Псевдоевклидово пространство

В математике и теоретической физике псевдоевклидово пространство сигнатуры $(k, nk)$ — это конечномерное вещественное n -пространство вместе с невырожденной квадратичной формой $q . Такая квадратичная форма$ $может$ быть применена при соответствующем выборе базиса $(e1, \dots, en) к$ вектору $x = x1 e1 + \dots + xn en$ , $что$ даёт $скалярный$ квадрат вектора $x$ . ^[^1] $:$ $3$ $q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)$

Для евклидовых пространств k $= n,$ что подразумевает, что квадратичная форма положительно определена . ^[2] Когда $0 < k < n$ , то $q$ является изотропной квадратичной формой . Обратите внимание, что если $1 \leq i \leq k < j \leq n$ , то $q (e i + e j) = 0$ , так что $e i + e j$ является нулевым вектором . В псевдоевклидовом пространстве с $k < n$ , в отличие от евклидова пространства, существуют векторы с отрицательным скалярным квадратом.

Как и в случае с термином «евклидово пространство» , термин «псевдоевклидово пространство» может использоваться для обозначения аффинного пространства или векторного пространства в зависимости от автора, при этом последнее альтернативно именуется псевдоевклидовым векторным пространством ^[3] (см. различие точки и вектора ).

Геометрия

Геометрия псевдоевклидова пространства является последовательной, несмотря на то, что некоторые свойства евклидова пространства неприменимы, в частности, то, что это не метрическое пространство, как объясняется ниже. Аффинная структура неизменна, и, следовательно, также понятия линии , плоскости и, в общем, аффинного подпространства ( плоского ), а также отрезков линии .

Положительные, нулевые и отрицательные скалярные квадраты

$n = 3$ , $k равно 1$ $или$ 2 в зависимости от выбора знака q

Нулевой вектор — это вектор, для которого квадратичная форма равна нулю. В отличие от евклидова пространства, такой вектор может быть ненулевым, и в этом случае он является самоортогональным. Если квадратичная форма неопределенна, псевдоевклидово пространство имеет линейный конус нулевых векторов, заданный как ${x | q (x) = 0 }$ . Когда псевдоевклидово пространство предоставляет модель для пространства-времени (см. ниже), нулевой конус называется световым конусом начала координат.

Нулевой конус разделяет два открытых множества , ^[4] соответственно, для которых $q (x) > 0$ и $q (x) < 0.$ Если $k \geq 2$ , то множество векторов, для которых $q (x) > 0,$ связно . Если $k = 1$ , то оно состоит из двух непересекающихся частей, одна с $x 1 > 0$ , а другая с $x 1 < 0.$ Аналогично, если $n - k \geq 2$ , то множество векторов, для которых $q (x) < 0,$ связно. Если $n - k = 1$ , то оно состоит из двух непересекающихся частей, одна с $x n > 0$ , а другая с $x n < 0$ .

Интервал

Квадратичная форма $q$ соответствует квадрату вектора в евклидовом случае. Чтобы определить векторную норму (и расстояние) инвариантным образом , нужно получить квадратные корни из скалярных квадратов, что приводит к возможным мнимым расстояниям; см. квадратный корень из отрицательных чисел . Но даже для треугольника с положительными скалярными квадратами всех трех сторон (квадратные корни которых действительны и положительны), неравенство треугольника в общем случае не выполняется.

Поэтому в псевдоевклидовой геометрии избегают терминов «норма» и «расстояние» , которые можно заменить на скалярный квадрат и интервал соответственно.

Хотя для кривой , все касательные векторы которой имеют скалярные квадраты одного знака, длина дуги определена. Она имеет важные приложения: см. , например, собственное время .

Вращения и сферы

Группа вращений такого пространства — это неопределенная ортогональная группа $O($ $q$ $)$ , также обозначаемая как $O($ $k$ $,$ $n$ $-$ $k$ $)$ без ссылки на конкретную квадратичную форму. ^[5] Такие «вращения» сохраняют форму $q$ и, следовательно, скалярный квадрат каждого вектора, включая то, является ли он положительным, нулевым или отрицательным.

В то время как евклидово пространство имеет единичную сферу , псевдоевклидово пространство имеет гиперповерхности ${x | q (x) = 1}$ и ${x | q (x) = -1}$ . Такая гиперповерхность, называемая квазисферой , сохраняется соответствующей неопределенной ортогональной группой.

Симметричная билинейная форма

Квадратичная форма $q$ порождает симметричную билинейную форму, определяемую следующим образом:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).

Квадратичную форму можно выразить через билинейную форму: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$ .

Когда $⟨ x, y ⟩ = 0$ , то $x$ и $y$ являются ортогональными векторами псевдоевклидова пространства.

