Псевдокруг — это конечное топологическое пространство X , состоящее из четырех различных точек { a , b , c , d } со следующей нехаусдорфовой топологией :
Эта топология соответствует частичному порядку , где открытые множества являются закрытыми вниз. X крайне патологичен с обычной точки зрения общей топологии, поскольку он не удовлетворяет какой-либо аксиоме разделения, кроме T . Однако с точки зрения алгебраической топологии X обладает тем замечательным свойством , что оно неотличимо от окружности S1 .
Точнее, непрерывное отображение S1 в X (где мы думаем о S1 как единичный круг в ) , заданное формулой, является слабой гомотопической эквивалентностью , то есть индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах . Отсюда следует [1] , что также индуцирует изоморфизм сингулярных гомологии и когомологий и, в более общем плане, изоморфизм всех обычных или необыкновенных теорий гомологий и когомологий (например, K-теории ).
Это можно доказать, используя следующее наблюдение. Подобно S 1 , X представляет собой объединение двух стягиваемых открытых множеств { a , b , c } и { a , b , d }, пересечение которых { a , b } также является объединением двух непересекающихся стягиваемых открытых множеств { a } и { б }. Так же, как и S1 , результат следует из группоидной теоремы Зейферта-ван Кампена , как в книге Топология и группоиды . [2]
В более общем плане МакКорд показал, что для любого конечного симплициального комплекса K существует конечное топологическое пространство X K , которое имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация | К | К. Точнее, существует функтор , переводящий K в X K , из категории конечных симплициальных комплексов и симплициальных отображений и естественная слабая гомотопическая эквивалентность из | К | до Х К. [3]
