Псевдометрическое пространство

Обобщение метрических пространств в математике

В математике псевдометрическое пространство — это обобщение метрического пространства , в котором расстояние между двумя различными точками может быть равно нулю. Псевдометрические пространства были введены Джуро Курепой ^{[1] [2]} в 1934 году. Точно так же, как каждое нормированное пространство является метрическим пространством , каждое полунормированное пространство является псевдометрическим пространством. Из-за этой аналогии термин полуметрическое пространство (который имеет другое значение в топологии ) иногда используется как синоним, особенно в функциональном анализе .

Когда топология генерируется с использованием семейства псевдометрик, пространство называется калибровочным пространством .

Определение

Псевдометрическое пространство — это множество вместе с неотрицательной действительной функцией, называемой ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},}$псевдометрика , такая, что для каждого ${\displaystyle x,y,z\in X,}$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0.}$
2. Симметрия : ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
3. Субаддитивность / Неравенство треугольника : ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

В отличие от метрического пространства, точки в псевдометрическом пространстве не обязательно должны быть различимы ; то есть можно иметь для различных значений ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x\neq y.}$

Примеры

Любое метрическое пространство является псевдометрическим пространством. Псевдометрики естественным образом возникают в функциональном анализе . Рассмотрим пространство вещественнозначных функций вместе со специальной точкой. Эта точка затем индуцирует псевдометрику на пространстве функций, заданную для ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ $${\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

Полунорма индуцирует псевдометрику . Это выпуклая функция аффинной функции от (в частности, переноса ), и, следовательно , выпуклая по . (То же самое и для .) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Наоборот, однородная, инвариантная относительно трансляции псевдометрика индуцирует полунорму.

Псевдометрика возникает также в теории гиперболических комплексных многообразий : см. метрика Кобаяши .

Каждое пространство мер можно рассматривать как полное псевдометрическое пространство, определив для всех , где треугольник обозначает симметричную разность . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ $${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}$$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}$

Если — функция, а d ₂ — псевдометрика на X ₂ , то дает псевдометрику на X ₁ . Если d ₂ — метрика, а f инъективен , то d ₁ — метрика. ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}$

Топология

TheПсевдометрическая топология — этотопология,порожденнаяоткрытыми шарами, которые образуютосновутопологии.^[3]Топологическое пространство называется $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}$$псевдометризуемое пространство ^[4],если пространству можно задать псевдометрику, такую, что псевдометрическая топология совпадает с заданной топологией на пространстве.

Разница между псевдометрикой и метрикой полностью топологическая. То есть псевдометрика является метрикой тогда и только тогда, когда топология, которую она генерирует, есть T 0 (то есть, различные точки топологически различимы ).

Определения последовательностей Коши и метрического завершения для метрических пространств переносятся на псевдометрические пространства без изменений. ^[5]

Метрическая идентификация

Исчезновение псевдометрики индуцирует отношение эквивалентности , называемое метрической идентификацией , которое преобразует псевдометрическое пространство в полноценное метрическое пространство . Это делается путем определения , если . Пусть будет факторпространством по этому отношению эквивалентности и определите Это хорошо определено, потому что для любого мы имеем , что и так и наоборот. Тогда является метрикой на и является хорошо определенным метрическим пространством, называемым метрическим пространством, индуцированным псевдометрическим пространством . ^{[6] [7]} ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x'\in [x]}$ ${\displaystyle d(x,x')=0}$ ${\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Метрическая идентификация сохраняет индуцированные топологии. То есть, подмножество открыто (или замкнуто) в тогда и только тогда, когда открыто (или замкнуто) в и насыщено . Топологическая идентификация — это частное Колмогорова . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$ ${\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}$ ${\displaystyle A}$

Примером такого построения является пополнение метрического пространства его последовательностями Коши .

Смотрите также

• Обобщенная метрика  – Метрическая геометрия
• Метрическая сигнатура  – ​​число положительных, отрицательных и нулевых собственных значений метрического тензора.
• Метрическое пространство  – математическое пространство с понятием расстояния.
• Метризуемое топологическое векторное пространство  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.

Примечания

1. Курепа, Джуро (1934). «Таблицы разветвлений ансамблей, пространства псевдодистаций». ЧР акад. наук. Париж . 198 (1934): 1563–1565.
2. Коллатц, Лотар (1966). Функциональный анализ и численная математика . Нью-Йорк, Сан-Франциско, Лондон: Academic Press . стр. 51.
3. "Псевдометрическая топология". PlanetMath .
4. Уиллард, стр. 23
5. Кейн, Джордж (лето 2000 г.). "Глава 7: Полные псевдометрические пространства" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 7 октября 2020 г. . Получено 7 октября 2020 г. .
6. Хаус, Норман Р. (1995). Современный анализ и топология. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. стр. 27. ISBN 0-387-97986-7. Получено 10 сентября 2012 г. . Пусть будет псевдометрическим пространством и определите отношение эквивалентности в с помощью , если . Пусть будет фактор-пространством и канонической проекцией, которая отображает каждую точку на класс эквивалентности, который ее содержит. Определим метрику в с помощью для каждой пары . Легко показать, что действительно является метрикой и определяет фактор-топологию на . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X/\sim }$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))}$ ${\displaystyle a,b\in Y}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$
7. Саймон, Барри (2015). Комплексный курс анализа . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1470410995.

Ссылки

• Архангельский, А. В.; Понтрягин , Л. С. (1990). Общая топология I: Основные понятия и конструкции Теория размерности . Энциклопедия математических наук. Springer . ISBN 3-540-18178-4.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Артур (1995) [1970]. Контрпримеры в топологии (новое издание). Dover Publications . ISBN 0-486-68735-X.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( переиздание Дувра 1970 года), Эддисон-Уэсли
• В данной статье использованы материалы из псевдометрического пространства PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• «Пример псевдометрического пространства». PlanetMath .