Пятиугольное число

Фигурное число

Визуальное представление первых шести пятиугольных чисел

Пятиугольное число — это фигурное число , которое расширяет концепцию треугольных и квадратных чисел до пятиугольника , но, в отличие от первых двух, узоры, используемые при построении пятиугольных чисел, не являются вращательно-симметричными . Пятиугольное число n n — это количество отдельных точек в узоре из точек, состоящем из контуров правильных пятиугольников со сторонами до n точек, когда пятиугольники накладываются так _, что имеют одну общую вершину . Например, третий образован контурами, содержащими 1, 5 и 10 точек, но 1 и 3 из 5 совпадают с 3 из 10 — оставляя 12 отдельных точек, 10 в форме пятиугольника и 2 внутри.

p _n определяется по формуле:

${\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}}$

для n ≥ 1. Первые несколько пятиугольных чисел:

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (последовательность A000326 в OEIS ).

N- ое пятиугольное число — это сумма n целых чисел, начиная с n (т.е. от n до 2n-1). Также справедливы следующие соотношения:

${\displaystyle p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3}$

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными числами. Пятиугольное число n составляет одну треть (3 n − 1) -го треугольного числа . Кроме того, где T _n — это треугольное число n :

${\displaystyle p_{n}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}}$

Обобщенные пятиугольные числа получаются из формулы, приведённой выше, но с n, принимающим значения в последовательности 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., что создаёт последовательность:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (последовательность A001318 в OEIS ).

Обобщенные пятиугольные числа важны для теории Эйлера о целочисленных разбиениях , как это выражено в его теореме о пятиугольных числах .

Число точек внутри самого внешнего пятиугольника узора, образующего пятиугольное число, само по себе является обобщенным пятиугольным числом.

Другие свойства

• ${\displaystyle p_{n}}$для n>0 — это число различных композиций из n частей, которые не включают 2 или 3. ${\displaystyle n+8}$
• ${\displaystyle p_{n}}$это сумма первых n натуральных чисел, сравнимых с 1 по модулю 3.
• ${\displaystyle p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}}$

Обобщенные пятиугольные числа и центрированные шестиугольные числа

Обобщенные пятиугольные числа тесно связаны с центрированными шестиугольными числами . Когда массив, соответствующий центрированному шестиугольному числу, делится между его средней строкой и соседней строкой, он выглядит как сумма двух обобщенных пятиугольных чисел, причем большая часть является собственно пятиугольным числом:

В общем:

${\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n){\bigl (}3(1-n)-1{\bigr )}}$

где оба члена справа являются обобщенными пятиугольными числами, а первый член является собственно пятиугольным числом ( n ≥ 1). Это деление центрированных шестиугольных массивов дает обобщенные пятиугольные числа как трапециевидные массивы, которые можно интерпретировать как диаграммы Феррерса для их разбиения. Таким образом, их можно использовать для доказательства теоремы о пятиугольных числах, упомянутой выше.

Доказательство без слов , что n -е пятиугольное число можно разложить на три треугольных числа и число n .

Тесты на пятиугольные числа

Для того чтобы проверить, является ли положительное целое число x (необобщенным) пятиугольным числом, мы можем вычислить

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$

Число x является пятиугольным тогда и только тогда, когда n — натуральное число . В этом случае x является n -ым пятиугольным числом.

Для обобщенных пятиугольных чисел достаточно просто проверить, является ли 24 x + 1 полным квадратом.

Для необобщенных пятиугольных чисел, в дополнение к тесту на полный квадрат, требуется также проверить,

${\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6}$

Математические свойства пятиугольных чисел гарантируют, что этих тестов достаточно для доказательства или опровержения пятиугольности числа. ^[1]

Гномон

Гномон n -го пятиугольного числа равен :

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=3n+1}$

Квадратные пятиугольные числа

Квадратное пятиугольное число — это пятиугольное число, которое также является полным квадратом. ^[2]

Вот первые несколько:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... ( запись OEIS A036353)

Смотрите также

• Шестиугольное число
• Треугольное число

Ссылки

1. Как определить, является ли число N пятиугольным числом?
2. Вайсштейн, Эрик В. «Пятиугольное квадратное число». Из MathWorld --A Wolfram Web Resource.

Дальнейшее чтение

• Леонард Эйлер: О замечательных свойствах пятиугольных чисел