Пятая степень (алгебра)

Результат умножения пяти экземпляров числа друг на друга

В арифметике и алгебре пятая степень или сурсолид ^[1] числа n — это результат умножения пяти экземпляров n :

п ⁵ = п × п × п × п × п .

Пятая степень также образуется путем умножения числа на его четвертую степень или квадрата числа на его куб .

Последовательность пятых степеней целых чисел :

0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, ... (последовательность A000584 в OEIS )

Характеристики

Для любого целого числа n последняя десятичная цифра числа n ⁵ совпадает с последней (десятичной) цифрой числа n , т.е.

${\displaystyle n\equiv n^{5}{\pmod {10}}}$

По теореме Абеля–Руффини не существует общей алгебраической формулы (формулы, выраженной в терминах радикальных выражений ) для решения полиномиальных уравнений, содержащих пятую степень неизвестного в качестве наивысшей степени. Это наименьшая степень, для которой это верно. См. уравнение квинтики , уравнение секстики и септическое уравнение .

Наряду с четвертой степенью, пятая степень является одной из двух степеней k , которые могут быть выражены как сумма k  − 1 других k -х степеней, что дает контрпримеры к гипотезе Эйлера о сумме степеней . В частности,

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ (Ландер и Паркин, 1966) ^[2]

Смотрите также

• Восьмая степень
• Седьмая сила
• Шестая сила
• Четвертая сила
• Куб (алгебра)
• Квадрат (алгебра)
• Совершенная сила

Сноски

1. «Уэбстер 1913».
2. Ландер, Л. Дж.; Паркин, ТР (1966). «Контрпример к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней». Bull. Amer. Math. Soc . 72 (6): 1079. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .

Ссылки

• Роде, Леннарт; Вестергрен, Бертиль (2000). Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler (на немецком языке) (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 44. ИСБН 3-540-67505-1.
• Вега, Георг (1783). Logarithmische, trigonometrische и andere zum Gebrauche der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln (на немецком языке). Вена: Гедрукт бей Иоганн Томас Эдлен фон Траттнерн, кайферл. Кенигль. Хофбухдрукерн и Буххендлерн. п. 358. 1 32 243 1024.
• Ян, Густав Адольф (1839). Tafeln der Quadrat- und Kubikwurzeln aller Zahlen от 1 до 25500, der Quadratzahlen aller Zahlen от 1 до 27000 и der Kubikzahlen aller Zahlen от 1 до 24000 (на немецком языке). Лейпциг: Verlag фон Иоганн Амброзиус Барт. п. 241.
• Деза, Елена ; Деза, Мишель (2012). Фигурные числа. Сингапур: World Scientific Publishing. стр. 173. ISBN 978-981-4355-48-3.
• Розен, Кеннет Х.; Майклс, Джон Г. (2000). Справочник по дискретной и комбинаторной математике. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 159. ISBN 0-8493-0149-1.
• Прендель, Иоганн Георг (1815). Арифметика в weiterer Bedeutung, oder Zahlen- und Buchstabenrechnung in einem Lehrkurse - mit Tabellen über verschiedene Münzsorten, Gewichte und Ellenmaaße und einer kleinen Erdglobuslehre (на немецком языке). Мюнхен. п. 264.