Равнодиагональный четырехугольник

Равнодиагональный четырехугольник с равными диагоналями, ромбом Вариньона и перпендикулярными бимедианами.

В евклидовой геометрии равнодиагональный четырехугольник — это выпуклый четырехугольник , две диагонали которого имеют одинаковую длину. Равнодиагональные четырехугольники играли важную роль в древнеиндийской математике , где четырехугольники классифицировались сначала в зависимости от того, были ли они равнодиагональными, а затем на более специализированные типы. ^[1]

Особые случаи

Примеры равнодиагональных четырехугольников включают равнобедренные трапеции , прямоугольники и квадраты .

Равнодиагональный воздушный змей с максимальным соотношением периметра к диаметру, вписанный в треугольник Рело.

Среди всех четырехугольников фигурой, которая имеет наибольшее отношение периметра к диаметру, является равнодиагональный змей с углами π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12. ^[2]

Характеристики

Выпуклый четырехугольник является равнодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона , параллелограмм, образованный серединами его сторон, является ромбом . Эквивалентным условием является то, что бимедианы четырехугольника (диагонали параллелограмма Вариньона) перпендикулярны . ^[3]

Выпуклый четырехугольник с диагональными длинами и бимедианными длинами является равнодиагональным тогда и только тогда, когда ^{[4] : ​​Предложение 1.} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

Область

Площадь K равнодиагонального четырехугольника легко вычислить , если известны длины бимедиан m и n . Четырехугольник является равнодиагональным тогда и только тогда, когда ^{[5] : с.19,   [4] : ​​Кор.4}

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

Это прямое следствие того, что площадь выпуклого четырехугольника в два раза больше площади его параллелограмма Вариньона и что диагонали в этом параллелограмме являются бимедианами четырехугольника. Используя формулы длин бимедиан , площадь также можно выразить через стороны a, b, c, d равнодиагонального четырехугольника и расстояние x между серединами диагоналей как ^{[5] : с.19}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

Другие формулы площади можно получить, полагая p = q в формулах площади выпуклого четырехугольника .

Связь с другими типами четырехугольников

Параллелограмм является равнодиагональным тогда и только тогда, когда он является прямоугольником ^[6] , а трапеция является равнодиагональной тогда и только тогда, когда она является равнобедренной трапецией . Вписанные равнодиагональные четырехугольники представляют собой в точности равнобедренные трапеции.

Существует двойственность между равнодиагональными четырехугольниками и ортодиагональными четырехугольниками : четырехугольник является равнодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона ортодиагонален (ромб), а четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона является равнодиагональным (прямоугольник). ^[3] Эквивалентно, четырехугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда у него есть перпендикулярные бимедианы, и он имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда у него равные бимедианы. ^[7] Сильвестр (2006) дает дальнейшие связи между равнодиагональными и ортодиагональными четырехугольниками посредством обобщения теоремы ван Обеля . ^[8]

Четырехугольники, которые являются как ортодиагональными, так и равнодиагональными и в которых диагонали не менее длины всех сторон четырехугольника, имеют максимальную площадь своего диаметра среди всех четырехугольников, что решает случай n  = 4 задачи о самом большом маленьком многоугольнике . Квадрат — один из таких четырехугольников, но существует бесконечно много других. Равнодиагональные, ортодиагональные четырехугольники называются среднеквадратными четырехугольниками ^{[4] : ​​с. 137,} потому что они единственные, для которых параллелограмм Вариньона (с вершинами в середине сторон четырехугольника) является квадратом. Такой четырехугольник с последовательными сторонами a, b, c, d имеет площадь ^{[4] : ​​Thm.16.}

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right).}$

Среднеквадратный параллелограмм является в точности квадратом.

• 
  пример четырехугольника со средним квадратом
• 
  средняя квадратная трапеция
• 
  средний квадратный воздушный змей
• 
  «средний параллелограмм», квадрат

Рекомендации

1. Коулбрук, Генри-Томас (1817), Алгебра с арифметикой и измерением, с санскрита Брахмегупты и Бхаскары, Джон Мюррей, стр. 58.
2. Болл, Д.Г. (1973), «Обобщение π», Mathematical Gazette , 57 (402): 298–303, doi : 10.2307/3616052, Гриффитс, Дэвид; Калпин, Дэвид (1975), «Пи-оптимальные многоугольники», Mathematical Gazette , 59 (409): 165–175, doi : 10.2307/3617699.
3. де Вильерс, Майкл (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии, Динамическое обучение математике, стр. 58, ISBN 9780557102952.
4. Йозефссон, Мартин (2014), «Свойства равнодиагональных четырехугольников», Forum Geometricorum , 14 : 129–144.
5. Йозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17–21.
6. Гердес, Паулюс (1988), «О культуре, геометрическом мышлении и математическом образовании», Educational Studies in Mathematics , 19 (2): 137–162, doi : 10.1007/bf00751229, JSTOR  3482571.
7. Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25. См., в частности, теорему 7 на с. 19.
8. Сильвестр, Джон Р. (2006), «Расширения теоремы Ван Обеля», The Mathematical Gazette , 90 (517): 2–12, JSTOR  3621406.