Равенство (математика)

Соотношение, утверждающее, что две величины одинаковы

В математике равенство — это отношение между двумя величинами или, в более общем плане, двумя математическими выражениями , утверждающее, что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект . Равенство между A и B записывается A  =  B и произносится как « A равно B ». ^[1] Символ « = » называется знаком «равно ». Два объекта, которые не равны, называются различными .

Например:

• ${\displaystyle x=y}$означает, что x и y обозначают один и тот же объект. ^[2]
• Тождество означает, что если x — любое число, то оба выражения имеют одно и то же значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что две стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию . ${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1}$
• ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}}$тогда и только тогда, когда это утверждение, в котором используется нотация построителя множества , означает, что если элементы, удовлетворяющие свойству, совпадают с элементами, удовлетворяющими этому свойству, то два использования нотации построителя множества определяют один и тот же набор. Это свойство часто выражается как «два множества, состоящие из одинаковых элементов, равны». Это одна из обычных аксиом теории множеств , называемая аксиомой экстенсиональности . ^[3] ${\displaystyle P(x)\Leftrightarrow Q(x).}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x),}$

Этимология

Этимология слова происходит от латинского aequālis («равный», « подобный», «сопоставимый», «похожий») от aequus («равный», «уровень», «справедливый», «справедливый»).

Основные свойства

• Свойство подстановки : для любых величин a и b и любого выражения F ( x ), если a = b , то F ( a ) = F ( b ) (при условии, что обе части правильно сформированы ).

  Вот некоторые конкретные примеры:

  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a + c = b + c (здесь F ( x ) равно x + c );
  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a - c = b - c (здесь F ( x ) равно x - c );
  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то ac = bc (здесь F ( x ) равно xc );
  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b и c не равно нулю , то a / c = b / c (здесь F ( x ) равно x / c ).
• Рефлексивное свойство : Для любой величины a a = a .
• Свойство симметрии : для любых величин a и b , если a = b , то b = a .
• Транзитивное свойство : для любых величин a , b и c , если a = b и b = c , то a = c . ^[4]

Эти последние три свойства делают равенство отношением эквивалентности . Первоначально они были включены в аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивности.

Равенство как предикат

Когда A и B не определены полностью или зависят от некоторых переменных , равенство является утверждением , которое может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство — это бинарное отношение (т. е. предикат с двумя аргументами ), которое может выдавать значение истинности ( ложь или истина ) из своих аргументов. В компьютерном программировании его вычисление на основе двух выражений называется сравнением .

Личности

Когда A и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, тогда A  =  B означает, что A и B определяют одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством . Пример: Иногда, но не всегда, идентификатор пишется с тройной чертой : ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.}$ ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$

Уравнения

Уравнение — это задача поиска значений некоторых переменных, называемых неизвестными , для которых заданное равенство верно. Термин «уравнение» может также относиться к отношению равенства, которое удовлетворяется только для значений интересующих переменных. Например, это уравнение единичного круга . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Не существует стандартных обозначений, которые отличали бы уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадать подходящую интерпретацию на основе семантики выражений и контекста. Утверждается , что тождество истинно для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать тождество, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно.

Примерное равенство

Существуют некоторые логические системы , в которых нет понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемого формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и показательную функцию . Другими словами, не может существовать никакого алгоритма для решения такого равенства.

Бинарное отношение « приблизительно равно » (обозначается символом ) между действительными числами или другими вещами, даже если оно определено более точно, не является транзитивным (поскольку многие небольшие различия могут составить что-то большое). Однако равенство почти везде транзитивно . ${\displaystyle \approx }$

Сомнительное проверяемое равенство можно обозначить символом ≟ .

Связь с эквивалентностью, конгруэнтностью и изоморфизмом

Рассматриваемое как отношение, равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества является отношением эквивалентности. Обратно, пусть R — отношение эквивалентности, и обозначим через x ^R класс эквивалентности x , состоящий из всех элементов z таких, что x R z . Тогда отношение x R y эквивалентно равенству x ^R  =  y ^R . Отсюда следует, что равенство — это наилучшее отношение эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . ^[5] Например, можно отличить дроби от рациональных чисел , причем последние представляют собой классы эквивалентности дробей: дроби и различны как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одну и ту же точку на числовая линия). Это различие порождает понятие фактормножества . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/4}$

Аналогично, множества

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}}$и ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

не являются равными множествами — первое состоит из букв, а второе — из чисел, — но они оба представляют собой множества из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что между ними существует взаимно однозначное соответствие . Например

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$

Однако существуют и другие варианты изоморфизма, такие как

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора — любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из причин развития теории категорий.

В некоторых случаях можно считать равными два математических объекта, эквивалентных лишь по рассматриваемым свойствам и структуре. Слово « конгруэнтность» (и связанный с ним символ ) часто используется для обозначения такого рода равенства и определяется как фактор-множество классов изоморфизма между объектами. Например, в геометрии две геометрические фигуры называются равными или конгруэнтными, если одну можно переместить так, чтобы она совпала с другой, а отношение равенства/конгруэнтности представляет собой классы изоморфизма изометрий между формами. Подобно изоморфизмам множеств, разница между изоморфизмами и равенством/конгруэнтностью между такими математическими объектами со свойствами и структурой была одной из мотиваций для развития теории категорий , а также теории гомотопических типов и однолистных оснований . ${\displaystyle \cong }$

Логические определения

Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:

Учитывая любые x и y , x = y тогда и только тогда , когда , учитывая любой предикат P , P ( x ) тогда и только тогда, когда P ( y ).

Равенство в теории множеств

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с равенством

В логике первого порядка с равенством аксиома экстенсиональности гласит, что два множества, содержащие одни и те же элементы, представляют собой одно и то же множество. ^[6]

• Логическая аксиома: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Логическая аксиома: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• Аксиома теории множеств: ${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

Как заметил Леви, включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как просто вопрос удобства.

«Причина, по которой мы приступаем к исчислению предикатов первого порядка с равенством , — это вопрос удобства; этим мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; это бремя теперь берет на себя логика». ^[7]

Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства два множества считаются равными , если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах. ^[8]

• Определение теории множеств: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Аксиома теории множеств: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

Смотрите также

• Экстенсиональность
• Теория гомотопических типов
• Неравенство
• Список математических символов
• Логическое равенство
• Пропорциональность (математика)

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Равенство». mathworld.wolfram.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
2. Россер 2008, с. 163.
3. Леви 2002, стр. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999, стр. 2. Мендельсон 1964, с. 5.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Равный». mathworld.wolfram.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
5. (Мазур 2007)
6. Клини 2002, с. 189. Леви 2002, с. 13. Шонфилд 2001, с. 239.
7. Леви 2002, с. 4.
8. Мендельсон 1964, стр. 159–161. Россер 2008, стр. 211–213.

Рекомендации

• Клини, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
• Леви, Азриэль (2002) [1979]. Базовая теория множеств . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (Третье изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), Когда одна вещь равна другой? (PDF)
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
• Россер, Джон Баркли (2008) [1953]. Логика для математиков . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
• Шонфилд, Джозеф Роберт (2001) [1967]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN 978-1-56881-135-2.

Внешние ссылки

• «Аксиомы равенства», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]