Эту билинейную форму часто называют скалярным произведением , а иногда «внутренним произведением» или «скалярным произведением», но она не определяет пространство внутреннего произведения и не обладает свойствами скалярного произведения евклидовых векторов.

Если $x$ и $y$ ортогональны и $q$ $(x) q (y) < 0$ , то $x$ гиперболически ортогонален y .

Стандартный базис вещественного $n$ -пространства ортогонален . В псевдоевклидовом пространстве нет ортонормальных базисов , для которых билинейная форма неопределенна, поскольку ее нельзя использовать для определения векторной нормы .

Подпространства и ортогональность

Для (положительно-размерного) подпространства ^[6] $U$ псевдоевклидова пространства, когда квадратичная форма $q$ ограничена на $U$ , возможны следующие три случая:

$q | U$ либо положительно, либо отрицательно определено . Тогда $U$ по сути евклидово (с точностью до знака $q$ ).
$q | U$ неопределенно, но невырождено. Тогда $U$ само по себе псевдоевклидово. Это возможно только если $dim U \geq 2$ ; если $dim U = 2$ , что означает, что $U$ — плоскость , то она называется гиперболической плоскостью .
$q | U$ вырожден.

Одним из самых резких свойств (для евклидовой интуиции) псевдоевклидовых векторов и плоскостей является их ортогональность . Когда два ненулевых евклидовых вектора ортогональны, они не коллинеарны . Пересечения любого евклидова линейного подпространства с его ортогональным дополнением являются подпространством {0} . Но определение из предыдущего подраздела немедленно подразумевает, что любой вектор $ν$ с нулевым скалярным квадратом ортогонален самому себе. Следовательно, изотропная линия $N = ⟨ ν ⟩,$ порожденная нулевым вектором ν, является подмножеством его ортогонального дополнения $N ⊥$ .

Формальное определение ортогонального дополнения векторного подпространства в псевдоевклидовом пространстве дает вполне определенный результат, который удовлетворяет равенству $dim U + dim U ⊥ = n$ в силу невырожденности квадратичной формы. Это как раз условие

U \cap U ⊥ = {0}

или, что эквивалентно,

U + U ⊥ =

все пространство,

которое может быть нарушено, если подпространство $U$ содержит нулевое направление. ^[7] Хотя подпространства образуют решетку , как и в любом векторном пространстве, эта $⊥$ операция не является ортодополнением , в отличие от пространств внутреннего произведения .

Для подпространства $N,$ полностью состоящего из нулевых векторов (что означает, что скалярный квадрат $q$ , ограниченный $N$ , равен $0$ ), всегда выполняется:

N \subset N ⊥

или, что эквивалентно,

N \cap N ⊥ = N

Такое подпространство может иметь до $min(k, n - k)$ измерений . ^[8]

Для (положительного) евклидова $k$ -подпространства его ортогональное дополнение является $(n - k)$ -мерным отрицательным "евклидовым" подпространством, и наоборот. В общем случае для $(d + + d - + d 0)$ -мерного подпространства $U,$ состоящего из $d +$ положительных и $d -$ отрицательных измерений (см. закон инерции Сильвестра для пояснения), его ортогональное "дополнение" $U ⊥$ имеет $(k - d + - d 0)$ положительных и $(n - k - d - - d 0)$ отрицательных измерений, в то время как остальные $d 0$ вырождены и образуют пересечение $U \cap U ⊥$ .

Закон параллелограмма и теорема Пифагора

Закон параллелограмма принимает вид

q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).

Используя квадрат тождества суммы , для произвольного треугольника можно выразить скалярный квадрат третьей стороны через скалярные квадраты двух сторон и их билинейное произведение:

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

Это показывает, что для ортогональных векторов справедлив псевдоевклидов аналог теоремы Пифагора :

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

Угол

В общем случае, абсолютное значение $| ⟨ x, y ⟩ |$ билинейной формы на двух векторах может быть больше $\sqrt | q (x) q (y) |$ , равно ему или меньше. Это вызывает похожие проблемы с определением угла (см. Скалярное произведение § Геометрическое определение ), как это было выше для расстояний.

Если $k = 1$ (только один положительный член в $q$ ), то для векторов положительного скалярного квадрата: $|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,$

что позволяет определить гиперболический угол , аналог угла между этими векторами через обратный гиперболический косинус : ^[9] $\operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.$

Он соответствует расстоянию на $(n - 1)$ -мерном гиперболическом пространстве . Это известно как быстрота в контексте теории относительности, обсуждаемой ниже. В отличие от евклидова угла, он принимает значения из $[0, +\infty)$ и равен 0 для антипараллельных векторов .

Не существует разумного определения угла между нулевым вектором и другим вектором (нулевым или ненулевым).

