблется с волновым вектором , тогда как внутри барьера он экспоненциально затухает на расстоянии . Если барьер намного шире этой длины распада, левая и правая части практически независимы, и туннелирование, как следствие, подавляется. ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle 1/k_{1}}$

Э>В0

В этом случае, где . $${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},}$$ ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

Не менее удивительным является то, что при энергиях, больших высоты барьера, частица может отражаться от барьера с ненулевой вероятностью. ${\displaystyle E>V_{0}}$ $${\displaystyle R=|r|^{2}=1-T.}$$

Вероятности пропускания и отражения фактически колеблются с . Классический результат идеального пропускания без какого-либо отражения ( , ) воспроизводится не только в пределе высокой энергии, но также и когда энергия и ширина барьера удовлетворяют , где (см. пики около и 1,8 на рисунке выше). Обратите внимание, что вероятности и амплитуды, как записано, относятся к любой энергии (выше/ниже) высоты барьера. ${\displaystyle k_{1}a}$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle E\gg V_{0}}$ ${\displaystyle k_{1}a=n\pi }$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle E/V_{0}=1.2}$

Э=В0

Вероятность передачи при этом равна ^[1] ${\displaystyle E=V_{0}}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.}$$

Это выражение можно получить, вычислив коэффициент передачи из констант, указанных выше, как и для других случаев, или взяв предел как приближается к . Для этой цели соотношение ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle x={\frac {E}{V_{0}}}}$$

определено, что используется в функции : ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}}$$

В последнем уравнении оно определяется следующим образом: ${\displaystyle v_{0}}$

$${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$$

Эти определения можно подставить в выражение, для которого было получено для случая . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}}$$

Теперь, при вычислении предела при x, стремящемся к 1 (используя правило Лопиталя ), ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}\cosh(0)=v_{0}}$

также можно получить предел при приближении к 1: ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}}$

Подставив приведенное выше выражение в оценочное значение предела, можно успешно воспроизвести приведенное выше выражение для T. ${\displaystyle v_{0}}$

Замечания и заявления

Представленный выше расчет может на первый взгляд показаться нереалистичным и вряд ли полезным. Однако он оказался подходящей моделью для множества реальных систем. Одним из таких примеров являются интерфейсы между двумя проводящими материалами. В основной массе материалов движение электронов является квазисвободным и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой . Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не являются идеальными по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой затем может быть смоделирован барьерным потенциалом, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток. ${\displaystyle m}$

Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер обусловлен зазором между кончиком СТМ и лежащим под ним объектом. Поскольку туннельный ток экспоненциально зависит от ширины барьера, это устройство чрезвычайно чувствительно к изменениям высоты исследуемого образца.

Вышеуказанная модель является одномерной, в то время как пространство является трехмерным. Следует решить уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только вдоль одного направления координат и являются трансляционно инвариантными вдоль других; они являются разделимыми . Уравнение Шредингера тогда может быть сведено к случаю, рассмотренному здесь, с помощью анзаца для волновой функции типа: . ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$

Для другой, связанной модели барьера, см. Дельта-потенциальный барьер (QM) , который можно рассматривать как частный случай конечного потенциального барьера. Все результаты из этой статьи немедленно применяются к дельта-потенциальному барьеру, принимая пределы при сохранении константы. ${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$ ${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$

Смотрите также

• Морзе/Дальнодействующий потенциал
• Шаг потенциала
• Конечная потенциальная яма

Ссылки

1. McQuarrie DA, Simon JD (1997). Физическая химия - молекулярный подход (1-е изд.). University Science Books. ISBN 978-0935702996.

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк; и др. (1996). Квантовая механика . перевод с французского Сьюзен Рид Хемли. Wiley-Interscience: Wiley. стр. 231–233. ISBN 978-0-471-56952-7.