Алгебраическое выражение

Type of mathematical expression using basic operations (+, -, ×, ÷, powers, and roots)

В математике алгебраическое выражение — это выражение, составленное из констант (обычно алгебраических чисел) , переменных и основных алгебраических операций : сложения (+), вычитания (-), умножения (×), деления (÷), степеней целых чисел и корней ( дробных степеней). ^{[1] [2] [3] [ нужен лучший источник ]} . Например, ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ — это алгебраическое выражение. Поскольку извлечение квадратного корня равнозначно возведению в степень ⁠1/2⁠ , следующее также является алгебраическим выражением:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Алгебраическое уравнение — это уравнение , включающее многочлены , решениями которых могут быть алгебраические выражения .

Если вы ограничиваете свой набор констант числами , любое алгебраическое выражение можно назвать арифметическим выражением . Однако алгебраические выражения можно использовать и для более абстрактных объектов, например, в Абстрактной алгебре . Если вы ограничиваете свои константы целыми числами , то набор чисел, который можно описать алгебраическим выражением, называется Алгебраическими числами . ^{[ противоречиво ]}

Напротив, трансцендентные числа, такие как π и e, не являются алгебраическими, поскольку они не выводятся из целочисленных констант и алгебраических операций. Обычно π строится как геометрическое отношение, а определение e требует бесконечного числа алгебраических операций. В более общем смысле, выражения, которые алгебраически независимы от своих констант и/или переменных, называются трансцендентными .

Терминология

В алгебре есть своя терминология для описания частей выражения:

1 – Экспонента (степень), 2 – коэффициент, 3 – член, 4 – оператор, 5 – константа, - переменные ${\displaystyle x,y}$

Конвенции

Переменные

По соглашению, буквы в начале алфавита (например , ) обычно используются для обозначения констант , а буквы в конце алфавита (например, и ) используются для обозначения переменных . ^[4] Обычно они пишутся курсивом. ^[5] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

Экспоненты

По соглашению, члены с наивысшей степенью ( экспонентой ) пишутся слева, например, пишется слева от . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, пишется ). ^[6] Аналогично, когда показатель степени равен единице (например, пишется ), ^[7] а когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например , пишется , так как всегда ). ^[8] ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{1}}$ ${\displaystyle 3x}$ ${\displaystyle 3x^{0}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 1}$

В корнях многочленов

Корни полиномиального выражения степени n или, что эквивалентно, решения полиномиального уравнения всегда можно записать в виде алгебраических выражений, если n < 5 (см. квадратичную формулу , кубическую функцию и уравнение четвертой степени ). Такое решение уравнения называется алгебраическим решением . Но теорема Абеля–Руффини утверждает, что алгебраические решения не существуют для всех таких уравнений (только для некоторых из них), если n 5. ${\displaystyle \geq }$

Рациональные выражения

Если даны два многочлена ⁠ ⁠ ${\displaystyle P(x)}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q(x)}$ , их частное называется рациональным выражением или просто рациональной дробью . ^{[9] [10] [11]} Рациональное выражение называется правильным, если , и неправильным в противном случае. Например, дробь является правильной, а дроби и являются неправильными. Любая неправильная рациональная дробь может быть выражена как сумма многочлена (возможно, константы) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби имеем ${\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ ${\displaystyle \deg P(x)<\deg Q(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

где второй член — правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби в виде суммы двух или более дробей называется разложением ее на простейшие дроби . Например,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

Здесь два члена справа называются простейшими дробями.

Иррациональная дробь

Иррациональная дробь — это дробь, которая содержит переменную под дробным показателем степени. ^[12] Примером иррациональной дроби является

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную дробь известен как рационализация . Каждая иррациональная дробь, в которой радикалы являются одночленами, может быть рационализирована путем нахождения наименьшего общего кратного индексов корней и замены переменной на другую переменную с наименьшим общим кратным в качестве показателя степени. В приведенном примере наименьшим общим кратным является 6, поэтому мы можем подставить, чтобы получить ${\displaystyle x=z^{6}}$

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

Алгебраические и другие математические выражения

В таблице ниже обобщено сравнение алгебраических выражений с несколькими другими типами математических выражений по типу элементов, которые они могут содержать, в соответствии с общими, но не универсальными соглашениями.

Рациональное алгебраическое выражение (или рациональное выражение ) — это алгебраическое выражение, которое можно записать в виде частного многочленов , например, x ² + 4 x + 4. Иррациональное алгебраическое выражение — это выражение , которое не является рациональным, например, √ x + 4 .

Смотрите также

• Алгебраическая функция
• Аналитическое выражение
• Выражение в закрытой форме
• Выражение (математика)
• Предварительное исчисление
• Термин (логика)

Примечания

1. Определение «Алгебраической функции». Архивировано 26 октября 2020 г. на Wayback Machine в Интернет-энциклопедии науки Дэвида Дж. Дарлинга.
2. Моррис, Кристофер Г. (1992). Словарь науки и техники Academic Press . Gulf Professional Publishing. стр. 74. алгебраическое выражение над полем.
3. "алгебраическая операция | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com . Получено 2020-08-27 .
4. Уильям Л. Хош (редактор), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, стр. 71 
5. Джеймс Э. Джентл, Численная линейная алгебра для приложений в статистике , Издательство: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 страница, [Джеймс Э. Джентл, страница 183] 
6. Дэвид Алан Херцог, «Самостоятельное визуальное обучение алгебре» , издательство John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 страницы, стр. 72 
7. Джон С. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, страница 31 
8. Джером Э. Кауфманн, Карен Л. Швиттерс, Алгебра для студентов колледжей , издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 страницы, страница 222 
9. Винберг, Эрнест Борисович (2003). Курс алгебры. Американское математическое общество. стр. 131. ISBN 9780821883945.
10. Гупта, Пармананд. Всеобъемлющая математика XII. Laxmi Publications. стр. 739. ISBN 9788170087410.
11. Лал, Банси (2006). Темы интегрального исчисления. Laxmi Publications. стр. 53. ISBN 9788131800027.
12. Маккартни, Вашингтон (1844). Принципы дифференциального и интегрального исчисления и их применение в геометрии. стр. 203.

Ссылки

• Джеймс, Роберт Кларк; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь. Springer. стр. 8. ISBN 9780412990410.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое выражение». MathWorld .