Алгебра и тензорное исчисление

Подобно евклидовым пространствам, каждое псевдоевклидово векторное пространство порождает алгебру Клиффорда . В отличие от свойств выше, где замена $q$ на $- q$ изменяла числа, но не геометрию , изменение знака квадратичной формы приводит к появлению отдельной алгебры Клиффорда, так что, например, $Cl 1,2 (R)$ и $Cl 2,1 (R)$ не изоморфны.

Как и над любым векторным пространством, существуют псевдоевклидовы тензоры . Как и в случае с евклидовой структурой, существуют операторы повышения и понижения индексов , но, в отличие от случая с евклидовыми тензорами , не существует базиса, в котором эти операции не изменяют значения компонент. Если есть вектор $v β$ , то соответствующий ковариантный вектор :

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

и со стандартной формой

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}

первые $k$ компонентов $v α$ численно совпадают с компонентами $v β$ , но остальные $n - k$ имеют противоположные знаки .

Соответствие между контравариантными и ковариантными тензорами делает тензорное исчисление на псевдоримановых многообразиях обобщением тензорного исчисления на римановых многообразиях.

Примеры

Очень важным псевдоевклидовым пространством является пространство Минковского , которое является математической средой, в которой сформулирована специальная теория относительности . Для пространства Минковского $n = 4$ и $k = 3$ ^[10], так что

q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},

Геометрия, связанная с этой псевдометрикой, была исследована Пуанкаре . ^[11]^[12] Ее группа вращений — группа Лоренца . Группа Пуанкаре включает также трансляции и играет ту же роль, что и евклидовы группы обычных евклидовых пространств.

Другое псевдоевклидово пространство — это плоскость $z = x + yj,$ состоящая из расщепленно-комплексных чисел , снабженная квадратичной формой

\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.

Это простейший случай неопределенного псевдоевклидова пространства ( $n = 2$ , $k = 1$ ) и единственный, где нулевой конус рассекает оставшееся пространство на четыре открытых множества. Группа $SO + (1, 1)$ состоит из так называемых гиперболических вращений .

Смотрите также

Сноски

^ Эли Картан (1981), Теория спиноров , Dover Publications , ISBN 0-486-64070-1
^ Евклидовы пространства рассматриваются как псевдоевклидовы пространства – см., например, Рафал Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32.
^ Рафал Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32[1]
^ Предполагается стандартная топология на $R n .$
^ Что такое «группа вращений» зависит от точного определения вращения. Группы «O» содержат несобственные вращения . Преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют группу $SO(q)$ или $SO(k, n - k)$ , но она также не связна , если и $k$ , и $n - k$ положительны. Группа $SO + (q)$ , которая сохраняет ориентацию на положительных и отрицательных скалярных квадратных частях по отдельности, является (связным) аналогом группы евклидовых вращений $SO(n)$ . Действительно, все эти группы являются группами Ли размерности $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ н ( н − 1)$ .
^ Предполагается линейное подпространство, но те же выводы верны и для аффинной плоскости с той лишь разницей, что квадратичная форма всегда определена на векторах, а не на точках.
^ На самом деле, $U \cap U ⊥$ не равно нулю только в том случае, если квадратичная форма $q,$ ограниченная на $U,$ вырождена.
^ Томас Э. Сесил (1992) Геометрия сферы Ли , стр. 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
^ Обратите внимание, что $cos (i arcosh s) = s$ , поэтому при $s > 0$ их можно понимать как мнимые углы.
^ Другое устоявшееся представление использует $k = 1$ и индексы координат, начинающиеся с $0$ (отсюда $q (x) = x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), но они эквивалентны с точностью до знака q $.$ См. Соглашение о знаках § Метрическая сигнатура .
^ Х. Пуанкаре (1906) О динамике электрона, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
^ BA Rosenfeld (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 266, Исследования по истории математики и физических наук #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

Ссылки

Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров, Нью-Йорк: Dover Publications , стр. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, МР 0631850
Вернер Гройб (1963) Линейная алгебра , 2-е издание, §12.4 Псевдоевклидовы пространства, стр. 237–249, Springer-Verlag.
Уолтер Нолл (1964) «Евклидова геометрия и хронометрия Минковского», American Mathematical Monthly 71:129–44.
Новиков, СП; Фоменко, А.Т.; [перевод с русского М. Цаплиной] (1990). Основные элементы дифференциальной геометрии и топологии . Дордрехт; Бостон: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Секереш, Питер (2004). Курс современной математической физики: группы, гильбертово пространство и дифференциальная геометрия . Cambridge University Press . ISBN 0-521-82960-7.
Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Внешние ссылки

Д.Д. Соколов (создатель), Псевдоевклидово пространство, Энциклопедия математики